在數(shù)論中，一個(gè)雙線性映射是由兩個(gè)向量空間上的元素，生成第三個(gè)向量空間上一個(gè)元素之函數(shù)，并且該函數(shù)對(duì)每個(gè)參數(shù)都是線性的。最簡(jiǎn)單的例子：
$$xy\to z,x,y\in R$$

1. 雙線性映射

設(shè) $V,W$ 和 $X$ 是在同一個(gè)基礎(chǔ)域F上的三個(gè)向量空間。雙線性映射是函數(shù)：
$$B:V\times W\to X$$

使得對(duì)于任何 $W$ 中 $w$，映射
$$v?B(v,w?)$$

是從 $V$ 到 $X$ 的線性映射，并且對(duì)于任何 $V$ 中的 $v$，映射
$$w?B(v,w?)$$

是從 $W$ 到 $X$ 的線性映射。

換句話說(shuō)，如果保持雙線性映射的第一個(gè)參數(shù)固定，并留下第二個(gè)參數(shù)可變，結(jié)果的是線性算子，如果保持第二個(gè)參數(shù)固定也是類似的。

2. 對(duì)稱雙線性映射

如果 $V=W$ 并且有 $B(v,w?)=B(w,v?)$ 對(duì)于所有 $V$ 中的 $v,w$，則我們稱 $B$ 是對(duì)稱的。

3. 雙線性形式

當(dāng)這里的 $X$ 是 $F$ 的時(shí)候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見(jiàn)例子標(biāo)量積、內(nèi)積和二次形式)。

4. 多線性

如果使用在交換環(huán)R上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到 $n$ 元函數(shù)，這里正確的術(shù)語(yǔ)是“多線性”。

對(duì)非交換基礎(chǔ)環(huán) $R$ 和右模 $M_R$與左模${}_{R}N$的情況，我們可以定義雙線性映射 $B:M\times N\to T$，這里的 $T$ 是阿貝爾環(huán)，使得對(duì)于任何 $N$ 中的 $n$，$m?B(m,n)$ 是群同態(tài)，而對(duì)于任何 $M$ 中的 $m$, $n?B(m,n)$ 是群同態(tài)，并還滿足
$$B(mt,n?)=B(m,tn?)$$

對(duì)于所有的 $M$ 中的 $m$，$N$中 $n$ 和 $R$ 中的 $t$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的什么是双线性映射（Bilinear Mapping ）?的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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