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今天是高等數學第11篇文章，我們來看看定積分的相關內容。

對于很多人來說定積分的內容其實早在高中就已經接觸過了，比如在高中物理當中，我們經常使用一種叫做”微元法“的方法來解決一些物理問題。但實際上所謂的”微元法“本質上來說其實就是一種微積分計算方法。我們來看兩個簡單的例子。

微分與積分的例子

第一個例子是扇形的面積計算，先別急著笑，我知道這個是初中的內容。扇形的面積誰不會算，扇形的面積等于圓的面積乘上圓心角嘛。

圓的面積我們都知道$S=\pi r^2$，如果是扇形的話，再加上圓心角，我們用弧度制來表示圓心角，可以直接進行計算：$S=\pi r^2\theta$。

除此之外還有別的辦法嗎？

當然是有的，我們來看下面這張圖：

在下面這張圖當中，我們從扇形上切了一小塊出來，做了一個直角三角形。我們令這個直角三角形無限窄，那么它的面積就可以近似于這一塊小扇形的面積。

直角三角形的面積很簡單，我們都會算，我們令短的直角邊長度是l。那么這個小三角形的面積就等于$\frac{1}{2}lr$。

我們如此操作，可以把這一塊扇形分割成無數個這樣的小三角形，最后我們把這些小三角形的面積全部加起來，就可以得到扇形的面積。由于l趨向于0，每一個小三角形和小扇形的面積差的極限都是0，所以可以近似看成它們相等。

這樣一番操作之后，我們可以用無數個小三角形的面積來代替扇形的面積。對于這些小三角形而言，它們的面積都是$\frac{1}{2}lr$。把它們進行累加，本質上也就是把這些所有的短邊進行累加。那么顯然，這些所有的短邊累加之后的結果就是扇形的弧長。

我們假設這塊扇形的弧長是L，那么整個扇形的面積還可以表示成$\frac{1}{2}rL$。

我們可以簡單驗證一下，一個完整的圓也可以看成是一個扇形。一個完整的圓，它的弧長，也就是周長是$2\pi r$。我們代入剛才的公式，得到的結果和圓的面積公式吻合，所以我們的計算是正確的。

在這個例子當中扇形分割成的每個小三角形是一樣的，所以我們可以直接進行累加。如果我們微分之后的結果不再是固定的，是變化的，那么應該怎么辦？

我們再來看另外一個例子：

比如我們要求a和b兩點圍成的曲線矩形的面積，我們也可以將矩形進行拆分。我們可以無限拆分成多個小的矩形的面積去替代。我們可以很容易證明，當$\Delta x$趨向于0的時候，那一塊小的矩形面積和曲線矩形的面積相等。所以我們可以把它拆分成無數個這樣的矩形，然后將所有的面積求和，就得到了曲線圍成的面積。

對于每一塊矩形而言，它們的寬都是$\Delta x$，但是它們的高都不相同。但是很容易看出來，它們的高都是區間里某一個坐標的函數值。其實我們可以寫出來這些序列的值，它們分別是: a, a+$\Delta x$, a + 2$\Delta x$, …, b。

為了方便書寫，我們令這個序列等于$\{{\xi }_1,{\xi }_2,?,{\xi }_n\}$

所以曲線圍成的面積可以寫成：

$$S_c=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x$$

定積分的定義

我們觀察一下上面這個問題，其實我們知道了很多信息，比如我們知道了函數f(x)，我們還知道了a和b的值，看起來已經離結果很近了。的確如此，但是在我們繼續往下之前，我們必須要明確一點，我們這樣的推算是有前提的。

最大的也是隱藏的前提就是我們做的劃分，我們必須要保證兩點，首先我們要保證當$\Delta x$趨向于0的時候，矩形高度的極限是確定的。并且這些小矩形的面積和的極限趨近于它真實的面積。

我們用數學的語言來表達，也就是說，我們無論如何選取每一個${\xi }_i$，我們都要保證${\lim }_{\Delta x\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x$是一個定值，這樣我們就可以把這個式子寫成定積分的形式：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

這里的f(x)稱作被積函數，$f(x)dx$稱為被積表達式，x叫做積分變量，a和b分別稱為積分的上限和下限。

如果f(x)在[a, b]上的定積分存在，那么就稱為f(x)在區間[a, b]上可積。

什么樣的函數可積呢？

這個問題要用數學的語言證明不太容易，但是如果從直觀上去理解則要簡單很多。通過上面的圖，我們很輕松可以得到結論：連續函數一定可積，并且如果函數在[a, b]上有界并且只有有限個斷點也可積。因為有限個間斷點不會影響面積的計算，從這個角度入手，是否可積的判斷其實還是很好理解的。

我們明白了可導的定義之后，我們再把之前連續和可導這些性質串起來，我們就可以編出高數順口溜了：

可導一定連續，連續不一定可導。
連續一定可積，可積不一定連續。
可導一般可積，可積不一定可導。

理解并且記住這個順口溜可是學好高數的基礎，不信可以去問問考研黨，這幾句必然朗朗上口。如果覺得暈頭轉向也沒關系，以后有機會會單獨開一篇文章好好講講這幾個順口溜。

簡單性質

最后，我們來看下定積分的一些簡單性質。

第一個是加法性質，${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$

這個很好證明，我們只需要將它轉化成累加的形式就可以把括號里相加的內容拆開：

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[f({\xi }_i)\pm g({\xi }_i)]\Delta x_i\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\pm \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}g({\xi }_i)\Delta x_i\\ & ={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

另一個經常用到的性質是延續性質，假設f(x)在整個區間上可積，那么我們可以得到：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

不論a，b，c之間的大小關系如何，上面的式子都成立。證明方法和剛才一樣，我們將積分用累加形式來表示，代入即可。

最后一個性質是保號性，假設f(x)和g(x)在區間[a, b]上可積。并且對于任意x屬于[a, b]都有$f(x)\le g(x)$，那么我們可以得到：${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$.

這個證明也很簡單，我們令$h(x)=g(x)?f(x)\ge 0$，我們對h(x)進行積分，得到的結果自然大于等于0，再結合剛才的積分的加法性質，我們就可以移項得到結果了。

除了上面提到的三個性質之外，定積分還有很多其他的一些性質。但是這些性質一則比較瑣碎，另外也比較直觀，值得研究的內容不太多，所以我們不過多涉入，感興趣的同學可以自行了解。

不知道看了這么多你是不是會有一些問號呢，我們分析了這么多，那么定積分究竟應該怎么計算呢？

這個問題先不著急回答，因為如果你學過微積分的話，那么對于怎么計算積分應該還有一些印象。如果沒有的話，直接給出結論并沒有什么用，在數學上結論總是需要我們通過嚴謹的推導的，否則就是空中樓閣，即使記住了，以后也總會忘記的。所以關于定積分的計算推導過程，我們放到下一篇文章當中，敬請期待啦。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学——简单直观地了解定积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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