1. 定義

如果對于隨機變量$X$的分布函數$F(x)$，存在非負函數$f(x)$，使得對于任意實數$x$，有$$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$$

則稱$X$為連續型隨機變量，其中函數$f(x)$稱為$X$的概率密度函數。

概率密度$f(x)$具有以下性質：

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
• $P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)?F(x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx(x_1\le x_2)$

2. 常見連續變量分布

####（1）均勻分布
若隨機變量$X$的密度函數為
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b?a}，a\le x\le b\\ 0，其他\end{array}$$
則稱隨機變量$X$服從區間$[a,b]$上的均勻分布，記作$X～U(a,b)$。

$X$的分布函數為
$$F(x)=?\begin{array}{l}0x\le a\\ \frac{x?a}{b?a}a\le x\le b\\ 1b\le x\end{array}$$

（2）指數分布

若隨機變量X的密度函數為
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{?\lambda x}x>0\\ 0x\le 0\end{array}$$

則稱隨機變量$X$服從參數為$\lambda$（$\lambda >0$ 為常數）的指數分布。

$X$的分布函數為

$$F(x)=\{\begin{array}{l}1?e^{?\lambda x}x>0\\ 0x\le 0\end{array}\lambda >0為常數$$

（3）正態分布

若隨機變量X的密度函數為
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(?\infty \le x\le +\infty )$$
其中，$?\infty \le \mu \le +\infty ,\theta >0$為參數。

則稱隨機變量$X$服從參數為$(\mu ,{\sigma }^2)$的正態分布，記作$X～N(\mu ,{\sigma }^2)$。

若$\mu =0,\sigma =1$，稱$N(0,1)$為標準正態分布，密度函數如下：
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2}{2}}(?\infty <x<+\infty )$$

正態分布密度函數的圖形性質：

• 曲線關于直線$x=\mu$對稱。對于任意$h>0$，有$P\{\mu ?h<X\le \mu \}=P\{\mu <X\le \mu +h\}$。

• 當$x=\mu$時，$f(x)$取到最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。$x$離$\mu$越遠，$f(x)$的值就越小。對于同樣長度的區間，當區間離$\mu$越遠時，隨機變量$X$落在該區間中的概率就越小。

• $f(x)$在$x=\mu \pm \sigma$處有拐點，并以$Ox$軸為漸近線。

• 若$\sigma$固定，改變$\mu$的值，則$f(x)$的圖形沿$x$軸平行移動，但不改變其形狀。因此$f(x)$圖形的位置完全由參數μ確定。

• 若$\mu$固定，改變$\sigma$的值，由于$f(x)$的最大值為$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，當$\sigma$越小時，$f(x)$圖形越陡，$X$落在$\mu$附近的概率越大；反之，當$\sigma$越大時，$f(x)$圖形越平坦，$X$的取值越分散。
  

$3\sigma$原則：正態分布距離平均值$3\sigma$之外的值出現的概率$P\{|X?\mu |>3\sigma \}\le 0.003$，屬于極個別的小概率事件。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的L3-连续变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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