平穩(wěn)時間序列模型的統(tǒng)計性質(zhì)

1、AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)；2、MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)；3、ARMA模型的統(tǒng)計性質(zhì)
統(tǒng)計性質(zhì)包括5個：（1）均值；（2）方差；（3）協(xié)方差；（4）自相關(guān)系數(shù)；（5）偏自相關(guān)系數(shù)。

ARMA模型的相關(guān)性特征：

1、AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)

（1）均值
如果AR§模型滿足平穩(wěn)，均值為常數(shù)。


（2）方差
求解思路：首先把序列轉(zhuǎn)化為傳遞形式，再求解方差；不能直接求解，把序列變成白噪聲的線性組合，因為白噪聲的很多統(tǒng)計性質(zhì)是已知的。
傳遞形式的目的：把AR模型對應(yīng)的時間序列表示成關(guān)于白噪聲的線性相關(guān)組合形式；傳遞形式里面包括Green函數(shù)，Green函數(shù)的原理包括原始模式以及期待形式，用待定系數(shù)法進行求解，其中白噪聲互不相關(guān)，并且需要滿足同方差假定。
（3）協(xié)方差
兩種求解協(xié)方差（方差）的方式：

• 利用AR§模式的傳遞形式來求；
• 利用自協(xié)方差函數(shù)之間的遞推函數(shù)來求。
  （4）自相關(guān)系數(shù)
  自相關(guān)系數(shù)的定義：
  
  求解方法：
  1.用自相關(guān)系數(shù)的定義結(jié)合自協(xié)方差函數(shù)可以求解；
  2.基于傳遞形式直接求解自相關(guān)系數(shù)；
  3.基于自相關(guān)系數(shù)的遞推公式求解。
  自相關(guān)系數(shù)有拖尾性，原因是該序列值所對應(yīng)過去時刻的序列值都會影響它。
  自相關(guān)圖里拖尾的原因有兩個：
• 用樣本估計總體參數(shù)時有誤差；
• 本身自相關(guān)系數(shù)具有拖尾性，不恒等于0。

（5）偏自相關(guān)系數(shù)
定理：零均值平穩(wěn)序列為AR§序列的充要條件是平穩(wěn)序列的偏自相關(guān)系數(shù)P步截尾。
求解方法：
基于Yule-Walker方程組以及行列式來求解；
利用偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式來求解。

2、MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)

（1）均值
常數(shù)均值。
（2）方差
常數(shù)方差，利用白噪聲項互不相關(guān)的假定。
（3）協(xié)方差
基于自協(xié)方差函數(shù)的定義，直接利用模型表達式來求。
（4）自相關(guān)系數(shù)
自相關(guān)系數(shù)以及自協(xié)方差的計算相同，都是基于白噪聲的序列以及假定來計算的。
自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)q階截尾，自協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。
不同的MA（1）模型，相同的自相關(guān)系數(shù)，也就是說自相關(guān)系數(shù)具有非唯一性，自相關(guān)系數(shù)和模型之間不是一一對應(yīng)的關(guān)系，為了解決這個問題，增加一個約束條件，而這個約束條件是模型的可逆條件，這就形成了一一對應(yīng)關(guān)系，一個自相關(guān)系數(shù)與可逆MA模型一一對應(yīng)。
（5）偏自相關(guān)系數(shù)

• 基于Yule-Walker方程和克萊姆法則求解；
• 首先求出自相關(guān)系數(shù)，然后基于偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式求解。
  偏自相關(guān)系數(shù)具有拖尾性

3、ARMA模型的統(tǒng)計性質(zhì)

ARMA模型生成的序列的統(tǒng)計性質(zhì)：均值、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)以及偏自相關(guān)系數(shù)的計算均可參考AR和MA模型的情形。
ARMA（p,q）傳遞形式（平穩(wěn)條件）與逆轉(zhuǎn)形式（可逆條件），即無窮階MA模型與無窮階AR模型。
ARMA模型相關(guān)性特征：

總結(jié)

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