數(shù)值計(jì)算方法-誤差

誤差的來(lái)源與分類

1.模型誤差
數(shù)學(xué)模型，即表示計(jì)算的公式或方程，本身就是近似的，就不就不精確，這種情況導(dǎo)致的誤差，就叫模型誤差。
2.觀測(cè)誤差
對(duì)物理世界中的參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)時(shí)產(chǎn)生的誤差，比如測(cè)定溫度，長(zhǎng)度，電壓，無(wú)論用多么精密的工具，肯定都會(huì)存在誤差。
3.截?cái)嗾`差（方法誤差）
當(dāng)數(shù)學(xué)模型不能得到精確解時(shí)，常要用數(shù)值方法求出它的近似解，近似解與精準(zhǔn)解之間的誤差，即為截?cái)嗾`差。可微函數(shù)f(x)用在x=0附近的值可以用泰勒展開(kāi)式

近似公式代替，那么此刻的截?cái)嗾`差為

4.舍入誤差
由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限和浮點(diǎn)數(shù)表示方法的問(wèn)題，計(jì)算機(jī)會(huì)按照舍入原則對(duì)超出其表示精度的數(shù)據(jù)舍入，導(dǎo)致結(jié)果的不精確。
例如

模型誤差和截?cái)嗾`差的區(qū)別
根據(jù)前面所說(shuō)，這兩種誤差都是公式上存在誤差。
實(shí)際上泰勒公式本身這個(gè)模型是精確的，只是我們實(shí)際計(jì)算的數(shù)值方法是近似的，這就是二者區(qū)別。數(shù)學(xué)模型是精確的情況下，為了能夠計(jì)算（無(wú)窮多項(xiàng)是計(jì)算不出來(lái)的），我們會(huì)使用帶有截?cái)嗾`差的近似數(shù)值方法。

不言而喻在數(shù)值分析和計(jì)算方法這門(mén)課中，我們主要研究后面兩種，即截?cái)嗾`差和舍入誤差。

誤差與有效數(shù)字

$$設(shè)x為精準(zhǔn)值，x^{?}為x的近似值，則稱e^{?}=x^{?}?x為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。$$
$$|e^{?}|<\epsilon$$$$則稱\epsilon 為近似值x的絕對(duì)誤差限或者絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差限、誤差界,它總是正數(shù)$$

當(dāng)然誤差限不能完全表示近似值的好壞。（例如x=10±1，與y=1000±5）所以，除了考慮誤差大小之外，還應(yīng)該考慮x本身的大小。

相對(duì)誤差為$$e_r^{?}=\frac{e}{x^{?}}=\frac{x^{?}?x}{x^{?}}$$

$$同時(shí)，相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界|e_r|\le {\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{|x|}稱\epsilon 為相對(duì)誤差限或相對(duì)誤差界$$
相對(duì)誤差也可正可負(fù)，它的絕對(duì)值上限稱為相對(duì)誤差限

$$當(dāng)精確值x有多位數(shù)時(shí)，常常使用四舍五入的原則得到x的前幾位近似值x^{?}$$
$$例如x=\pi =3.14159265....$$
$$取三位x_3^{?},{\epsilon }_3^{?}<=0.002$$

有效數(shù)字

$$設(shè)數(shù)x是x^{?}的近似值，如果x的絕對(duì)誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該位共有n位，那么就稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x^{?}時(shí)具有n位有效數(shù)字。$$
$$則x^{?}=\pm 10^m?(a_1+a_2?10^{?1}+...+a_n?10^{?(n?1)})其中a_i是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a_1!=0，且$$
$$|x?x^{?}|<=\frac{1}{2}?10^{m?n+1}$$

注意相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限是無(wú)量綱的，而絕對(duì)誤差與誤差限是有量綱。

定理一
$$設(shè)近似數(shù)x^{?}表示為x^{?}=\pm 10^m?(a_1+a_2?10^{?1}+...+a_l?10^{?(l?1)})$$
$$若x^{?}有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限{\epsilon }_r^{?}<=\frac{1}{(2a_1)}?10^{?(n?1)}$$
$$反之，若x^{?}其相對(duì)誤差限{\epsilon }_r^{?}<=\frac{1}{(2a_1)}?10^{?(n?1)},則x^{?}至少具有n位有效數(shù)字$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数值分析---误差的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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