线性代数归纳(二)
二、矩陣
（一）矩陣的概念及其類型：
1.由m x n 個數(shù)aij排成的m行n列并由方括號括起來的矩形鼠標(biāo)，稱為m x n矩陣。
2.有以下這么幾種特殊矩陣：
（1）當(dāng) m = n 時，矩陣A稱之為n階方陣。
（2）當(dāng) m = 1 時，矩陣A稱為行矩陣。
（3）當(dāng) n = 1 時，矩陣A稱為列矩陣。
（4）當(dāng)所有元素為 0 時，矩陣A稱為零矩陣，一般記為0mn或0矩陣。
（5）若有A矩陣，其對角線上的元素全為1，其余元素全為0，則稱之為單位矩陣，記作En或E，單位矩陣與任意矩陣的乘積仍為任意矩陣的原型。
（6）對角矩陣：矩陣A中除了主對角線上的元素不全為0，其余元素全為0。
（7）數(shù)量矩陣：就是一種特殊的對角矩陣：其主對角線上的元素全部相等且不為0。
（8）上下三角矩陣：與上下三角行列式同理。
（9）對稱矩陣與反對稱矩陣：滿足aij=aji的矩陣，則為對稱矩陣，即A的轉(zhuǎn)置矩陣＝A，那么稱A為對稱矩陣，若A的轉(zhuǎn)置矩陣＝-A 則稱A為反對稱矩陣，且反對稱矩陣的主對角線上的元素全為0。
（10）正交矩陣：如果n階方陣A滿足A×A的轉(zhuǎn)置矩陣=A的轉(zhuǎn)置矩陣×A=E，那么稱A為正交矩陣。
（11）階梯型矩陣：滿足條件：1.矩陣的零行（即所有元素為零的行）位于矩陣的最下方。2.非零行的首個不為零元素的列標(biāo)自頂而下隨行標(biāo)增大而增大（即若第一行第二列元素為首個不為零的元素，那么后面行數(shù)中必須滿足首個不為零的元素在第二列往后）。
（12）滿秩矩陣：若某n階方陣的秩等于n，那么該方陣稱為滿秩矩陣。
（二）矩陣的運算：
1.矩陣的加法： 只有同種類型的矩陣 (即相同行數(shù)相同列數(shù)) 才可以進行矩陣的相加，通常表現(xiàn)形式為各矩陣元素對應(yīng)相加。滿足交換律與結(jié)合律。
2.矩陣的減法：即矩陣的加法加個負號，與矩陣加法同理。
3.矩陣的數(shù)乘：若以數(shù)k乘上一個矩陣，即將該矩陣的各個元素乘上該元素即可。滿足分配律，結(jié)合律。
4.矩陣的乘法：前提：例如AXB；則A矩陣的列數(shù)一定要與B矩陣的行數(shù)相等，才可進行矩陣之間的相乘。新矩陣的第m行第n列等于A矩陣的第m行元素分別乘以B矩陣的n列元素之和。
即：
其中矩陣的乘法滿足結(jié)合律和分配律，但不滿足交換律和消去律，AB和BA不一定相等，AB皆不為0也可能得到AB=0。
5.矩陣的冪乘：
（三）矩陣的轉(zhuǎn)置：
1.一般地，我們將m x n型A矩陣中行元素與列元素交換得到的n x m型矩陣，我們記作A的轉(zhuǎn)置矩陣。
2.轉(zhuǎn)置矩陣的幾種特殊性質(zhì)：
(1)轉(zhuǎn)置矩陣的值等于原矩陣。
(2)A+B的轉(zhuǎn)置矩陣＝A轉(zhuǎn)置矩陣+B轉(zhuǎn)置矩陣。
(3)數(shù)乘矩陣：kA的轉(zhuǎn)置矩陣等于k×A的轉(zhuǎn)置矩陣。
(4)AB的轉(zhuǎn)置矩陣＝B的轉(zhuǎn)置矩陣×A的轉(zhuǎn)置矩陣。
（四）方陣行列式：
一般地，將方陣A的所有元素所構(gòu)成的行列式記作方陣行列式，記為det（A）。
方陣行列式有這么幾個特性：
1.兩個同階方陣相乘的行列式＝兩個方陣的行列式相乘。
2.兩個同階的行列式相乘也可以分別求出兩個方陣的乘積后再求行列式結(jié)果。
（五）逆矩陣：
對于n階方陣A，若存在同為n階的方陣B，使得AB=BA=E（單位矩陣），那么稱 B為A的逆矩陣， A矩陣為可逆矩陣。
逆矩陣有以下這么幾個性質(zhì)：
1.若A可逆，那么A的逆矩陣的逆矩陣為A矩陣。
2.若A矩陣可逆，B矩陣可逆，那么AB的逆矩陣＝B的逆矩陣×A的逆矩陣。
3.若A矩陣可逆，那么A的轉(zhuǎn)置矩陣也可逆。
4.若A矩陣可逆，那么A的逆矩陣的行列式＝A矩陣行列式的-1次方。
5.單位矩陣可逆。
6.零矩陣不可逆。
7.若A矩陣的行列式不等于0，我們稱該矩陣為非奇異矩陣，否則稱A奇異。
8.伴隨矩陣：由矩陣A的行列式det（A）中各個元素所對應(yīng)的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣，我們 稱之為伴隨矩陣。用A*表示：
伴隨矩陣可以帶給我們便利的運算。
9.若矩陣A為n階方陣，矩陣A可逆的充分必要條件是：A矩陣非奇異，且A的逆矩陣＝A*/det（A）。即
10.若一個n階方陣A的秩為n，那么該方陣A可逆。
（六）分塊矩陣：
分塊矩陣，顧名思義，將矩陣中的元素分塊形成更多的小矩陣，從而方便較高階矩陣的運算。以下為例子：設(shè)矩陣
求A+B 我們可以將矩陣分塊：
分塊后得：
這樣一來，A+B的矩陣就容易計算了，乘法同理，但乘法需要注意一點，左矩陣分塊后的 列數(shù)組 需要與右矩陣分塊后的 行數(shù)組 相同，才能夠進行相互之間的乘法運算。
（七）矩陣的初等行變換：
（1）矩陣的初等行變換形式：
1.將一個方程遍乘一個非零數(shù)值k。
2.將兩個方程互換位置。
3.將一個方程遍乘上k后加到另外一個方程上去。
（2）初等矩陣：對單位矩陣E施行一次初等行變換后的矩陣稱為初等矩陣。
（3）初等矩陣一個性質(zhì)：對mxn型的矩陣A進行一次初（列）等行變換相當(dāng)于對矩陣A左（右）乘以一個mxn型的初等矩陣。（可自行乘一下驗證）
（4）運用初等行變換來求逆矩陣：對任意矩陣A可以通過初等行（列）變換化為矩陣D，如圖：
由于對矩陣A進行了多次初等行變化，由性質(zhì)得相當(dāng)于有多個初等矩陣與A相乘即：
如果A為可逆矩陣，則最后化得的D結(jié)果為單位矩陣E，所以有：
若在兩邊同時×上A的逆矩陣，可得：
通過比較兩個式子我們不難發(fā)現(xiàn)
所以我們可以通過對【A：E】來進行初等行變換轉(zhuǎn)為【E：A的逆矩陣】求得A的逆矩陣。
（八）矩陣的秩：
1.矩陣的子式：設(shè)A矩陣是一個mxn型的矩陣，在A中任取k行k列，位于這些行列所相交的元素，按它們原有的次序組成一個k階行列式，稱為矩陣A的一個子式。
2.矩陣的秩：在矩陣A中的非零子式 最高階數(shù) 稱為矩陣的秩。一般記作秩（A）或r（A）。且初等行變換不會改變矩陣的秩。
3.階梯型矩陣的秩：階梯型矩陣的秩等于它的非零行行數(shù)。
4.矩陣的秩的性質(zhì)：（1）0 <= r(A) <= min{m,n} (對于mxn型矩陣而言)，（2）r(A) = r(A的轉(zhuǎn)置矩陣)
5.設(shè)A是mxn型矩陣，B是m階滿秩矩陣，C為n階滿秩矩陣，則r（A）= r（BA） = r（AC）。
總結(jié)
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