2019届宝鸡理数质检Ⅰ解析版
一、選擇題：
例6【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第6題】
現執行如圖所示的程序框圖，該算法的功能是【】
\(A.\)求兩個正數\(a\)，\(b\)的最小公倍數
\(B.\)判斷兩個正數\(a\)，\(b\)是否相等
\(C.\)判斷其中一個正數能否被另一個正數整除
\(D.\)求兩個正數\(a\)，\(b\)的最大公約數
分析：抽象問題具體化，采用特殊化策略，
令\(a=6\)，\(b=8\)，按程序框圖執行，
STEP1：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，否，\(b=2\)；
STEP2：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，是，\(a=4\)；
STEP3：\(a\neq b\)，是，\(a>b\)，是，\(a=2\)；
STEP4：\(a\neq b\)，否，輸出\(a=2\)；
即算法的功能是利用“更相減損術”求兩個正數的最大公約數。故選\(D\)。
例7【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第7題】
\(\Delta ABC\)的內角\(A，B，C\)所對的邊分別為\(a，b，c\)，已知\(b=\sqrt{7}\)，\(c=4\)，\(cosB=\cfrac{3}{4}\)，則\(\Delta ABC\)的面積為【】
$A.3\sqrt{7}$ $B.\cfrac{3\sqrt{7}}{2}$ $C.9$ $D.\cfrac{9}{2}$分析：屬于三角函數中已知兩邊和一邊的對角的形式，常用正弦定理或余弦定理求解；
更多的采用余弦定理的方程表達形式，也是考試中對余弦定理考察形式中的高頻考查模式。
\(b^2=a^2+c^2-2accosB\)，即\(7=a^2+14-2a\times 4\times\cfrac{3}{4}\)，
得到\(a^2-6a+9=0\)，即\(a=3\)，又由于\(sinB=\cfrac{\sqrt{7}}{4}\)，
故\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}acsinB=\cfrac{3\sqrt{7}}{2}\)，選\(B\)。
例8【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第8題】
平面直角坐標系\(xoy\)中，動點\(P\)與圓\((x-2)^2+y^2=1\)上的點的最短距離與其到直線\(x=-1\)的距離相等，則點\(P\)的軌跡方程為【】
分析：由題意可知，\(|PQ|=|PD|\)，但是用這個不好建立軌跡方程，或者不能有效的和拋物線的定義建立聯系，
故等價轉化為\(|PA|=|PB|\)，且其模型為\(y^2=2px\)。
這樣就可以理解為平面內一個動點\(P\)到一個定點\(A\)的距離等于其到定直線\(x=-2\)的距離。
由拋物線的定義可知，\(-\cfrac{p}{2}=-2\)，即\(p=4\)，故\(y^2=2\times 4x=8x\)，故選\(A\)。
例9【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第9題】
等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若公差\(d>0\)，若\((S_8-S_5)(S_9-S_5)<0\)，則【】
分析：由題目可知，數列為單調遞增數列，則有\(S_8-S_5<0\)，且\(S_9-S_5>0\)
即\(S_8-S_5=a_6+a_7+a_8=3a_7<0\)，\(a_7<0\)，
\(S_9-S_5=a_6+a_7+a_8+a_9=2(a_7+a_8)>0\)，即\(a_8>0\)，且\(|a_8|>|a_7|\)，故選\(D\)。
例10【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第10題】
已知正三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AA_1=2\)，則異面直線\(AB_1\)與\(CA_1\)所成角的余弦值為【】
$A.0$ $B.-\cfrac{1}{4}$ $C.\cfrac{1}{4}$ $D.\cfrac{1}{2}$ 【法1】空間向量法，第一種建系方式；以點$A$為坐標原點，以$AC$，$AA_1$分別為$y$、$z$軸，以和$AC$垂直的直線為$x$軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則$A(0，0，0)$，$B(\sqrt{3}，1，0)$，$A_1(0，0，2)$，$B_1(\sqrt{3}，1，2)$，$C(0，2，0)$， $\overrightarrow{AB_1}=(\sqrt{3}，1，2)$，$\overrightarrow{A_1C}=(0，2，-2)$，且線線角的范圍是$[0，\cfrac{\pi}{2}]$， 故所求角的余弦值為$|cos|=\cfrac{|1\times 2+2\times(-2)|}{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}=\cfrac{1}{4}$。故選$C$。 【法1】空間向量法，第二種建系方式；以$BN$的中點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系， 則$A(1，0，0)$，$B(0，\sqrt{3}，0)$，$C(-1，0，0)$，$A_1(1，0，2)$，$B_1(0，\sqrt{3}，2)$，$C_1(-1，0，2)$， $\overrightarrow{AB_1}=(-1，\sqrt{3}，2)$，$\overrightarrow{A_1C}=(-2，0，-2)$，且線線角的范圍是$[0，\cfrac{\pi}{2}]$， 故所求角的余弦值為$|cos|=\cfrac{|-1\times (-2)+\sqrt{3}\times 0+2\times(-2)|}{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}=\cfrac{1}{4}$。故選$C$。 【法2】：立體幾何法，補體平移法，將正三棱柱補體為一個底面為菱形的直四棱柱，連結$B_1D$，則$B_1D//A_1C$， 故異面直線$AB_1$與$CA_1$所成角，即轉化為共面直線$AB_1$與$B_1D$所成的角$\angle AB_1D$，連結$AD$， 在$\Delta AB_1D$中，$AB=AA_1=2$，可得$AB_1=B_1D=2\sqrt{2}$，$AD=2\sqrt{3}$， 由余弦定理可知，$cos\angle AB_1D=\cfrac{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}{2\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}}=\cfrac{1}{4}$， 故所求為$\cfrac{1}{4}$，故選$C$。例11【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第11題】
已知雙曲線\(E：\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)，\(a>0，b>0\)，點\(F\)為\(E\)的左焦點，點\(P\)為\(E\)上位于第一象限內的點，\(P\)關于原點的對稱點為\(Q\)，且滿足\(|PF|=3|FQ|\)，若\(|OP|=b\)，則\(E\)的離心率為【】
法1：做出如圖所示的示意圖如下，
由圖可知，設右焦點為\(G\)，則\(|PG|=|FQ|\)，則由\(|PF|=3|FQ|\)，得到\(|PF|=3|PG|\)，
又由雙曲線的定義可知，\(|PF|-|PG|=2a\)，即得到\(|PG|=a\)，
這樣在\(\triangle POG\)中，\(|OP|=b\)，\(|PG|=a\)，\(|OG|=c\)，
在\(\triangle POF\)中，\(|OP|=b\)，\(|PF|=3a\)，\(|OF|=c\)，
由\(cos\angle POG+cos\angle POF=0\)，即\(\cfrac{b^2+c^2-(3a)^2}{2bc}+\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=0\)，
解得\(c^2=3a^2\)，即\((\cfrac{c}{a})^2=3\)，即\(e=\sqrt{3}\)。
法2：特殊化策略，待思考整理。
例12【2019屆寶雞市高三理科數學質量檢測一第12題】設函數\(f(x)=(x-a)^2+(lnx^2-2a)^2\)，其中\(x>0\)，\(a\in R\)，存在\(x_0\)，使得\(f(x_0)\leq \cfrac{4}{5}\)成立，則實數\(a\)等于【】
$A.1$ $B.\cfrac{1}{5}$ $C.\cfrac{2}{5}$ $D.\cfrac{1}{2}$分析：由于題目告訴我們，存在\(x_0\)，使得\(f(x_0)\leq \cfrac{4}{5}\)成立，
則需要我們求解函數\(f(x)\)的最小值，最容易想到的就是利用導數求解函數的最小值，
這個最小值中會含有參數\(a\)，讓其小于等于\(\cfrac{4}{5}\)，求解即可。
但是觀察函數的特征，你會感覺這可能不是一個很好的選擇。
那么有沒有更好的選擇呢，詳細觀察所給的函數結構特征，發現其和平面內任意兩點見的距離公式很接近，
所以我們可以這樣考慮：
函數\(f(x)\)的最小值應該是點\((x，lnx^2)\)和點\((a，2a)\)之間的最小距離的平方，再次轉化為
函數\(y=g(x)=lnx^2=2lnx\)上的動點\((x，y)\)與函數\(y=h(x)=2x\)上的動點\((m，n)\)之間的最小距離的平方，
從而問題轉化為先求解曲線\(y=2lnx\)上的動點到直線\(y=2x\)的最小距離了。
利用平行線法，設直線\(y=2x+m\)與曲線相切于點\((x_0，y_0)\)，
則有\(g'(x_0)=\cfrac{2}{x_0}=2\)，解得\(x_0=1\)，
代入\(y=2lnx\)，得到\(y_0=0\)，即切點為\((1，0)\)點，
代入\(y=2x+m\)，得到\(m=-2\)
即切線為\(y=2x-2\)，此時函數\(f(x)\)的最小值，也就是曲線上的點\((1，0)\)到直線\(y=2x\)的點線距的平方，
也是兩條直線\(y=2x\)和\(y=2x-2\)之間的線線距的平方，其中線線距\(d=\cfrac{|2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{5}}\)
故\(d^2=\cfrac{4}{5}\)，說明這樣的\(x_0\)是存在的，\(x_0=1\)，
那么\(a\)為多少?該如何求解呢？由于\(a\)是使得函數\(f(x)\)取得最小值的參數，
即本題目中應該是點\((1，0)\)在直線\(y=2x\)上的垂足的橫坐標。
由于過點\((1，0)\)和\(y=2x\)垂直的直線為\(y-0=-\cfrac{1}{2}(x-1)\)，
聯立\(\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\cfrac{1}{2}(x-1)}\end{array}\right.\)，解得\(x=\cfrac{1}{5}\)，
即\(a=\cfrac{1}{5}\)，故選\(B\)。
法2：驗證法，待整理。
二、填空題：
例14【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第14題】我國古代數學名著《周髀算經》記載有“勾股各自乘，并而開方除之”，用符號表示為\(a^2+b^2=c^2\)，\((a，b，c\in N^*)\)，我們把\(a，b，c\)成為勾股數，下面給出幾組勾股數：\(3，4，5\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(9，40，41\)；\(\cdots\)，以此類推，可猜測第五組勾股數為__________ 。
分析：
\(\begin{array}{ccc} \color{red}{3}&4&5\\ 2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\\ 5&12&13\\ 2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\\ 7&24&25\\ 2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\\ 9&40&41\\ 2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\\ 11&60&61\\ 2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\\ 13&84&85\\ 2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\\ 15&112&113\\ 2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\ \end{array}\)
故第五組勾股數為\(11，60，61\)；
推廣得到第\(n\)組勾股數的組成規律：
\(a=2\times n+1\)，\(b=2\times(n+1)+1\)，\(a=2\times n\times (n+1)+1\)，
例15【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第15題】
已知一個四面體\(ABCD\)的每個頂點都在表面積為\(9\pi\)的球面上，且\(AB=CD=a\)，\(AC=AD=BC=BD=\sqrt{5}\)，則\(a\)=__________。
分析：直接構造，很難，
由題意可采用割補法，考慮到四面體\(ABCD\)的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以\(a\)，\(\sqrt{5}\)，\(\sqrt{5}\)為三邊的三角形作為底面，且分別為\(x\)，\(y\)，\(z\)為側棱長、且側棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為\(x\)，\(y\)，\(z\)的長方體，
則有\(x^2+y^2=a^2\)，\(x^2+z^2=5\)，\(y^2+z^2=5\)，設球半徑為\(R\)，則有\((2R)^2=x^2+y^2+z^2=\cfrac{1}{2}a^2+5\)，
又由于四面體\(ABCD\)的外接球的表面積為\(9\pi\)，則球的表面積為\(S=4\pi R^2=9\pi\)．
即\(4R^2=9\)，則\(\cfrac{1}{2}a^2+5=9\)，解得\(a=2\sqrt{2}\)。
例16【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第16題】
已知定義在實數集\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=4\)，且\(f(x)\)的導函數\(f'(x)<3\)，則不等式\(f(lnx)>3lnx+1\)的解集為______。
分析：本題目涉及構造函數的方法，是個難題，不過還是有一定的規律可以遵循的，
我們先將要求解的不等式中的\(lnx\)理解為一個整體，這樣就變形為\(f(t)>3t+1\)，
所以就容易看出來該怎么構造函數了，做差構造。【為什么這樣構造？帶著問題繼續往下看】
令\(g(x)=f(x)-3x-1\)，這樣\(g'(x)=f'(x)-3\)，由\(f'(x)<3\)，可知\(g'(x)<0\)，
即這樣構造后我們能輕易知道這個函數的單調性，即函數\(g(x)\)在\(R\)上單調遞減，
又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)，
即到此我們就完全清楚了所構造的函數的性質，在\(R\)上單調遞減，且有唯一的零點為\(x=1\)，
故由\(g(x)>0\)可以得到解為\(x<1\)，由\(g(x)<0\)可以得到解為\(x>1\)，
現在\(f(lnx)>3lnx+1\)等價于\(g(lnx)>0\)，故得到\(lnx<1\)，
解得\(0<x<e\)，故解集為\((0，e)\)。
相關閱讀： 構造函數的幾種常見角度；構造函數習題
例16-姊妹【全國名校聯盟2018-2019高三第二次聯考第12題】【針對性練習】
已知定義在實數集\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f'(x)<2\)，\(f(1)=1\)，\(f'(x)\)是\(f(x)\)的導函數，則不等式\(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1\)的解集為______。
$A.(0，2)$ $B.(-\infty，2)$ $C.(2，+\infty)$ $D.(\cfrac{1}{2}，2)$分析：完全仿照上述題目解法完成。
簡解：令\(g(x)=f(x)-2x+1\)，則\(g'(x)=f'(x)-2<0\)，故函數\(g(x)\)在\(R\)上單調遞減，
又\(g(1)=f(1)-2\times 1+1=0\)，故可知\(g(x)>0\)時的解集為\(\{x\mid x<1\}\)，
又由于原不等式\(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1\)等價于\(g(|log_2x|)>0\)，
故先得到\(|log_2x|<1\)，即\(-1<log_2x<1\)，即\(log_2\cfrac{1}{2}<x<log_22\)，
解得\(\cfrac{1}{2}<x<2\)，故選\(D\)。
三、解答題：
例19【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第19題】
已知橢圓\(C：\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1，a>b>0\)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓\(x^2+y^2=1\)。
(1)求橢圓\(C\)的方程；
分析：由題目可知，\(b=1\)，\(c=1\)，則\(a^2=2\)，
故橢圓方程為\(C：\cfrac{x^2}{2}+y^2=1\)；
(2)若斜率為\(k\)的直線過點\(M(2，0)\)，且與橢圓\(C\)相交于\(A、B\)兩點，試探討\(k\)為何值時，\(OA\perp OB\)。
分析：設點\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，直線\(AB\)的方程為\(y=k(x-2)\)，
由\(\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-2)}\\{\cfrac{x^2}{2}+y^2=1}\end{array}\right.\)，消去\(y\)得到，\((1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-2=0\)，
所以\(x_1+x_2=\cfrac{8k^2}{1+2k^2}\)，\(x_1x_2=\cfrac{8k^2-2}{1+2k^2}\)，
由于\(OA\perp OB\)，所以\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。
而\(y_1y_2=k^2(x_1-2)(x_2-2)\)，所以\(x_1x_2+k^2(x_1-2)(x_2-2)=0\)，
即\((1+k^2)x_1x_2-2k^2(x_1+x_2)+4k^2=0\)，
所以\(\cfrac{(1+k^2)(8k^2-2)}{1+2k^2}-\cfrac{16k^4}{1+2k^2}+4k^2=0\)，
解得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，此時\(\Delta >0\)，所以\(k=\pm \cfrac{\sqrt{5}}{5}\)。
例20【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第20題】
某商場銷售電冰箱，每周周初購進一定數量的電冰箱，上次每銷售一臺電冰箱獲利\(500\)元，若供大于求，則每臺多余的電冰箱需要交保管費\(100\)元；若供不應求，則可從其他商場調劑供應，此時每臺電冰箱僅獲利\(200\)元。
(1)、若該商場周初購進\(20\)臺電冰箱，求當周的利潤(單位：元)關于需求量\(n\)(單位：臺，\(n\in N\))的函數解析式；
分析：\(1^{\circ}\)，當\(n\ge 20\)且\(n\in N\)時(供不應求)，\(f(n)=500\times 20+200\times(n-20)=200n+6000\)，
\(2^{\circ}\)，當\(n\leq 19\)且\(n\in N\)時(供大于求)，\(f(n)=500\times n-100\times(20-n)=600n-2000\)，
所以\(f(n)=\left\{\begin{array}{l}{200n+6000，n\ge 20}\\{600n-2000，n\leq 19}\end{array}\right.(n\in N)\)
(2)、該商場記錄了去年夏天(共10周)的電冰箱需求量\(n\)(單位：臺)整理得下表，
| n | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以記錄的每周的需求量的頻率作為每周需求量的概率，若商場周初購進\(20\)臺電冰箱，\(x\)表示當周的利潤(單位：元)，求\(x\)的分布列及數學期望。
分析：由(1)可知，\(f(18)=8800\)，\(f(19)=9400\)，\(f(20)=10000\)，\(f(21)=10200\)，\(f(22)=10400\)，
所以\(x\)的分布列為
| \(p\) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 |
所以，\(Ex=8800\times 0.1+9400\times 0.2+10000\times 0.3+10200\times 0.3+10400\times 0.1=9860\)。
例21【2019屆寶雞市高三理科數學質檢Ⅰ第21題】
已知函數\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)．
（1）討論\(f(x)\)的單調性．
【分析】利用導函數分解因式后的兩個因式函數的圖像和符號法則判斷導函數的正負，
從而判斷原函數的單調性。
【解答】定義域為\(R\)，\(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)\)，
在同一個坐標系中做出函數\(y=x-1\)(定圖)和函數\(y=e^x+2a\)(動圖)的圖像，
根據動圖\(y=e^x+2a\)是否與\(x\)軸有交點分類討論如下：
①當\(2a\ge 0\)時，即\(a\ge 0\)時，恒有\(e^x+2a>0\)，
當\(x\in (-\infty，1)\)上時，\(x-1<0\) ，則\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0\)，故\(f(x)\)單調遞減，
當\(x\in (1，+\infty)\)上時，\(x-1>0\) ，則\(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0\)，故\(f(x)\)單調遞增，
當\(2a<0\)時，即\(a<0\)時，\(y=e^x+2a\)與\(x\)軸有交點，令\(e^x+2a=0\)，解得\(x=ln(-2a)\)，
然后針對\(ln(-2a)\)與\(1\)的大小關系繼續細分如下
②當\(ln(-2a)<1\)時，即\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)時，
當\(x\in(-\infty，ln(-2a))\)時，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
當\(x\in(ln(-2a)，1)\)時，\(e^x+2a>0\)，\(x-1<0\)，則\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減；
當\(x\in(1，+\infty)\)時，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
③當\(ln(-2a)=1\)時，即\(a=-\cfrac{e}{2}\)時，
當\(x\in(-\infty，1)\)時，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
當\(x\in(1，+\infty)\)時，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
即\(x\in (-\infty，+\infty)\)時，恒有\(f'(x)\ge 0\)，當且僅當\(x=1\)時取到等號，故\(f(x)\)單調遞增；
④當\(ln(-2a)>1\)時，即\(a<-\cfrac{e}{2}\)時，
當\(x\in(-\infty，1)\)時，\(e^x+2a<0\)，\(x-1<0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
當\(x\in(1，ln(-2a))\)時，\(e^x+2a<0\)，\(x-1>0\)，則\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減；
當\(x\in(ln(-2a)，+\infty)\)時，\(e^x+2a>0\)，\(x-1>0\)，則\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
綜上所述，
當\(a<-\cfrac{e}{2}\)時，單增區間為\((-\infty，1)\)和\((ln(-2a)，+\infty)\)，單減區間為\((1，ln(-2a))\)；
當\(a=-\cfrac{e}{2}\)時，只有單增區間為\((-\infty，+\infty)\)；
當\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)時，單增區間為\((-\infty，ln(-2a))\)和\((1，+\infty)\)，單減區間為\((ln(-2a)，1)\)；
當\(a\ge 0\)時，單減區間為\((-\infty，1)\)，單增區間為\((1，+\infty)\)；
【點評】由于教材上所舉例子是從數的角度求解導函數的正負，從而判斷原函數的單調性，
故許多學生碰到這個題目時思路會受阻，需要老師做引導，如果從數的角度不能突破，可以考慮從形的角度入手分析。
相關閱讀：導數法判斷函數的單調性的策略
（2）若函數\(f(x)\)有兩個零點，求實數\(a\)的取值范圍。
法1：利用第一問的結論，結合極值點的正負判斷。
\(1^\circ\)：當\(a>0\)時，由(1)知\(f(x)\)在\((-\infty，1)\)上單調遞減，在\((1，+\infty)\)上單調遞增，又極小值\(f(1)=-e<0\)，
\(f(2)=a>0\)，取\(b\)滿足\(b<0\)且\(b<ln\cfrac{a}{2}\)，則\(f(b)>\cfrac{a}{2}(b-2)+a(b-1)^2=a(b^2-\cfrac{3}{2}b)>0\)，所以有兩個零點。
當然，如果想不到上述的零點存在性定理，也可以降而求其次，利用\(x\rightarrow +\infty\)時，\(f(x)\rightarrow +\infty\)，\(x\rightarrow -\infty\)時，\(f(x)\rightarrow +\infty\)，
也能說明有兩個零點，只是準確性和精確性不如上述的方法。
\(2^\circ\)：當\(a=0\)時，\(f(x)=(x-2)e^x\)，所以函數\(f(x)\)只有一個零點；
\(3^\circ\)：當\(-\cfrac{e}{2}<a<0\)時，函數在\((-\infty，ln(-2a))\)上單調遞增，在\((ln(-2a)，1)\)上單調遞減，在\((1，+\infty)\)上單調遞增；
故極大值為\(f(ln(-2a))=(a-2)(-2a)+a(-2a-1)^2=-2a(a-2)+a(2a+1)^2<0\)，極小值為\(f(1)=-e<0\)，故函數只有一個零點；
\(4^\circ\)：當\(-\cfrac{e}{2}=a\)，函數在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞增，故函數最多只有一個零點；
\(5^\circ\)：當\(a<-\cfrac{e}{2}\)，函數在\((-\infty，1)\)上單調遞增，在\((1，ln(-2a))\)上單調遞減，在\((ln(-2a)，+\infty)\)上單調遞增；
故極大值為\(f(1)=-e<0\)，極小值為\(f(ln(-2a))=(a-2)(-2a)+a(-2a-1)^2=-2a(a-2)+a(2a+1)^2<0\)，故函數只有一個零點；
綜上所述，\(a\)的取值范圍是\((0，+\infty)\)。
【反思總結】
由于利用函數的單調性，可以知道函數的大致圖像，故針對含有參數的函數，可以分類討論解決給定函數的零點求參數的取值范圍問題。
注意題目中的隱含條件，如本題目中的\(f(1)=-e\)，\(f(2)=a\)，
與函數的零點有關的問題，還常常會和函數的零點存在性定理相關聯。
法2：利用數形結合轉化為兩個函數的圖像交點個數問題。
由于函數\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)有兩個零點，則方程\((x-2)e^x+a(x-1)^2=0\)有兩個不同實根，
不完全分離參數得到，方程\((2-x)e^x=a(x-1)^2\)有兩個不同實根，
即函數\(h(x)=(2-x)e^x\)與函數\(g(x)=a(x-1)^2\)有兩個不同的交點，
先用導數研究函數\(h(x)\)的單調性，具體過程暫略。
做出其函數大致圖像，再做出函數\(g(x)\)的圖像，
由圖可知，當\(a>0\)時，兩個函數的圖像有兩個不同的交點，
當\(a=0\)時，兩個函數的圖像有一個交點，
當\(a<0\)時，兩個函數的圖像有一個交點，
綜上所述，\(a\)的取值范圍是\((0，+\infty)\)。
法3：完全分離參數法，得到\(a=\cfrac{(2-x)e^x}{(x-1)^2}=h(x)\)
由于\([(2-x)e^x]'=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x\)，
故\(h'(x)=\cfrac{(1-x)e^x\cdot (x-1)^2-(2-x)e^x\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}\)，
\(=\cfrac{(1-x)(x-1)e^x-2(2-x)e^x}{(x-1)^3}\)
\(=\cfrac{-(x-1)^2e^x+(2x-4)e^x}{(x-1)^3}\)
\(=\cfrac{-e^x[(x-2)^2+1]}{(x-1)^3}\)
當\(x<1\)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)單調遞增，當\(x>1\)，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)單調遞減，
做出函數\(h(x)\)的簡圖如下，
由圖像可知，要使得\(y=a\)與\(h(x)\)的圖像有兩個交點，必須\(a>0\)，
即函數\(f(x)\)有兩個零點，實數\(a\)的取值范圍為\((0，+\infty)\)。
相關閱讀：1、函數與導數部分的題型梳理
2、導數章節中的題型和對應求解思路
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的2019届宝鸡理数质检Ⅰ解析版的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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