一、地圖投影的基礎理論

1.1 大地水準面

大地水準面是地球重力場的等位面或水平面。想象一下海洋僅受重力的影響靜止不動，而不受潮汐力和大氣力的影響。隧道還用于連接海洋，以便海水能夠自由流動。生成的表面是大地水準面的表現形式。大地水準面約等于平均海平面 (MSL)，通常與當地平均海平面有約一米的誤差。它是一個復雜的形狀。大地水準面受地球構造的影響，因此其坡度可能會不連續。這意味著該表面是與橢球體等數學表面相對的分析表面。大地水準面通常與地心水平大地基準面有不超過 100 米的誤差。例如，在英國，大地水準面與水平基準面 (OSGB36) 相差不超過 5 米。

在上圖中，綠色線代表大地水準面。它的曲線大致遵循地形的走向。虛線代表旋轉橢球體的表面。“h” 是高出旋轉橢球體或橢球體的高度 (HAE)。在本例中，高度是負值。“N” 代表大地水準面波動，它是旋轉橢球體表面與大地水準面之間的距離。“H” 代表正高，它與旋轉橢球體高度的關系如下所示：

h = H + N

1.2 橢球體

橢球體是通過二維橢圓創建的三維形狀。橢圓是扁平化的圓形，具有一個長軸（較長的軸）和一個短軸（較短的軸）。如果旋轉橢圓，旋轉所形成的形狀即為橢球體。橢圓中長半軸是長軸長度的一半。短半軸是短軸長度的一半。對于地球，長半軸是從地心到赤道的半徑，短半軸是從地心到極點的半徑。長半軸和短半軸的長度是區別橢球體的特征。

1.2.1 旋轉橢球體和球體

地理坐標系表面的形狀和大小由球體或旋轉橢球體定義。盡管地球最適合用旋轉橢球體表示，但有時將地球視作球體可使數學計算更為簡便。對于小比例尺地圖（小于 1:5,000,000）來說，可以將地球假設為球體。采用這種比例尺時，在地圖上察覺不出球體與旋轉橢球體的區別。但是，為了保證大比例尺地圖（比例尺為 1:1,000,000 或更大）的精度，必須使用旋轉橢球體表現地球的形狀。在這種比例尺中，選擇使用球體還是旋轉橢球體取決于地圖的用途以及數據的精度。

1.2.1.1 旋轉橢球體的定義

球體以圓為基礎，而旋轉橢球體（或橢球體）以橢圓為基礎。

橢圓形狀由兩個半徑定義。較長的半徑稱為長半軸，而較短的半徑稱為短半軸。

將橢圓繞短半軸旋轉將生成旋轉橢球體。旋轉橢球體也稱為旋轉扁橢球體。下圖顯示了旋轉橢球體的長半軸和短半軸。

旋轉橢球體由長半軸 a 和短半軸 b 定義，或者由 a 和扁率定義。扁率是兩個軸長度的差異，以分數或小數表示。扁率 f 的計算公式如下：

f = (a - b) / a

扁率是一個較小的值，因而通常采用的是量 1/f。以下是 1984 世界坐標系（WGS 1984 或 WGS84）的旋轉橢球體參數：

a = 6378137.0 meters
b = 6356752.31424 meters
1/f = 298.257223563

扁率取值范圍為 0 到 1。扁率值 0 表示兩個軸相等，即球體。地球扁率約為 0.003353。另一個用來描述旋轉橢球體形狀的量（類似扁率）是偏心率的平方 e2。其計算公式如下：

1.3 基準面

基準面構建于所選橢球體之上，它可以包含局部高程變化。由于橢球體由橢圓旋轉形成，因此得到的整個地球表面都是完全平滑的。但是這樣并沒有真實地反映實際情況，所以局部基準面可以包含局部高程變化。

當一個旋轉橢球體的形狀與地球相近時，基準面用于定義旋轉橢球體相對于地心的位置。基準面給出了測量地球表面上位置的參考框架。它定義了經線和緯線的原點及方向。

當更改基準面或修正基準面時，地理坐標系（數據的坐標值）將發生改變（應為原點、反向不同）。

1.3.1 地心基準面

在過去的 15 年中，衛星數據為測地學家提供了新的測量結果，用于定義與地球最吻合的、坐標與地球質心相關聯的旋轉橢球體。地球中心（或地心）基準面使用地球的質心作為原點。最新開發的并且使用最廣泛的基準是 WGS 1984。它被用作在世界范圍內進行定位測量的框架。

1.3.2 區域基準面

局域基準面是在特定區域內與地球表面極為吻合的旋轉橢球體。旋轉橢球體表面上的點與地球表面上的特定位置相匹配。該點也被稱作基準面的原點。原點的坐標是固定的，所有其他點由其計算獲得。

區域基準面的坐標系原點不在地心上。區域基準面的旋轉橢球體中心距地心有一定偏移。因為區域基準面的旋轉橢球體只與地表某特定區域吻合得很好，所以它不適用于該區域之外的其他區域。

二、地圖投影

2.1 什么是地圖投影

地圖投影是利用一定數學法則把地球表面的經、緯線轉換到平面上的理論和方法。

2.2 為什么要進行地圖投影

由于地球是一個赤道略寬兩極略扁的不規則的梨形球體，故其表面是一個不可展平的曲面，所以運用任何數學方法進行這種轉換都會產生誤差和變形（測量需要），為按照不同的需求縮小誤差（縮小測量誤差），就產生了各種投影方法。按變形性質，地圖投影可分為四類：等角投影、等（面）積投影等距投影和任意投影。

2.3 地圖投影的類型

2.3.1 為什么會有多種投影類型

無論將地球視為球體還是旋轉橢球體，都必須變換其三維曲面以創建平面地圖圖幅。此數學變換通常稱作地圖投影。理解地圖投影如何改變空間屬性的一種簡便方法就是觀察光穿過地球投射到表面（稱為投影曲面）上。想像一下，地球表面是透明的，其上繪有經緯網。用一張紙包裹地球。位于地心處的光會將經緯網投影到一張紙上。現在，可以展開這張紙并將其鋪平。紙張上的經緯網形狀與地球上的形狀不同。地圖投影使經緯網發生了變形。

展平旋轉橢球體并不比展平橙皮容易，因為它會破裂。用兩種尺寸表示地球表面會導致數據的形狀、面積、距離或方向發生變形。

地圖投影使用數學公式將地球上的球面坐標與平面坐標關聯起來。

不同投影會引起不同類型的變形。有些投影旨在最大限度地降低一種或兩種數據特的變形。投影可保持要素面積不變，但會改變其形狀。在下圖中，極點附近的數據已被拉伸。

下圖顯示了如何壓縮三維要素以擬合到平面上。

地圖投影具有特定用途。一種地圖投影可能用于限定區域中的大比例尺數據，而另一種地圖投影則用于小比例尺的世界地圖。針對小比例尺數據的地圖投影通常基于球體地理坐標系而不是橢球體地理坐標系。

2.3.2 投影類型

2.3.2.1 等角投影

等角投影保留局部形狀。要保留描述空間關系的各個角，等角投影必須在地圖上顯示以 90 度角相交的垂直經緯網線。地圖投影通過保持所有角不變來加以實現。缺點是由一些弧線圍起來的區域將在此過程中發生巨大變形。地圖投影無法保留較大區域的形狀。

2.3.2.2 等積投影

等積投影保留所顯示要素的面積。為此，形狀、角和比例等其他屬性將發生變形。在等積投影中，經線和緯線可能不垂直相交。有些情況下，尤其是較小區域的地圖，形狀不會明顯變形，且很難區分等積投影和等角投影，除非加以說明或進行測量。

2.3.2.3 等距投影

等距地圖保留某些點間的距離。任何投影都無法在整幅地圖中正確保持比例不變。不過，多數情況下，地圖上總會存在一條或多條這樣的線：比例沿著這些線將正確地保持不變。多數等距投影都具有一條或多條這樣的線：在此類線中，地圖上線的長度（按地圖比例尺計算）與地球上同一條線的長度相同，無論它是大圓還是小圓，是直線還是曲線。此類距離被視為真實距離。例如，在正弦投影中，赤道和所有緯線就是其真實長度。在其他等距投影中，赤道和所有經線具有真實長度。而其他投影（例如，兩點等距離）仍會顯示地圖上一點或兩點與相隔點間的真實比例。請記住，任何投影都不能實現地圖上的所有點是等距離的。

2.3.2.4 真方向投影

曲面（例如，地球）上兩點間的最短路徑是沿平面上直線的球面等價線。即，兩點所在的大圓。真方向（或方位）投影維持某些大圓圓弧不變，從而能夠相對于中心正確地給出地圖上所有點的方向或方位角。某些真方向投影也是等角、等積或等距投影。

三、投影參數

僅有地圖投影并不足以定義投影坐標系。可以聲明數據集處于橫軸墨卡托投影中，但這些信息并不充足。投影中心在哪？是否使用了比例尺因子？如果不知道投影參數的精確值，就無法重新投影數據集。這就需要投影參數，通過投影參數可以了解投影對數據造成的變形程度。

每種地圖投影都有一組必須定義的參數。參數用于指定原點以及為感興趣區域自定義投影。角度參數使用地理坐標系單位，而線性參數使用投影坐標系單位。

3.1 線性參數

東移假定值是應用到 x 坐標原點的線性值。北移假定值是應用到 y 坐標原點的線性值。

通常使用東移假定值和北移假定值來確保所有 x 值和 y 值都是正數。也可以使用東移假定值和北移假定值參數來縮小 x 坐標值或 y 坐標值的范圍。例如，如果知道所有 y 值均大于 5,000,000 米，則可使用 -5,000,000 的北移假定值。

在垂直近側透視投影中，高度定義球體或旋轉橢球體表面上方的透視點。

3.2 角度參數

• 方位角定義投影的中心線。旋轉角度用于測量北偏東方向的角度。它在洪特尼斜軸墨卡托投影、改良斜正形投影和局部投影中與方位角配合使用。
• 中央子午線定義 x 坐標的原點。
• 起始經度定義 x 坐標的原點。中央子午線與起始經度參數同義。
• 中央緯線定義 y 坐標的原點。
• 起始緯度定義 y 坐標的原點。此參數可能并不在投影中心。特別地，圓錐投影使用此參數設置感興趣區域下 y 坐標的原點。在這種情況下，不需要設置北移假定值參數來確保所有 y 坐標都是正數。
• 中心經度與洪特尼斜軸墨卡托投影中心（兩點和方位角）配合使用來定義 x 坐標的起點。它通常與起始經度和中央子午線參數同義。
• 中心緯度與洪特尼斜軸墨卡托投影中心（兩點和方位角）配合使用來定義 y 坐標的原點。它幾乎總是投影的中心。
• 標準緯線 1 和標準緯線 2 與圓錐投影配合使用來定義比例為 1.0 的緯線。使用一條標準緯線定義蘭勃特等角圓錐投影時，第一條標準緯線定義 y 坐標的原點。

對于其他圓錐投影來說，y 坐標原點由起始緯度參數確定。

• 第一點的經度
• 第一點的緯度
• 第二點的經度
• 第二點的緯度

以上四個參數在兩點等距投影和洪特尼斜軸墨卡托投影中使用。它們指定兩個用來定義投影中心軸的地理點。

• 偽標準緯線 1 用于在 Krovak 投影中定義斜圓錐的標準緯線。
• XY 平面旋轉定義 Krovak 投影的方向，以及 x 和 y 比例參數。

3.3 無單位參數

• 比例尺因子是應用于地圖投影中心點或中心線的無單位值。
  比例尺因子通常略小于 1。使用橫軸墨卡托投影的通用橫軸墨卡托 (UTM) 坐標系的比例尺因子為 0.9996。沿投影中央子午線的比例是 0.9996，而不是 1。這將創建兩條幾乎平行的線，它們距比例為 1.0 的位置大約 180 千米（或約 1°）。該比例尺因子減小了感興趣區域上投影的總體變形程度。
• 在 Krovak 投影中使用 X 比例和 Y 比例對軸進行定向。
• 在立方體投影和富勒投影中，使用選項參數。在立方體投影中，使用選項定義極面的位置。在富勒投影中，當選項為 0 時，將顯示所有 20 個面。指定 1 到 20 之間的某個選項值將顯示單一面。在立方體投影中，有效的選項值介于 0 到 15 之間。

三、坐標系

3.1 什么是坐標系

坐標系 GCS（Geographic Coordinate System）全稱地理坐標系統，是用于表示地理要素、影像和觀測結果（如通用地理框架內的 GPS 位置）的參考系統。坐標系（地理坐標系或投影坐標系）為定義真實世界的位置提供了框架，使地理數據集可使用公共位置進行集成。每個坐標系通過以下幾方面定義：

• 測量框架，可以是地理框架（從地心開始測量球面坐標），也可以是平面框架（將地球的坐標投影到二維平面上）。
• 測量單位（通常對于投影坐標系為英尺或米，對于經緯度為十進制度數）。
• 投影坐標系的地圖投影定義。
• 其他測量系統屬性，例如參考橢圓體、基準面以及一條或多條標準緯線、中央經線和 x 與 y 方向的可能位移之類的投影參數。

3.2 坐標系類型

GIS 中使用兩種常用的坐標系類型：

• 全局坐標系或球坐標系，例如經緯度。這些坐標系通常稱為地理坐標系。
• 基于橫軸墨卡托、亞爾勃斯等積或羅賓森等地圖投影的投影坐標系，這些地圖投影（以及其他多種地圖投影模型）提供了各種機制將地球球面的地圖投影到二維笛卡爾坐標平面上。投影坐標系有時稱為地圖投影。

3.3 地理坐標系

地理坐標系 (GCS) 使用三維球面來定義地球上的位置。GCS 往往被誤稱為基準面，而基準面僅是 GCS 的一部分。GCS 包括角度測量單位、本初子午線和基準面（基于旋轉橢球體）。

可通過其經度和緯度值對點進行引用。經度和緯度是從地心到地球表面上某點的測量角。通常以度或百分度為單位來測量該角度。下圖將地球顯示為具有經度和緯度值的地球。

在球面系統中，水平線（或東西線）是等緯度線或緯線。垂直線（或南北線）是等經度線或經線。這些線包絡著地球，構成了一個稱為經緯網的格網化網絡。

位于兩極點中間的緯線稱為赤道。它定義的是零緯度線。零經度線稱為本初子午線。對于絕大多數地理坐標系，本初子午線是指通過英國格林尼治的經線。其他國家/地區使用通過伯爾尼、波哥大和巴黎的經線作為本初子午線。經緯網的原點 (0,0) 定義在赤道和本初子午線的交點處。這樣，地球就被分為了四個地理象限，它們均基于與原點所成的羅盤方位角。南和北分別位于赤道的下方和上方，而西和東分別位于本初子午線的左側和右側。

通常，經度和緯度值以十進制度為單位或以度、分和秒 (DMS) 為單位進行測量。維度值相對于赤道進行測量，其范圍是 -90°（南極點）到 +90°（北極點）。經度值相對于本初子午線進行測量。其范圍是 -180°（向西行進時）到 180°（向東行進時）。如果本初子午線是格林尼治子午線，則對于位于赤道南部和格林尼治東部的澳大利亞，其經度為正值，緯度為負值。

用 X 表示經度值并用 Y 表示緯度值可能會有幫助。這樣，顯示在地理坐標系上定義的數據就如同度是線性測量單位一樣。此方法與普通圓柱投影基本相同。
盡管使用經度和緯度可在地球表面上定位確切位置，但二者的測量單位是不同的。只有在赤道上，一經度所表示的距離才約等于一緯度所表示的距離。這是因為，赤道是唯一一條長度與經線相同的緯線。（其半徑與球面地球半徑相同的圓稱為大圓。赤道和所有經線都是大圓。）

在赤道上方和下方，用來定義緯度線的圓將逐漸變小，直到最終在南極點和北極點處變為一個點，所有經線均在此處相交。由于經線沿極點方向逐漸集中，所以一經度所表示的距離最終將減小為零。在 Clarke 1866 旋轉橢圓體上，赤道上的一經度等于 111.321 km，而在緯度為 60° 度位置，只有 55.802 km。因為經度和緯度不具有標準長度，所以無法對距離或面積進行精確測量，或者無法很容易地在平面地圖或計算機屏幕上顯示數據。

3.4 投影坐標系

投影坐標系在二維平面中進行定義。與地理坐標系不同，在二維空間范圍內，投影坐標系的長度、角度和面積恒定。投影坐標系始終基于地理坐標系，而后者則是基于球體或旋轉橢球體的。

在投影坐標系中，通過格網上的 x,y 坐標來標識位置，其原點位于格網中心。每個位置均具有兩個值，這兩個值是相對于該中心位置的坐標。一個指定其水平位置，另一個指定其垂直位置。這兩個值稱為 x 坐標和 y 坐標。采用此標記法，原點坐標是 x = 0 和 y = 0。

在等間隔水平線和垂直線的格網化網絡中，中央水平線稱為 x 軸，而中央垂直線稱為 y 軸。在 x 和 y 的整個范圍內，單位保持不變且間隔相等。原點上方的水平線和原點右側的垂直線具有正值；下方或左側的線具有負值。四個象限分別表示正負 X 坐標和 Y 坐標的四種可能組合。

在地理坐標系中處理數據時，有時用 X 軸表示經度值并用 Y 軸表示緯度值很有用。

四、地理變換

地理坐標系定義了一個用于標識 3D 地球上各位置點的框架。每個地理坐標系 (GCS) 都具有一個設置了大小和形狀的橢圓體。每個地理坐標系也以某種特定方式與地球緊密相關。因此，地面上的同一位置在不同地理坐標系中將具有不同的坐標值。如果在投影坐標系中顯示數據，這種差異會被放大，可能從幾厘米到幾百米不等。如果使用基于不同地理坐標系的數據集，則需要設置地理（或基準面）變換。

***注意：如果某對地理坐標系之間不具有任何變換，可能需要使用第三個地理坐標系來構建一系列變換。

4.1 基于方程的方法

基于方程的變換方法可歸類到以下四種方法類型。

4.1.1 三參數方法

最簡單的基準面變換方法是地心（或三參數）變換。地心變換在 XYZ 或 3D 直角坐標系中對兩個基準面間的差異情況進行建模。定義一個基準面使其中心為 0,0,0。相距一定距離定義另一個基準面（dx,dy,dz 或 ΔX,ΔY,ΔZ，單位為米）。

通常，變換參數被定義為“從”區域基準面“到”1984 世界坐標系 (WGS) 或另一個地心基準面。

三個參數是線性平移量并且始終以米為單位。

4.1.2 七參數方法

通過對地心變換再增加四個參數可實現更復雜和精確的基準面變換。七個參數是指三個線性平移量 (dx,dy,dz)、繞各軸的三個角度旋轉值 (rx,ry,rz) 和一個比例尺因子。

旋轉值以十進制秒為單位給定，而比例尺因子采用百萬分率 (ppm)。旋轉值有兩種不同的定義方法：朝 XYZ 系統原點方向看時順時針為正或逆時針為正。

前面的方程表示美國和澳大利亞定義方程的方式，稱為坐標框架旋轉變換。逆時針旋轉為正。歐洲使用稱為位置矢量變換的另一種約定。這兩種方法有時被稱為布爾沙-沃爾夫方法。在投影引擎中，坐標框架和布爾沙-沃爾夫方法完全相同。坐標框架和位置矢量方法均受支持，并且通過更改三個旋轉值的符號可以很方便地將變換值從一種方法轉換到另一種方法。例如，對于坐標框架方法，從 WGS 1972 基準面轉換到 WGS 1984 基準面的所用參數（順序為 dx,dy,dz,rx,ry,rz,s）是：

(0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, -0.554, 0.227)

要在位置矢量方法中使用相同的參數，請更改旋轉值的符號，新參數如下：

(0.0, 0.0, 4.5, 0.0, 0.0, +0.554, 0.227)

無法單從參數確定正在使用哪種約定。如果使用錯誤的方法，結果將返回不精確的坐標。確定參數定義方式的唯一方法是在兩個系統中檢查坐標為已知的控制點。

4.2 基于格網的方法

略

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GIS原理篇 地图投影的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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