第十講 積分等式與積分不等式

積分等式

推廣的積分中值定理

有些積分通過所學的方法是無法求解的，此時可能需要一些特別的方法或者是題目的提示
例如下面這個需要使用放縮

用夾逼準則

當見到極限號后面有積分號的時候 想到用夾逼準則（注意 先積分再算極限 不可交換順序）

積分不等式

在這里因為不可能一直滿足恒等的條件
所以一直恒大于零

某函數一階可導不代表它的導數連續 例如振蕩間斷點的情況

由拉格朗日可以實現從f到f‘的轉化

所以上圖最后一步 由于需要將題目所證的不等式從左往右推，所以此時將f轉換f’

而我們知道

紅框中的東西其實就是類似介值定理中的最大值
那么|f’(x)|肯定也小于這個東西
所以在這里就繼續放縮成這個東西 就得到

而根據下面這個不等式

所以這玩意是大于等于（x+1-x）2/4也就是四分之一

那么現在，不等式的左邊小于等于這個東西，也就是說小于等于這個東西的最小值，而這個東西的最小值是四分之一
所以也就是說不等式左邊小于等于M/4
那么題目得證

（這里其實有一個邏輯沒理得太順：
一開始都是連續的小于等于號：

但是最后的這玩意要用到的公式卻是大于等于某個數：

這里你可以這樣理解
比如需要證明gx<=2
如果gx<=fx 而fx的最大值都<=2的話
那么肯定就可以得出gx<=2

但是另外一個思路
而如果我們能證明出gx<=fx
并且如果fx的最小值如果是2的話，那么只要gx<=fx，也就可以證明gx<=2了

所以其實 如果已知gx<=fx，欲證gx<=2

如果fx的最大值是2，那么可以證明出來gx<=2
如果fx的最小值是2，那么可以證明出來gx<=2

這其實意味著在連續的放縮中（例如上題中的連續小于等于），在一系列放縮的途中，中間都必須是小于等于號，而最后一步，可以是大于等于號，也可以是小于等于號，如圖所示：

那么以下兩種情況都可以

第一題采用分部積分

我們知道反對冪指三 中
如果是具體的函數知道它適合積分或者不適合
但是如果是抽象函數 我們無法知道它適合還是不適合積分 此時命題老師就會給提示

例如本題中



下一道例題：

所以這一題的思路是：


而那慕達小于1，所以只需要證明FX是單調遞減的就可以了

其實這個東西就是平均值

這里是等式 而不是求導

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2022张宇考研基础30讲 第十讲 积分等式与积分不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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