目錄

• 一、傳遞函數$\to$狀態空間模型
• • 1.1 預處理
  • 1.2 從最簡單的分子為1的傳遞函數入手
  • 1.2 分子不為1的傳遞函數
  • 1.3 另一種思路：利用線性疊加原理
  • 1.4 對復雜系統使用分解法
  • • 1.4.1 串聯法
    • 1.4.2 并聯法
• 二、狀態空間模型$\to$傳遞函數
• 三、對偶關系
• 四、例題
• 五、參考資料

傳遞函數是經典控制理論的工具，只能用于SISO和LTI系統；狀態空間模型屬于現代控制理論，對SISO和MIMO、LTI和非線性或時變系統都適用。既然考慮二者的互相轉換，那么對象只可能是滿足SISO和LTI的系統。

一、傳遞函數$\to$狀態空間模型

傳遞函數的一般形式：

1.1 預處理

用長除法進行簡化：

從而得到新的G(s)：

原來的G(s)是新的G(s)和d的并聯，可以按并聯系統處理。方便起見，下面先只考慮形似新的G(s)的傳遞函數。

1.2 從最簡單的分子為1的傳遞函數入手

一個例子：

要求它的狀態空間模型，首先寫成輸入輸出關系：

對應的微分方程：

定義新的變量：

狀態空間模型：

狀態矩陣A：最底行對應傳遞函數分母的系數，符號相反；右上角是2階單位陣。
輸入矩陣B：只有最后一維非零，對應分子常數1。
輸出矩陣C：只有第一維非零，1對應分子常數1。
直接轉移矩陣D：為0，因為G(s)的分子次數小于分母。
模擬圖：

畫的時候左邊是u，根據B中只有第三維是1，確定u通過加法流向$\dot{x_3}$，積分得到$x_3$。然后再畫$\dot{x_2},x_2,\dot{x_1},x_1$。根據$\dot{x_3}$的構成畫反饋。根據C得到$y=x_1$。

根據前面找到的規律，把上面的三階傳遞函數，推廣到一般情況：

對應的狀態空間模型是

稱為是傳遞函數G的狀態空間實現。

1.2 分子不為1的傳遞函數

還是考慮分母是三階的：

可以看成是：


對于內層

的部分，顯然

對于外層

微分方程：

定義狀態變量：

這里的$y_1$也就是分子為1時候的y。也就是說，分子不為1的時候，輸出是原來y及其微分的線性組合。所以，對于分子不為1的傳函，狀態空間模型是

4個矩陣中只有B發生了變化：與傳遞函數的分子系數相對應。
相應的圖為：

畫的時候，將3個積分器的輸出線性相加得到最后的輸出。

仍然把3維的推廣到n維，并且考慮長除法得到的商：

對應的狀態空間模型為：

只要把G化成上面的形式，就可以直接觀察系數寫出模型的4個矩陣了，很方便。這個形式的模型稱為“能控標準型”。

1.3 另一種思路：利用線性疊加原理

還是以3階系統為例：

如果直接寫成y和u的微分方程：

這時候，右邊的u是有微分項的（而按1.2中的方法，由于內層的分子是1，避免了這個問題）。
如果先不看微分項，只考慮

它和前面分析過的分子為1的傳遞函數是一樣的，即有

然后只考慮u的一階微分項作為輸入：

對比上一個方程，可以發現這個方程是上一個方程兩邊再做一次微分的結果，所以輸出分量r和w有這樣的關系：

同理，只考慮u的二階微分的時候：

又滿足：

根據疊加原理，總的輸出是3個輸入分量得到的3個輸出分量的線性和：

b對應y-u微分方程右邊的系數。

1.4 對復雜系統使用分解法

如果G的階數比較高，可以把它分解成低階的，先得到低階的狀態空間模型，再合成高階的模型。可以用串聯法、并聯法等。

1.4.1 串聯法

有的傳遞函數很容易因式分解，可以用串聯法，例如：

因式分解：

看成是三個環節的串聯，很容易得到它們各自的模型：

系數的求法用之前的方法就可以做，前兩個環節由于階數很低，熟練之后可以直接看出來。對于第三個環節，我們可以設$X_3(s)=\frac{1}{s+4}{U}_3(s)$而$Y(s)=(s+2)X_3(s)$，即可得：
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_3& =?4x_3+u_3\\ y& ={\dot{x}}_3+2x_3\\ & =?4x_3+u_3+2x_3\\ & =?2x_3+u_3\end{array}$$
這三個環節有什么關聯呢？u2=y1,u3=y2。所以

圖：

1.4.2 并聯法

考慮

分解得到

畫圖，分別求出兩個環節的模型：

對于并聯，兩個環節之間的關系是：u=u1=u2,y=y1+y2。因此

這里的A是對角陣，所以并聯得到的也稱“對角型”。
系數的規律：
A中的系數值是傳遞函數極點-1和1，B的系數對應分子1和1。
實際上，對于

利用并聯法得到的模型為：

狀態圖：

如果存在重極點，例如：

系數用留數定理求：

輸入輸出關系為：

令

得到系統狀態方程和輸出方程：


因此，模型為：

觀察發現，如果存在重根，則A為若當型，n重根對應的若當塊是n階的，并且相應的B中的系數為0。
狀態圖為：

二、狀態空間模型$\to$傳遞函數

設已知的狀態空間模型為：

在零初始條件下，用拉普拉斯變換得到

所以

可見，傳遞函數是由狀態空間模型唯一確定的。

三、對偶關系

在2中根據狀態空間模型可以求出傳遞函數：

對于SISO系統，這是一個標量，所以，$G=G^T$。由此，可以得到：

這兩種寫法的形式是一樣的，對比系數可以得出另一種模型寫法：

這種寫法的模型被稱為原來模型的對偶系統模型。
對這個對偶模型再做一次對偶，可以得到原來的模型

這說明對偶關系是雙向的，它們互為對偶。
我們上面寫過能控標準型：

它也有它的對偶模型，即“能觀標準型”：

兩種模型的狀態圖：

四、例題

五、參考資料

[1] 浙江工業大學俞立老師課程ppt，網課見b站：現代控制理論 浙江工業大學 俞立，評論區有ppt的網盤鏈接
[2] 田玉平，蔣珉，李世華．自動控制原理[M]．北京：科學出版社，2006

總結

以上是生活随笔為你收集整理的状态空间模型与传递函数的转换关系+例题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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