眾所周知，二維平面直角坐標系中的面積微元轉換為平面極坐標系有

為什么？

嘗試下證明 ：

先列出x,y與r,

之間的關系

，

微分一下

，

得到了

什么？你說你不知道第三行怎么來的？我也不知道。。。

于是這波看似100%能成功的證明就以失敗告終了。

有厲害的小伙伴指出了，這里的面積微分并不是這么定義的，而應該是外積，在運算法則上的不同造成了證明中的錯誤。

那換個角度，這也是我最先對于這個面積轉換的理解(這也正是改變了運算法則，采用了外積的運算方式)：

這可以看作紅色“矩形”的面積，

順理成章。

可是這又跟dx,dy何干？唯一明顯的聯系就是 它們同樣表示的是二維平面的面積微元。

下面是另外一種理解，或許可以解答這個疑惑。貼一段百度詞條

非線性變換

線性變換、仿射變換使得向量空間上的點具有很好的性質，但是這些性質到了非線性變換就消失了。

舉個例子：

。。。

那么該如何用矩陣來描述變換后向量張成的空間呢？

很明顯的是，不能再用一個常數矩陣來描述了。每一個不同向量都有自己的矩陣變換，不妨就關注某個特定的向量，以及這個向量附近的向量。

因為是“附近”，所以這個向量在鄰域內張成的空間可以看作是線性變換的，所以可以用一個特定的矩陣來描述。

在上述例子中，原空間由x,y的基矢構成，變換后的空間由

的基矢構成。

在線性變換中，我們作用的矩陣有精巧的幾何意義,考慮一個線性變換

這就好像是我們輸入一個向量

，經過一個變換

，輸出了

。

那么可以輸入一個原向量的單位向量

于是輸出了

；同樣地，輸入一個

得到

，這說明了，組成空間的兩個基矢經過的線性變換到了兩個新的位置(可以與原先相同)。

在非線性變換中，我們不能保證所有“基矢”都到達同樣的位置，但是也不需要，我們可以研究局部的性質。

既然是局部，我們就可以用線性的變換來擬合。

考察一個矢量

，經過了變換來到了

，對它進行鄰域內的近似線性變換

(此處的

是小量)。

，這里的函數決定了變換矩陣

和平移量

。

現在做的只是完美確定了矢量

落在了該落的位置上(假設)，還需要做的事是把

附近的矢量準確落位。

設原空間中的基分別是

，變換后

;

這時如果我們輸入一個

(

是小量)，也就相當把

函數改為

這就相當于對

中的x求偏導，顯然有

，同樣有

。

如果輸入的是

，這也就要求了輸出的是

為了讓線性變換后也達到這個效果，我們需要作用一個矩陣，這個矩陣也就是雅可比矩陣(Jacobian Matrix)。

它具有如下形式(二維)：

這就符合了前面的要求：對這個矩陣作用一個小量(小的向量)

發現，作用了這個矩陣使得

在鄰域內能滿足：

也即

可這又跟一開始的面積微元有什么聯系呢？

線性變換中的面積變換

高中階段，我們接觸最多的就是橢圓當中的伸縮變換

面積微元的變換很顯然，

。

可是如果變換后的基矢并不正交(這也正是大部分情況)呢？

觀察下

的變換矩陣：

，看到了變換后的面積微元與變換前的比值是這個矩陣的行列式

。

對于普遍的變換

前面已經提到，基矢來到了不同的位置rt

注意到單位面積變換到了平行四邊形

的面積，這就非常好求了，只需要

，就得到了變換后的單位面積，所以微分形式是

，即面積變換需要乘上一個變換的矩陣的行列式。

也可以寫成

(有用極了)

非線性的變換在局部具有線性的性質，我們討論面積的微元，也就可以在線性的情況下解決。

我們要處理文章最開始的問題：

這個問題可以是，把由

構成的向量空間轉換成固定且正交的基矢構成的空間，求在

處的面積微元表達形式。

這個非線性的變換可以表達成

也是

，我們考慮微小的面積，所以就用上了前面的雅可比矩陣。

在

處的雅可比矩陣寫為：

所以在這個點附近的微小變化就可以用這個矩陣來描述。那我們假設一個微小變化為

(原空間中的微小變化)，產生一個微小的平行四邊形(變換后的空間中)的面積就是

。

于是就證明了一開始的結論：

雅可比矩陣的應用就在于類似于這樣的微分形式換元。

看一個問題：求

。

給出一種解法：

作換元

，得到了

這里就用到了

，當然也可以理解為面積元的轉換，不過雅可比矩陣給出了很好的解釋。

可以看到，

在第一象限，所以定義域在

。

算算完就是：

，得到了

。

這只是展示了很弱的運用，不過也有意義。(比較有用的看情況更)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的jacobian 矩阵意义_对雅可比矩阵的理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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