σ,τ道路同輪

用[0,1]到開集的映射定義道路后，定義兩個映射的道路同倫$\sigma {?}_p\tau$：

$$\begin{gathered} 假設\sigma ，\tau 都是X中從x_0到x_1的道路(即道路的起點與終點相同) \\ 如果存在倫移F：I\times I\to Xs.t.F(s,0)=\sigma (s),F(s,1)=\tau (s)。 \end{gathered}$$
$$并且F(0,t)=x_0,F(1,t)=x_1（即倫移保持起點與終點）$$

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$X中所有的x_0道x_1的集合中道路同倫是等價關系$

道路同倫等價類

$$\begin{gathered} 給定X中一點x_0，有PX=\{\sigma :I\to X|\sigma (0)=x_0\} \\ 也就是空間中所有起點在x_0的道路的集合，其上能賦予緊開拓撲 \\ 存在映射\pi :PX到X,\pi (x)=\sigma (1)（終點） \\ 若給定x_1,則有{\pi }^{?1}(x_1)=\{\sigma :I\to X|\sigma (0)=x_0,\sigma (1)=x_1\} \\ 也就是空間中所有起點在x_0,終點在x_1的道路的集合 \\ 然后在集合中商掉“道路同倫”的等價關系 \\ 道路同倫等價類集合：{\pi }^{?1}(x_1)/{?}_p \end{gathered}$$

道路的連接

$$\begin{gathered} 道路的連接：\sigma ，\tau 都是X道路，若\sigma (1)=\tau (0),用數學語言將兩個道路拼接起來 \\ 則\sigma ?\tau （s）:I\to X=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ \tau (2s?1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array} \end{gathered}$$

$\Omega X/{?}_p$

$特別的：當x_0=x_1時，集合記為\Omega X,賦予緊開拓撲稱為回路空間$
$$\begin{gathered} 考慮\Omega X/{?}_p，在其上定義乘法: \\ 在\Omega X中的任何兩條閉路\sigma ，\tau 都有乘法（一定滿足\sigma (1)=\tau (0)） \end{gathered}$$

道路乘積的性質很差：

$$\begin{gathered} 在X中的道路有\sigma {?}_p{\sigma }^{?},\tau {?}_p{\tau }^{?},如果\sigma (1)=\tau (0),如下圖所示 \\ 則道路乘積\sigma ?\tau {?}_p{\sigma }^{?}?{\tau }^{?}(證略) \end{gathered}$$

三條道路

σ，τ，w
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$$(\sigma ?\tau )?w與\sigma ?(\tau ?w)不滿足結合律，但是是同倫的$$
$(\sigma ?\tau )?w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma ?\tau (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ w(2s?1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}=(\sigma ?\tau )?w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (4s)& s\in [0,\frac{1}{4}]\\ \tau (4s)& s\in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\ w(2s?1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

$\sigma ?(\tau ?w)（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ (\tau ?w)(2s?1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}=(\sigma ?\tau )?w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ \tau (4s?2)& s\in [\frac{1}{2},\frac{3}{4}]\\ w(4s?3)& s\in [\frac{3}{4},1]\end{array}$

$$F(S,t)在[0,交點1]為\sigma ，[交點1,交點2]為\tau ，[交點2,1]為w$$

基本群

$$\begin{gathered} 以x_0為起點與終點的閉路關于道路同倫的等價類的集合\Omega X/{?}_p， \\ 現將其記為{\pi }_1(X,x_0) \\ 閉路的等價類\bar{\sigma }=\{\tau :I\to X|\sigma {?}_p\tau \}為其中元素,\sigma 為代表元 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 在X中的道路有\sigma {?}_p{\sigma }^{?},\tau {?}_p{\tau }^{?},如果\sigma (1)=\tau (0),如下圖所示 \\ 則道路乘積\sigma ?\tau {?}_p{\sigma }^{?}?{\tau }^{?},\overline{\sigma ?\tau }=\overline{{\sigma }^{?}?{\tau }^{?}} \end{gathered}$$

$$在{\pi }_1(X,x_0)中定義乘法?：\bar{\sigma }?\bar{\tau }=\overline{\sigma ?\tau }$$

可證${\pi }_1(X,x_0)$在以上乘積構成群，稱為X的基本群

$$\begin{gathered} 其上的單位元e:C_{x_0}:I\to X,?s\in I,C_{x_0}(s)=x_0 \\ 逆元{\sigma }^{?1}：{\sigma }^{?1}(s)=\sigma (1?s) \end{gathered}$$
(一般地，因為連接的先后，群不是交換群)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的道路同轮与基本群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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