通俗易懂的贝塞尔曲线讲解（转载）
最近在看svg相關(guān)知識時，看到貝塞爾曲線，之前也知道有這個，但一直不知道它到底是個什么東西（大學(xué)好像學(xué)過，但已經(jīng)還給老師了）
在網(wǎng)上找到一篇一看就懂的講解
?
在Android開發(fā)和面試中（尤其是一些中高級崗位面試），面試官可能會問你自定義控件的詳細內(nèi)容，我們知道自定義控件這一塊涉及到的內(nèi)容很多，回答的越多越深入，那么面試的印象會更好。自定義控件涉及的內(nèi)容比如測量和繪制、事件分發(fā)的處理、動畫效果的渲染與實現(xiàn)，當(dāng)然還有不得不提的貝賽爾曲線（實際上一些面試官自己都不是很理解二階貝塞爾、三階貝塞爾曲線等概念）。
一些朋友看到以歪果仁大佬名字定義的一些計算公式、定理就頭大（比如梅涅勞斯（Menelaus）定理、塞瓦(Ceva)定理等），不得不承認我也是。本著《士兵突擊》不拋棄不放棄的精神，因此就算是在難啃的骨頭我們也要堅持啃下來！所以本篇文章主要介紹的是貝賽爾曲線的基本概念、在Android的應(yīng)用場景以及一些思考。不考慮篇幅的情況下力求將概念和理解寫的詳細。
貝賽爾曲線的前世今生：
貝塞爾曲線，這個命名規(guī)則一眼看上去大概是一個叫貝塞爾的數(shù)學(xué)家發(fā)明的。但，貝塞爾曲線依據(jù)的最原始的數(shù)學(xué)公式，是在1912年在數(shù)學(xué)界廣為人知的伯恩斯坦多項式。簡單理解，伯恩斯坦多項式可以用來證明，在[ a, b ] 區(qū)間上所有的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式來逼近，并且收斂性很強，也就是一致收斂。再簡單點，就是一個連續(xù)函數(shù)，你可以將它寫成若干個伯恩斯坦多項式相加的形式，并且，隨著 n→∞，這個多項式將一致收斂到原函數(shù)，這個就是伯恩斯坦斯的逼近性質(zhì)。
時光荏苒歲月如梭，鏡頭切換到了1959年。當(dāng)時就職于雪鐵龍的法國數(shù)學(xué)家 Paul de Casteljau 開始對伯恩斯坦多項式進行了圖形化的嘗試，并且提供了一種數(shù)值穩(wěn)定的德卡斯特里奧（de Casteljau） 算法。（多數(shù)理論公式是建立在大量且系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)之上研究的規(guī)律性成果）根據(jù)這個算法，就可以實現(xiàn) 通過很少的控制點，去生成復(fù)雜的平滑曲線，也就是貝塞爾曲線。
但貝塞爾曲線的聲名大噪，不得不提到1962年就職于雷諾的法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier），他使用這種方法來輔助汽車的車體工業(yè)設(shè)計（最早計算機的誕生則是為了幫助美國海軍繪制彈道圖），并且廣泛宣傳（典型的理論聯(lián)系實際并獲得成功的示例），因此大家稱為貝塞爾曲線 。
貝賽爾曲線的數(shù)學(xué)理論：
既然貝賽爾曲線的本質(zhì)是通過數(shù)學(xué)計算公式去繪制平滑的曲線，那就可以通過數(shù)學(xué)工具進行實際求證以及解釋說明。當(dāng)然對其進行數(shù)學(xué)求證就沒必要了，因為這些偉大的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)做過了，這里只是解釋說明：
- 步驟一：在平面內(nèi)選3個不同線的點并且依次用線段連接。如下所示..
?
3點連線
-
步驟二：在AB和BC線段上找出點D和點E，使得 AD/AB = BE/BC
?
AD/AB = BE/BC
-
步驟三：連接DE，在DE上尋找點F，F點需要滿足：DF/DE = AD/AB = BE/BC
?
DF/DE = AD/AB = BE/BC
-
步驟四：最最重要的！根據(jù)DE線段和計算公式找出所有的F點，記住是所有的F點，然后將其這些點連接起來。那，連接規(guī)則是什么？以上圖為例，第一個連接點是A-F，第二連接點是A-F1（這個F1必須滿足DF1/DE = AD/AB = BE/BC）以此類推，直到最后連接上C點，下面上一個動圖加深理解：
-
?
?
貝塞爾曲線
可能有些朋友還是不理解，那么這個GIF我截下其中的一張圖說明，如下圖：
示例說明
動圖里的P0、P1、P2分別代表的是上圖的：P0 == A；P1 == B；P2 == C。那么這個黑色點，代表的就是F點，綠色線段的2個端點（P0-P1線段上的綠色點，代表是就是D點，P0-P2線段上的綠色點，代表是就是E點）。線段上面點的獲取，必須要滿足等比關(guān)系。
關(guān)于貝賽爾曲線的基本數(shù)學(xué)理論大概就是上面的內(nèi)容。兩個線段根據(jù)等比關(guān)系找點的貝塞爾曲線，一般也稱為二階貝塞爾曲線。
貝賽爾曲線的N階拓展（三階貝塞爾與N階貝塞爾曲線）
剛才說到，上面的貝賽爾曲線一般稱為二階貝塞爾曲線，既然是二階貝塞爾曲線，那肯定有三階貝塞爾曲線、四階貝賽爾曲線等等。其實三階貝塞爾與四階貝賽爾曲線以及N階貝賽爾曲線曲線的規(guī)則都是一樣的，都是先在線段上找點，這個點必須要滿足等比關(guān)系，然后依次連接，下面是三階貝賽爾曲線的解釋說明：
-
步驟一：三階貝賽爾曲線，簡單理解就是在平面內(nèi)選4個不同線的點并且依次用線段連接（也就是三條線）。如下所示
-
步驟二：同二階貝塞爾曲線一樣首先需要在線段上找對應(yīng)的點（E、F、G），對應(yīng)的點必須要符合等比的計算規(guī)則，計算規(guī)則如下：AE/AB = BF/BC = CG/CD；找到對應(yīng)的點以后接著依次鏈接EF、FG；接著在EF、FG線段上面繼續(xù)找點H、I，對應(yīng)的點依舊要符合等比的計算規(guī)則，也就是 EH/EF = FI/FG；最后連接H、I線段，在HI線段上面繼續(xù)找點J、點J的計算規(guī)則需要符合：EH/EF = FI/FG = HJ/HI
- 三階貝賽爾曲線找點
-
步驟三：重復(fù)步驟二的動作，找到所有的J點，依次將J點連接起來，這樣最終完成了三階貝賽爾曲線。
J點依次連線
-
整一個三階貝賽爾曲線的動作加起來就是下面的一張動圖：
三階貝塞爾
那么四階貝賽爾曲線的實現(xiàn)步驟也是一樣的，平面上先選取5個點（5點4線）、依次選點（滿足等比關(guān)系）、依次連接、根據(jù)計算規(guī)則找到所有的點（逐個連接）。。。。。。
四階貝賽爾曲線
貌似都是從二階貝塞爾曲線說起的，那么一階貝賽爾又是怎么樣的？一階貝賽爾如圖：
一階貝賽爾
?
可以看到一階貝賽爾是一條直線！因此，N階貝賽爾不僅可以畫平滑的曲線也可以畫直線，因此自定義控件畫直線又多了一種可選擇的方式，但是一般用貝賽爾主要是畫曲線，這里只是提供了一種別的解決思路；另外，在Android屬性動畫，系統(tǒng)為我們提供了一個PathInterpolator插值器。這個PathInterpolator里面就有貝塞爾曲線的身影。有興趣的小伙伴也可以去了解一下。
?
轉(zhuǎn)自簡書? ?作者：騎小豬看流星
鏈接：https://www.jianshu.com/p/0c9b4b681724
著作權(quán)歸作者所有。商業(yè)轉(zhuǎn)載請聯(lián)系作者獲得授權(quán)，非商業(yè)轉(zhuǎn)載請注明出處。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的通俗易懂的贝塞尔曲线讲解（转载）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 2020年APMCM（亚太地区大学生数学
- 下一篇： Maatwebsite/excel的简单