數學建模——蒙特卡羅算法

• • • 概覽
    • 引例
    • 基本思想
    • 特點
    • 主要應用范圍：
    • 蒙特卡洛方法步驟如下：
    • 蒙特卡洛求解積分
  • 2.兩個應用例子
  • • 3. 與拉斯維加斯方法的比較
  • 5.更深度的應用

https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/99647407

概覽

蒙特卡羅方法又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是一種隨機模擬方法，以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統計特征，故借用賭城蒙特卡羅命名。

引例

為了求得圓周率π值，在十九世紀后期，有很多人作了這樣的試驗：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準確的關系式：

求出π值

基本思想

當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數學期望，或者是與概率，數學期望有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發生的概率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術平均值，通過它得到問題的解。 當隨機變量的取值僅為1或0時，它的數學期望就是某個事件的概率。或者說，某種事件的概率也是隨機變量（僅取值為1或0）的數學期望。

特點

優點：（可以求解復雜圖形的積分、定積分，多維數據也可以很快收斂）
1、能夠比較逼真地描述具有隨機性質的事物的特點及物理實驗過程
2、受幾何條件限制小
3、收斂速度與問題的維數無關
4、具有同時計算多個方案與多個未知量的能力
5、誤差容易確定
6、程序結構簡單，易于實現

缺點：
1收斂速度慢
2誤差具有概率性
3在粒子輸運問題中，計算結果與系統大小有關

所以在使用蒙特卡羅方法時，要“揚長避短”，只對問題中難以用解析（或數值）方法處理的部分，使用蒙特卡羅方法計算，對那些能用解析（或數值）方法處理的部分，應當盡量使用解析方法。

主要應用范圍：

粒子輸運問題（實驗物理，反應堆物理） 統計物理 典型數學問題 真空技術 激光技術 醫學 生物 探礦等

蒙特卡洛方法步驟如下：

1在區間[a,b]上利用計算機均勻產生n個隨機數x1,x2…xn，使用matlab軟件的unifrnd命令實現。2計算每一個隨機數想對應的被積函數值f(x1),f(x2),f(xn)計算被積函數值的平均值。

蒙特卡洛求解積分

求解定積分相當于計算一個圖形的面積。
按照牛頓和萊布尼茲的方法，我們是把區間劃分成無限份，每份長為△t，高為f(a+z△t)，f(a+z△t)，這樣來計算面積。
無論圖形的形狀如何，圖形面積一定能被轉化成一個以ab為底，y為高（y可以是負數）的長方形面積高，我們只需要用蒙特卡洛算法求y即可。
那么y怎么求，其實非常簡單，我們只需要在a~b之間生成n個隨機點，計算相應的f(x1),f(x2)…

P=rand(10000,4);x=-1+2*P(:,1); y=-1+2*P(:,2);z=P(:,3);u=2*P(:,4);II=find(z>sqrt(x.^2+y.^2)&z<=1&u<=x.^2+y.^2+z.^2);M=length(II);V=8*M/10000

function icecream(m,n) if nargin==0,m=20;n=100;end t=linspace(0,2*pi,n); r=linspace(0,1,m); x=r'*cos(t);y=r'*sin(t); z1=sqrt(x.^2+y.^2); z2=1+sqrt(1+eps-x.^2-y.^2); X=[x;x];Y=[y;y]; Z=[z1;z2]; mesh(X,Y,Z) view(0,-18) colormap([0 0 1]),axis off

https://blog.csdn.net/qq_40605167/article/details/100031833
https://www.cnblogs.com/youngsea/p/7457683.html

2.兩個應用例子

例子1：求π的值。

正方形內部有一個相切的圓，它們的面積之比是π/4。現在，在這個正方形內部，隨機產生1000000個點（即1000000個坐標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。如果這些點均勻分布，那么圓內的點應該占到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。

N=1000000; %隨機點的數目 x=rand(N,1); %rand 生成均勻分布的偽隨機數。分布在（0~1）之間 y=rand(N,1); %矩陣的維數為N×1 count=0; for i=1:Nif (x(i)^2+y(i)^2<=1)count=count+1;end end PI=4*count/N

例子2：計算積分

計算函數 y = x^2 在 [0, 1] 區間的積分，就是求出紅色曲線下面的面積。這個函數在 (1,1) 點的取值為1，所以整個紅色區域在一個面積為1的正方形里面。在該正方形內部，產生大量隨機點，可以計算出有多少點落在紅色區域（判斷條件 y < x^2）。這個比重就是所要求的積分值。

clear clc N=10000; x=rand(N,1); y=rand(N,1); count=0; for i=1:Nif (y(i)<=x(i)^2)count=count+1;end end result=count/N

3. 與拉斯維加斯方法的比較

（1）蒙特卡羅算法：假如筐里有100個蘋果，讓我每次閉眼拿1個，挑出最大的。于是我隨機拿1個，再隨機拿1個跟它比，留下大的，再隨機拿1個……我每拿一次，留下的蘋果都至少不比上次的小。拿的次數越多，挑出的蘋果就越大，但我除非拿100次，否則無法肯定挑出了最大的。——盡量找好的，但不保證是最好的。

特點：采樣越多，越近似最優解；

（2）拉斯維加斯方法：假如有一把鎖，給我100把鑰匙，只有1把是對的。于是我每次隨機拿1把鑰匙去試，打不開就再換1把。我試的次數越多，打開（最優解）的機會就越大，但在打開之前，那些錯的鑰匙都是沒有用的。——盡量找最好的，但不保證能找到。

特點：采樣越多，越有機會找到最優解。
4.利用蒙特卡羅算法求機器人的工作空間

思想：設置機器人每個關節角的運動范圍，利用蒙特卡羅算法求機器人工作空間。

%**************************蒙特卡洛法求解機器人工作空間*********************%定義變量 deg=pi/180; num=0.001;%定義關節角范圍 theta1=[-180,180]*deg; theta2=[-90,90]*deg; theta3=[-150,150]*deg; theta4=[-150,150]*deg; theta5=[-180,180]*deg; theta6=[-180,180]*deg;%定義連桿變量 a2=612.7*num; a3=571.6*num; d2=163.9*num; d5=115.7*num;%生成一個數組來保存隨機變量 i=1:20000; PX=zeros(size(i)); PY=zeros(size(i)); PZ=zeros(size(i)); %設置隨機點 for j=1:1:10000%randNum=rand();theta1=(-180+360*rand());theta2=(-90+180*rand());theta3=(-150+300*rand());theta4=(-150+300*rand());theta5=(-180+360*rand());theta6=(-180+180*rand());%根據運動學方程，求出機械臂末端執行器在基坐標中的位置向量表達式PX(j)=cos(theta1)*(d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a2*cos(theta2)+...a3*cos(theta2+theta3))+d2*sin(theta1);PY(j)=sin(theta1)*(d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a2*cos(theta2)+...a3*cos(theta2+theta3))-d2*cos(theta1);PZ(j)=d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a3*sin(theta2+theta3)+a2*sin(theta2); end%求解坐標值并且輸出三視圖 subplot(2,2,1); plot3(PX,PY,PZ,'.'); hold on; subplot(2,2,2); plot3(PX,PY,PZ,'.'); view([0 0]); hold on; subplot(2,2,3); plot3(PX,PY,PZ,'.'); view(2); hold on;

5.更深度的應用

蒙特卡洛樹搜索—深度學習，強化學習

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模——蒙特卡罗算法（Monte Carlo Method）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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