AC源工作頻率相同，相位不同的系統(tǒng)被稱為多相(polyphase)

三相變壓器優(yōu)勢(shì)如下：

幾乎所有電能都以三相的形式產(chǎn)生和傳輸

三相電機(jī)或發(fā)電器的功率和轉(zhuǎn)矩是常數(shù)，意味著可以讓機(jī)器相比單相系統(tǒng)更加穩(wěn)定

相同功率下，三相系統(tǒng)比單相的更經(jīng)濟(jì)，相對(duì)的，其他條件相同時(shí)，三相系統(tǒng)可以擁有更大的功率

文章目錄

• 1. 平衡三相電路
• • 1.1 三相發(fā)電機(jī)
  • 1.2 連接方式
  • • 1.2.1 Y型電源
    • • 1.2.1.1 Y型電源的電壓
      • 1.2.1.2 Y型電源的電流
    • 1.2.2 Δ型電源
    • • 1.2.2.1 Δ型電源的電壓
      • 1.2.2.2 Δ型電源的電流
    • 1.2.3 平衡負(fù)載
    • 1.2.4 平衡Y-Y連接
    • • 1.2.4.1 Y-Y的電壓
      • 1.2.4.2 Y-Y的電流
    • 1.2.5 平衡Y-Δ連接
    • 1.2.6 平衡Δ-Δ連接
    • 1.2.7 平衡Δ-Y連接
• 2. 不平衡三相電路
• 3. 平衡三相變壓器的功率
• • 3.1 有效功率
  • 3.2 無功功率
  • 3.3 表觀功率
  • 3.4 小結(jié)
• 4. 非平衡三相變壓器的功率
• 5. 三相系統(tǒng)功率的測(cè)量

1. 平衡三相電路

當(dāng)電源的相位差相同時(shí)，我們稱這個(gè)三相電路平衡（balanced）

1.1 三相發(fā)電機(jī)

一個(gè)三相發(fā)電機(jī)可以發(fā)出三個(gè)間隔為$120°$的電壓，這三個(gè)電壓幅度相同，頻率相同，他們?cè)跁r(shí)域和頻域上的表達(dá)式為

圖像為

1.2 連接方式

三相系統(tǒng)包含一個(gè)三相電壓源和一個(gè)三相負(fù)載，他們二者都擁有兩種連接方式，Y和$\Delta$，根據(jù)組合不同，最多能有四種三相系統(tǒng)

1.2.1 Y型電源

1.2.1.1 Y型電源的電壓

我們將變壓器末端負(fù)載上的電壓稱為相電壓（phase voltage）$V_p$
將任意兩條傳輸線之間的電壓稱為線電壓（line voltage）$V_L$

上圖中的$V_a,V_b,V_c$就是線電壓

對(duì)于一個(gè)平衡的變壓器，存在：
$$V_L=\sqrt{3}{V}_p$$
線電壓與相電壓之間的相位差為$30°$

一般來說，每一段線電壓和相電壓都是相同的

1.2.1.2 Y型電源的電流

線電流與相電流相等，且每一段現(xiàn)電流都是相同的，意味著知道一個(gè)電流就能知道其它所有電流

1.2.2 Δ型電源

在Δ型電源中，電源的頭和尾互相連接構(gòu)成了一個(gè)回路

1.2.2.1 Δ型電源的電壓

對(duì)于這種電路，線電壓與相電壓相等
$$V_L=V_p$$

1.2.2.2 Δ型電源的電流

標(biāo)出每條線上的電流，得到

根據(jù)KCL，我們可以得到下列等式

最終，得出線電流與相電流之間的關(guān)系為

每一段線電流比對(duì)應(yīng)的相電流延遲了$30°$，相應(yīng)的，線電流之間的相位差也都是$120°$，順序?yàn)閍bc或acb

1.2.3 平衡負(fù)載

一個(gè)平衡的三相系統(tǒng)包含平衡的電源和平衡的負(fù)載，平衡負(fù)載也擁有兩種連接方式，示意如下

其中左邊是Y型，右邊是Δ型，無論哪種連接，三個(gè)負(fù)載都是相等的

但是為了達(dá)到同樣的效果，兩種連接方式卻分別需要不同的負(fù)載，他們之間的等效關(guān)系在中間的紅框中標(biāo)出

1.2.4 平衡Y-Y連接

將一個(gè)平衡Y型電源和一個(gè)平衡Y型負(fù)載相連，我們就得到了一個(gè)平衡Y-Y系統(tǒng)，圖示如下

1.2.4.1 Y-Y的電壓

這種系統(tǒng)繼承了Y型電源的電壓特性和Y型負(fù)載的阻抗特性，因此，我們得到相電壓和線電壓之間的關(guān)系為

每一段線電壓都比對(duì)應(yīng)的相電壓滯后$30°$

1.2.4.2 Y-Y的電流

根據(jù)上面得到的電壓，我們用每個(gè)相電壓除以對(duì)應(yīng)線上的阻抗，可以得到電流及電流的相位，計(jì)算如下

經(jīng)過計(jì)算，我們知道中間這條線上的電流為0，這也意味著中間的電壓為0

1.2.5 平衡Y-Δ連接

這是將Y型電源與Δ型負(fù)載連接，圖示如下

這一電路的電壓特性仍與Y型的一樣，但要注意相電流的計(jì)算，在這里，我們需要用線電壓而不是相電壓來計(jì)算相電流，過程為

接著，我們可以用KCL來得到線電流

最終得到線電流與相電流的關(guān)系為

注意，這里的相電流為負(fù)載上的相電流，要將其與電源端的相電流區(qū)分開來，此處電源端的相電流仍然遵循Y型的特性，電源端相電流與線電流相等

1.2.6 平衡Δ-Δ連接

Δ-Δ型變壓器示意圖如下

由于電源端的線電壓與相電壓相同，我們可以直接有電源端的相電壓來計(jì)算負(fù)載端的相電流

1.2.7 平衡Δ-Y連接

電路圖如下

計(jì)算這里的電流時(shí)，我們既不能用電源端的線電壓，也不能用相電壓，而是需要用他們除以$\sqrt{3}$得到一個(gè)新的電壓

接著，用這個(gè)電壓去除以輸出端的阻抗，才能得到線電流

2. 不平衡三相電路

對(duì)于一個(gè)不平衡的三相電路，它的負(fù)載端阻抗不同，輸出端電壓也不同，靜電流不為0

舉個(gè)例子，之前我們?cè)谟懻撈胶釿-Y型變壓器時(shí)，提到終端的電流
$$I_n=I_a+I_b+I_c=0$$
但是對(duì)于非平衡Y-Y變壓器來說
$$I_n=?(I_a+I_b+I_c)=?(\frac{V_{an}}{Z_A}+\frac{V_{bn}}{Z_B}+\frac{V_{cn}}{Z_C})=0$$

同樣的，終端負(fù)載在Y與Δ之間的轉(zhuǎn)換也不再是簡(jiǎn)單的$Z_Y=\frac{Z_{\Delta }}{3}$，具體的轉(zhuǎn)化我們僅作了解即可

假設(shè)Y型負(fù)載的值分別為$Z_1,Z_2,Z_3$，Δ型負(fù)載的值分別為$Z_a,Z_b,Z_c$，則從Y到Δ的轉(zhuǎn)化為

從Δ到Y(jié)的轉(zhuǎn)化為

3. 平衡三相變壓器的功率

首先，我們回顧一下交流電路的功率，在交流電路中有三種功率
表觀功率（apparent power），有效功率（true power）和無功功率（reactive power）

帶有電感的負(fù)載會(huì)消耗無功功率和有效功率，電容會(huì)給系統(tǒng)提供無功功率

假設(shè)一個(gè)電路的電流I相比電壓V滯后了相位$?$，則該電路功率的表達(dá)式為

他們的表達(dá)式為

表觀功率 $S=VI$，單位為VA

有效功率$P=VIcos?$，單位為W

無功功率$Q=VIsin?$，單位為var

交流電路的功率因數(shù)為有效功率除以表觀功率
$$PF=P/S=cos?$$

三種功率之間的關(guān)系可以通過一個(gè)三角形表現(xiàn)

現(xiàn)在，我們來看平衡三相變壓器里功率的計(jì)算

3.1 有效功率

三相變壓器的總功率是所有相的有效功率之和，我們先來看單獨(dú)一個(gè)相的有效功率

三個(gè)相加起來的功率為

這里的是瞬時(shí)功率，與時(shí)間t無關(guān)，因此三相系統(tǒng)是穩(wěn)定的

將表達(dá)式中的相電壓和相電流換成線電壓和線電流，則為

注意這里對(duì)于任意連接形式都能得到這樣的結(jié)果，因?yàn)榫€電壓和線電流總有一個(gè)相當(dāng)于相電壓或相電流除以$\sqrt{3}$

3.2 無功功率

3.3 表觀功率

3.4 小結(jié)

同樣的，三相變壓器的功率也可以用一個(gè)三角形表現(xiàn)

功率的復(fù)數(shù)形式為

功率因數(shù)為
$$PF=\frac{P}{S}=cos?$$

4. 非平衡三相變壓器的功率

對(duì)于非平衡三相變壓器，總的功率仍然等于每一相的功率之和，但是每一相的功率因數(shù)$cos?$將不會(huì)相同

我們所要做的就是用每一相的相電流乘以對(duì)應(yīng)的阻抗來得出這一相的功率

5. 三相系統(tǒng)功率的測(cè)量

我們通常用瓦特計(jì)（wattmeter）來測(cè)量負(fù)載的平均功率

一個(gè)瓦特計(jì)需要同時(shí)連接電流和電壓，如圖

其中電流線圈的正極和電壓線圈的正極通常用$+$或$\pm$標(biāo)識(shí)

將瓦特計(jì)的電流線圈與負(fù)載串聯(lián)，電壓線圈聯(lián)在負(fù)載的兩端，我們就能很輕易地量出負(fù)載的功率

然而大多數(shù)情況下，負(fù)載會(huì)處于一個(gè)“黑盒子”內(nèi)，因而我們很可能無法直接將瓦特計(jì)與負(fù)載相連，此時(shí)就需要用到二瓦特計(jì)法（two-wattmeter method）

如上圖，通過 $W_1,W_2$ 兩個(gè)瓦特計(jì)，我們可以測(cè)出電流 $i_a,i_b$ 和電壓 $V_{ac},V_{bc}$

根據(jù)KCL，可以得到$i_c$為
$$i_c=?i_a?i_b$$

從而可以得出功率的表達(dá)式

從結(jié)果我們可以看出，功率可以只用我們量出的四個(gè)參數(shù)表達(dá)

然而，對(duì)于一個(gè)四線系統(tǒng)，我們需要用到三瓦特計(jì)法，如圖：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三相变压器的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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