圖的基本術語

有向圖：圖中的每條邊都有方向的圖叫有向圖。此時，邊的兩個頂點有次序關系，有向邊 < u,v>成為從頂點u到頂點v的一條弧，u成為弧尾（始點），v成為弧頭（終點），即有向圖中弧 < u,v>和弧 < v,u> 表示不同的兩條邊。

無向圖：圖中的每條邊沒有方向的圖。邊的兩個頂點沒有次序關系，無向圖用邊(u,v)表示對稱弧< u,v>和< v,u>。

權：圖中的邊或弧上有附加的數量信息，這種可反映邊或弧的某種特征的數據成為權。

網：圖上的邊或弧帶權則稱為網。可分為有向網和無向網。

鄰接和關聯：若邊e=(u,v)或弧e= < u,v>，則稱點u和v互為鄰接頂點，并稱邊e或弧e關聯于頂點u和v。

度：在無向圖中，與頂點v關聯的邊的條數成為頂點v的度。有向圖中，則以頂點v為弧尾的弧的條數成為頂點v的出度，以頂點v為弧頭的弧的條數成為頂點v的入度，而頂點v的度=出度+入度。圖中各點度數之和是邊（或弧）的條數的2倍。

圈：圖中聯接同一個頂點的邊叫圈。

平行邊：圖中兩個頂點之間若有兩條或兩條以上的邊，稱這些邊為平行邊。

簡單圖：沒有圈也沒有平行邊的圖。

有向完全圖：有n個頂點，n(n-1)條弧的有向圖。每兩個頂點之間都有兩條方向相反的邊連接的圖。

完全圖：有n個頂點，n(n-1)/2條邊的無向圖。若一個圖的每一對不同頂點恰有一條邊相連，則稱為完全圖。完全圖是每對頂點之間都恰連有一條邊的簡單圖。

路徑長度：路徑上邊或弧的數目。若路徑上的各頂點均不相同，則稱這條路經為簡單路經（或路），除第一個和最后一個頂點相同外，其他各頂點均不相同的路徑成為回路（或環）。

連通圖：在無向圖G中，對與圖中的任意兩個頂點u、v都是連通的，則稱圖G為連通圖。

強連通圖：在有向圖G中，如果對于每一對Vi和Vj 屬于頂點集V，Vi不等于Vj ，從Vi到Vj和從Vj到Vi都存在路徑，則稱G是強連通圖。

強連通分量：有向圖中的極大強連通子圖稱做有向圖的強連通分量。

生成樹：一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。

有向樹：如果一個有向圖恰有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度為1，則是一棵有向樹。

圖的存儲結構

圖的存儲結構，常用的是”鄰接矩陣”和”鄰接表”。

鄰接矩陣

鄰接矩陣是指用矩陣來表示圖。它是采用矩陣來描述圖中頂點之間的關系(及弧或邊的權)。
假設圖中頂點數為n，則鄰接矩陣定義為：

下面通過示意圖來進行解釋。

圖中的G1是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

圖中的G2是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

通常采用兩個數組來實現鄰接矩陣：一個一維數組用來保存頂點信息，一個二維數組來用保存邊的信息。
鄰接矩陣的缺點就是比較耗費空間。

鄰接表

鄰接表是圖的一種鏈式存儲表示方法。它是改進后的”鄰接矩陣”，它的缺點是不方便判斷兩個頂點之間是否有邊，但是相對鄰接矩陣來說更省空間。

圖中的G1是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

圖中的G2是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

圖的python實現

在Python中，圖主要是通過列表和詞典來構造。

實現的功能：

• 尋找一條路徑
• 查找所有的路徑
• 查找最短路徑

完整的代碼實現：

''' 圖的表示：A --> BA --> CB --> CB --> DC --> DD --> CE --> FF --> C''' #找一條路 def find_path(graph,start,end,path=[]):path = path + [start]if start == end:return pathif start not in graph.keys():return Nonefor node in graph[start]:if node not in path:newpath = find_path(graph,node,end,path)if newpath:return newpathreturn path if __name__ == '__main__':graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['C', 'D'],'C': ['D'],'D': ['C'],'E': ['F'],'F': ['C']}print(find_path(graph,'A','D'))

總結

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