使用線性代數(shù)可以更好理解圖相關(guān)知識。圖由頂點與邊組成，以下有向圖可以使用關(guān)聯(lián)矩陣表示：

矩陣 A 每行表示一條有向邊，每列表示一個頂點信息。該圖可以表示一個無源電路系統(tǒng)，通過考察矩陣 A 的四個基本子空間，可以有效理解該電路系統(tǒng)。

矩陣 A 的零空間

通過求解，其解 x 位于矩陣的零空間。展開方程得如下關(guān)系：

，。

通過以上關(guān)系，可知位于矩陣 A 的零空間中，同時以上方程組無法推導(dǎo)出更多的關(guān)系，故是矩陣 A 零空間的唯一基，也即矩陣 A 的秩為 3。

方程 可展開為：

，表示個節(jié)點直接的電勢差。

由于位于零空間，其解為。

矩陣 A 的列空間

通過以上分析，矩陣 A 的秩為 3，根據(jù) Kirchhoff"s Voltage Law，回路1 與 回路2 上的電勢差為0，可建立如下關(guān)系：

，該關(guān)系表示矩陣 A 列空間，向量 b 包含 5 個變量，但有兩個相關(guān)等式，滿足矩陣 A 的列空間的維數(shù)為 3。

以上關(guān)系表示有向圖上符合條件的電勢差必須滿足等式 。

矩陣 A 的左零空間

通過求解，其解 y 位于矩陣的左零空間，表示各條邊上的電流，

，展開方程組得：

，其中，每一個等式表示經(jīng)過結(jié)點的電流為零，故矩陣的左零空間描述了Kirchhoff"s Current Law。

通過求解以上方程組，可以得到矩陣 A 的左零空間，但可以根據(jù)矩陣 A 的列空間推導(dǎo)出矩陣 A 的左零空間，具體如下：

1）左零空間 垂直于 列空間；

2）列空間的維數(shù)為 3，矩陣列數(shù)為 5，則左零空間的維數(shù)為 5 - 3 = 2；

3）矩陣的列空間滿足 ；

4）關(guān)系 3）可改寫為，由于位于列空間，

則與 位于矩陣的左零空間，并構(gòu)成左零空間的一組基。

矩陣 A 的行空間

由于矩陣的行空間與矩陣的零空間正交，且已知矩陣 A 的零空間為，則矩陣 A 的行空間的維數(shù)為 3，并滿足關(guān)系

。

以上關(guān)系可以使用矩陣表達(dá)式簡明表達(dá)：

1）各節(jié)點電勢差為 ；

2）根據(jù)電勢差可求得電流 ，C 為常數(shù)；

3）流入與流出各個節(jié)點電流和為零 ；

4）整理可得；

5）當(dāng)外接電流源時，可表示為；

通過各個子空間的維度關(guān)系，可以推導(dǎo)圖的一個重要的公式：歐拉公式，具體如下：

#loops = #edges - (columns - 1)

#loops = #edges - (#nodes - 1)

#edges - #nodes + #loops = 1

參考資料Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的有向图与关联矩阵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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