導(dǎo)語：現(xiàn)代數(shù)學(xué)入門的鑰匙就是實(shí)變函數(shù)與泛函數(shù)分析。數(shù)學(xué)，物理學(xué)，計(jì)算機(jī)學(xué)科，神經(jīng)生物學(xué)相互交叉構(gòu)成了AI的基礎(chǔ)。深入研究AI，尤其是神經(jīng)規(guī)則推理以及下一代AI技術(shù)，必須修煉好內(nèi)功。非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，可能學(xué)過傅立葉變換，方向?qū)?shù)與梯度這些。但是對(duì)這些概念的理解還需要繼續(xù)深入，除了泛函數(shù)分析，與此相關(guān)的還有凸優(yōu)化，矩陣論，這些都是必修的內(nèi)功。關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，要達(dá)到能夠獨(dú)立設(shè)計(jì)優(yōu)秀的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程度，不僅限于使用現(xiàn)成的工具（本人有優(yōu)先級(jí)隊(duì)列設(shè)計(jì)的博客：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82835837）。可以業(yè)余研究一下類腦學(xué)科，心理學(xué)，為AI的理論創(chuàng)新打下基礎(chǔ)。關(guān)于當(dāng)前的AI以及nlp的看法，歡迎看本人的這篇博客，不吝賜教：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82837263

總述：內(nèi)積空間中的內(nèi)積可以定義范數(shù)，反之，范數(shù)不一定非要內(nèi)積來定義，所以說賦范線性空間是比內(nèi)積空間更廣泛的概念。距離可以用范數(shù)定義，反之，只有距離滿足平移不變和齊次性才能定義一個(gè)范數(shù)，因此度量空間比賦范線性空間廣泛。Banach空間是完備的賦范線性空間。Hilbert空間是完備的內(nèi)積空間。所以Hilbert空間是Banach空間的特例，Banach空間是完備距離空間的特例。在數(shù)學(xué)里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空間是一個(gè)完備賦范向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個(gè)具有范數(shù)并對(duì)此范數(shù)完備的向量空間。Lp空間是由p次可積函數(shù)組成的空間；對(duì)應(yīng)的lp空間是由 p次可和序列組成的空間。在泛函分析和拓?fù)湎蛄靠臻g中，他們構(gòu)成了Banach空間一類重要的例子。

之前的測(cè)度論，可測(cè)函數(shù)積分以后補(bǔ)上。

1.距離與范數(shù)

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距離與范數(shù)的關(guān)系：

范數(shù)的確定值：

以下為本人的證明：

依照范數(shù)的4個(gè)性質(zhì)來區(qū)分誰是半范數(shù)，誰是范數(shù)。

下一篇筆記：有界線性算子 https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82851628

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的实变函数与泛函数分析学习笔记（二）：赋范线性空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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