果然，我還是沒有看平臺式慣導的初始對準和高度通道，而是直接來到了捷聯慣導的部分。之前看過四元數部分的內容，所以現在就當是復習了。回顧一下我之前做的筆記，好像沒有四元數微分方程，所以還是在這記錄一下吧，也可以說搬運一下。

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在捷聯慣導中，表征從導航系n系到機體系b系的四元數為：

$$Q=cos\frac{\theta }{2}+u^{n}sin\frac{\theta }{2}$$

式中，剛體繞瞬時軸$u^n$（單位向量）旋轉。
兩邊求導可得：

$$\frac{dQ}{dt}=?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}+sin\frac{\theta }{2}\frac{d{u}^n}{dt}$$

可以這樣理解，$u^n$為某一瞬時固定軸，是一個常量，所以其導數為0，則：

$$\frac{dQ}{dt}=?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}$$

對于$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}$和四元數$Q$的乘積有：

$$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?Q=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?(cos\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2})=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}+u^n?u^n\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}$$

而$u^n?u^n=?1$，所以：

$$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?Q=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}=\frac{dQ}{dt}$$

即：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{\dot{\theta }}{2}{u}^n?Q$$

其中，$
\dot{\theta}\vec{u}^n
$表示角速度標量與角速度方向的乘積即為角速度矢量。這里旋轉方向從n系到b系，在n系上的投影，如下：

$$\dot{\theta }{u}^n={\omega }_{nb}^n$$

所以：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{\omega }_{nb}^n?Q$$

$ \vec{\omega}{nb}^n $ 需要通過 $ \vec{\omega}{nb}^b $ 求得：

$${\omega }_{nb}^n=Q?{\omega }_{nb}^b?Q^{?}$$

即：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{\omega }_{nb}^n?Q=\frac{1}{2}Q?{\omega }_{nb}^b?Q^{?}?Q=\frac{1}{2}Q?{\omega }_{nb}^b$$

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{M}^{\prime }({\omega }_{nb}^b)Q$$

這就是四元數微分方程

式中：

$${\omega }_{nb}^b={\omega }_{ib}^b?{\omega }_{in}^b={\omega }_{ib}^b?C_n^b{\omega }_{in}^n={\omega }_{ib}^b?C_n^b({\omega }_{ie}^n+{\omega }_{en}^n)$$

${\omega }_{ib}^b$ 為捷聯陀螺的輸出；
$C_n^b$由姿態更新的最新值確定；
${\omega }_{ie}^n$ 和 ${\omega }_{en}^n$分別為導航系相對于地球的角速度和地球自轉角速度在導航系上的投影，對于導航系取地理坐標系的情況：

$${\omega }_{ie}^n+{\omega }_{en}^n=?\begin{array}{c}?\frac{V_N}{R_M}\\ \\ {\omega }_{ie}cosL+\frac{V_E}{R_N}\\ \\ {\omega }_{ie}sinL+\frac{V_E}{R_N}tanL\end{array}?$$

這在指北方位慣導系統的平臺指令角速度中已經證明過。

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感覺最近推導的公式有點多，思緒有時候很混亂，所以打算捋一捋思緒，不知道又要有多長時間。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的016四元数微分方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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