量化投資 — 技術篇 (2)

APT（Arbitrage Pricing Theory）

一. 簡介

????APT理論即套利定價模型是由經濟學家Stephen Ross在1976年推出的。該理論給出了金融資產的收益可以表示為多個因子或市場指數的線性函數，而對每個因子的敏感度由該因子獨有的beta系數所決定。由模型導出的資產收益率可以用來對該資產進行定價，如果價格偏離，套利會使其回歸真實價格，這就是套利定價模型的由來。

APT的核心思想如下：- APT是對期望收益建模- APT為期望收益和因子之間建立了關系- APT的因子建立有很多維度，可能是基本面、技術指標、宏觀因子等- APT的假設要弱于CAPM理論

二. 定義

符號定義：
????$R_n$ ???? 某資產$n$的收益
????$X_{n,k}$ 某資產$n$在因子$k$上的暴露程度，又稱為factor loadings
????$b_k$ ???? 因子$k$的因子收益(factor return)
????$u_n$ ???? 代表某資產$n$的特定收益(specific return)，與因子無關
????$m_k$ ????是對因子$k$的預期收益
APT 公式形式如下：
$$R_n=\sum _{k=1}^K{X}_{n,k}?b_k+u_n$$ （3.1）
期望收益為：
$$E\{R_n\}=\sum _{k=1}^K{X}_{n,k}?m_k$$ （3.2）

????APT模型表明某個資產或者投資組合的收益可以認為是多個因子的加權收益之和再加上該資產的特定收益；同時其預期收益則等于各個因子暴露度乘以對應因子的預期收益的和。

三. 詳解

????Arbitrage Pricing Theory中的Arbitrage即套利意味著：在無任何風險的情況下獲得確定的收益。在APT中我們可以這樣理解：假設投資組合的收益滿足式（3.1），但不滿足式（3.2），那么我們就可以找到主動倉位使投資組合對所有因子暴露度為0，且有正收益。所有因子暴露度為0，也就意味這風險幾乎為0，那么就可以進行無風險套利。但從金融理論中，我們知道長期來說無風險套利是不存在的，所以公式（3.2）也必須滿足。

????APT給出了理論框架，但是并沒有說該如何找到因子和實現該模型。經驗上看，任何一個因子模型如果可以很好地解釋一個多元化地投資組合的風險可以被認為是一個合格的APT模型實現。

????我們可以把CAPM理論看成是APT的一種特殊形式，SML就代表著資產價格的單因子模型。由于APT并沒有給出因子是什么以及如何驗證，所以實現者需要自己去尋找因子。經驗上一般是會用到3~5個因子，而且APT并沒有表現的比CAPM強。
一般公認的實現中都會遵循以下原則來尋找因子：

該因子的非預期變動影響資產價格

不可分散性

具有準確信息變量形式

其關系在經濟學上是可解釋的

????例如，上世紀90年代時，APT模型的先驅者們曾經發現采用通貨膨脹、GNP、企業債變化和收益曲線偏移來作為因子。宏觀經濟因子采用短期利率、長短期利率差、油價、貴金屬和匯率等。

四. Fama-French 3 Factor Model

最后我們簡要介紹一下著名的Fama-French三因子模型，其三個因子分別為：

• 市場風險
• 小公司相比于大公司的超額收益
• 高book/market的公司相比于低book/market公司的超額收益 (book/market即公司賬面價值與市場價值的比)
  ????回歸公式如下：
  $R=R_f+\beta (R_m?R_f)+b_s?SMB+b_v?HML+\alpha$ ???? (3.3)
  ???? 其中$SMB=Small[marketcapitalization]?Big$
  $HML=High[book?to?marketratio]?Low$
  ???? $b_s，b_v$分別是SMB和HML的因子負載。這兩個因子實際上是衡量大市值與小市值比較和價值與成長比較。
  ????有些學者曾經發現這個模型可以解釋一個分散投資組合的90%的波動性，而CAPM智能解釋70%。還有學者認為Fama-French三因子模型是因國家和地域而異的，本地化的因子要優于全球因子。
  ???? 值得一提的是這個因子模型有兩個比較有名的變種，
  ???? 第一個是在2015年Fama和French擴展了三因子模型，增加了收益性因子和投入性因子，分別為RMW和CMA。RMW是高盈利減去低盈利，CMA是高投入減去低投入。
  第二個是Carhart四因子模型，這個模型在三因子的基礎上增加了動量因子(MOM)

總結

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