目錄

• $A$組
• • 5.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，${\mathbf{A}}^{?}$為其伴隨矩陣，證明：若$r(\mathbf{A})=n?1$，則$r({\mathbf{A}}^{?})=$______。
• $B$組
• • 4.設$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，且$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=0,i=1,2,?,n$，求$r({\mathbf{A}}^{?})$及${\mathbf{A}}^{?}$的表示形式。
• $C$組
• • 3.設$\mathbf{A},\mathbf{B}$都是$3$階矩陣，其中$\mathbf{A}=?\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 4& a\\ 1& 2& 2\end{array}?,\mathbf{A}\mathbf{B}?\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{E}$，且$\mathbf{B}=\mathbf{E}$，則常數$a=$（??）。
    $(A)\frac{7}{2};$
    $(B)7;$
    $(C)\frac{13}{2};$
    $(D)13.$
  • 5.設有兩個$n$維非零列向量$\mathbf{\alpha }=[a_1,a_2,?,a_n{]}^{\mathrm{T}},\mathbf{\beta }=[b_1,b_2,?,b_n{]}^{\mathrm{T}}$。
  • • （1）計算${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$與${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$；
    • （2）求矩陣${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$的秩$r({\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})$；
    • （3）設$\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，其中$\mathbf{E}$為$n$階單位矩陣。證明：${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$的充要條件是${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$。
• 寫在最后

$A$組

5.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，${\mathbf{A}}^{?}$為其伴隨矩陣，證明：若$r(\mathbf{A})=n?1$，則$r({\mathbf{A}}^{?})=$______。

解??由題設，$r(\mathbf{A})=n?1$，知$|\mathbf{A}|=0$，從而有${\mathbf{A}\mathbf{A}}^{?}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}=\mathbf{O}$，得$r(\mathbf{A})+r({\mathbf{A}}^{?})?n$，即有$r({\mathbf{A}}^{?})?n?r(\mathbf{A})=n?(n?1)=1$，又因$r(\mathbf{A})=n?1$，知$\mathbf{A}$中至少有一個$n?1$階子式不為零，也即至少有一個代數余子式不為零，從而知${\mathbf{A}}^{?}$非零，因此同時有$r({\mathbf{A}}^{?})?1$。
??綜上討論，即證$r({\mathbf{A}}^{?})=1$。（這道題主要利用了矩陣的秩的性質求解）

$B$組

4.設$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，且$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=0,i=1,2,?,n$，求$r({\mathbf{A}}^{?})$及${\mathbf{A}}^{?}$的表示形式。

解??由$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=0,i=1,2,?,n$，可知$|\mathbf{A}|=0,r(\mathbf{A})?n?1$，當$r(\mathbf{A})=n?1$時，有$r({\mathbf{A}}^{?})=1$，當$r(\mathbf{A})<n?1$時，$r({\mathbf{A}}^{?})=0$，故有$r({\mathbf{A}}^{?})?1$。
??當$r({\mathbf{A}}^{?})=1$時，${\mathbf{A}}^{?}={\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，其中$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$為任意非零列向量；當$r({\mathbf{A}}^{?})=0$時，${\mathbf{A}}^{?}=\mathbf{O}$。（這道題主要利用了分類討論求解）

$C$組

3.設$\mathbf{A},\mathbf{B}$都是$3$階矩陣，其中$\mathbf{A}=?\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 4& a\\ 1& 2& 2\end{array}?,\mathbf{A}\mathbf{B}?\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{E}$，且$\mathbf{B}=\mathbf{E}$，則常數$a=$（??）。
$(A)\frac{7}{2};$
$(B)7;$
$(C)\frac{13}{2};$
$(D)13.$

解??由$\mathbf{A}\mathbf{B}?\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{E}$，有$(\mathbf{A}+\mathbf{E})(\mathbf{B}?\mathbf{E})=\mathbf{O}$，于是$r(\mathbf{A}+\mathbf{E})+r(\mathbf{B}?\mathbf{E})?3$，又$3=r(\mathbf{A}+\mathbf{B})=r[(\mathbf{A}+\mathbf{E})+(\mathbf{B}?\mathbf{E})]?r(\mathbf{A}+\mathbf{E})+r(\mathbf{B}?\mathbf{E})$，故$r(\mathbf{A}+\mathbf{E})+r(\mathbf{B}?\mathbf{E})=3$。
??由$r(\mathbf{A}+\mathbf{E})=r??\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 3& 5& a\\ 1& 2& 3\end{array}???2,r(\mathbf{B}?\mathbf{E})?1$，故$r(\mathbf{A}+\mathbf{E})=2$，于是$|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 3& 5& a\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=13?2a=0$，得$a=\frac{13}{2}$。（這道題主要利用了等式變換求解）

5.設有兩個$n$維非零列向量$\mathbf{\alpha }=[a_1,a_2,?,a_n{]}^{\mathrm{T}},\mathbf{\beta }=[b_1,b_2,?,b_n{]}^{\mathrm{T}}$。

（1）計算${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$與${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$；

解??${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=?\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& ?& a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& ?& a_2{b}_n\\ ?& ?& & ?\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& ?& a_n{b}_n\end{array}?,{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=a_1{b}_1+a_2{b}_2+?+a_n{b}_n.$

（2）求矩陣${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$的秩$r({\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})$；

解??因${\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$各行（列）是第$1$行（列）的倍數，又$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$皆為非零向量，故$r({\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=1$。

（3）設$\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，其中$\mathbf{E}$為$n$階單位矩陣。證明：${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$的充要條件是${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$。

解??由于${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=(\mathbf{E}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{E}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=(\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})(\mathbf{E}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})=\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，故若要求${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，則${\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O},\mathbf{\beta }({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }?1){\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O}$，即$({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }?1){\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O}$。
??因為$\mathbf{\beta }=0$，所以${\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O}$。故${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=\mathbf{E}?{\mathbf{\beta }\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}?{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$的充要條件是${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$。（這道題主要利用了等式變換求解）

寫在最后

??如果覺得文章不錯就點個贊吧。另外，如果有不同的觀點，歡迎留言或私信。
?? 歡迎非商業轉載，轉載請注明出處。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的张宇1000题线性代数 第四章 矩阵的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。