1、前言
回顧前面幾期的內容，在第一期中介紹了機器人的正/逆運動學建模，正運動學解決的問題是如何從關節空間的關節變量描述操作空間的位姿，反之則是逆運動學的內容。將操作空間和關節的空間的關系用以下關系式進行表達。

機器人正/逆運動學始終在解決上面這個公式，已知末端的位姿，求解關節變量，或者已知關節變量，確定末端的位姿，這些描述的是靜態位置之間的關系，屬于靜態運動學問題。
在第二、三期介紹了機器人動力學建模，使用是拉格朗日法，由于需要計算的每個連桿的動能，因此在第三期介紹了角速度和線速度的傳遞公式，即在已知每個關節的轉動/平動速度情況下，從第一個運動關節出發，遞推末端關節的速度（v,w）。在本期中將介紹如和在已知末端的速度的情況下，求得每個關節需要的運動速度。在機器人的控制方案，一般先規劃末端的軌跡，而不是規劃每個關節的運動速度，因此通過末端的運動狀態求解關節的運動更具現實意義。
2、雅克比矩陣
2.1概念補充
關節空間：n個自由度的機械臂的末端位姿由n個關節變量決定，這n個關節變量統稱為n維關節矢量，所有關節矢量構成的空間稱為關節空間。即關節空間是由關節變量組成的空間。

，式中指右邊部分。
操作空間：也稱任務空間，一般來講是笛卡爾空間，簡單來講就是空間直角坐標系。末端的位姿在這個空間描述，上式指左邊部分。關于末端空間姿態的表示的方法后續補充。
矩陣的求導：這里直接給出矩陣的求導的計算公式。

2.2雅克比矩陣意義

在前面我們知道正/逆運動學所要做的內容，可以用上式進行表述，那么是否存在這個的表達式能夠將操作空間的速度和關節空間的速度聯系起來。首先對上式關于時間t進行求導

通過鏈式法則得到了操作空間的速度與關節空間的速度關系，將以上關系簡記成如下形式：

其中J即為本期需要介紹的雅克比矩陣，它建立從關節變量速度到末端速度的映射，且它們之間的關系為線性的。
2.3雅克比矩陣計算
方法一：根據變換矩陣
在笛卡爾坐標系下，末端的位姿和速度表示如下：

那么雅克比矩陣相應的可以表示成：

線速度部分
可以根據變換矩陣，其中第四列代表的含義為末端的位置。將第四列的前三個提取出來關于關節變量進行求導即可。
角速度部分
末端角速度是由每個不同的旋轉關節進行線性疊加而成，在三維空間中，角速度的表示為指向旋轉軸的向量，其方向可借助右手定則進行判斷。在以自身旋轉軸旋轉和關節自身的坐標系下考慮角速度對末端的影響，關節的旋轉軸在自身坐標系下通常定義為z軸（[0,0,1]），角速度定義為[0,0,w],那么對于末端的角速度的貢獻為0,0,w。而Jw是基于基坐標系下的表述形式。因此只需要將每個旋轉軸轉換成基坐標系中表示即可。

方法二：微元法

假設其它關節不動，只有第二關節繞其軸旋轉微小角度。由此產生的第N個連桿的微小位移和微小轉動

其中表示在基坐標系中第二個關節軸的單位矢量。
同樣地可以計算從第1到第N的所有連桿。末端的實際位移和微小轉動就是各個關節微小位移和微小轉動的總和，即：

寫成矩陣的形式：

其中：

方法三：根據速度傳遞公式
速度的傳遞公式可回顧第三期的內容。這里直接寫出速度的傳遞公式：

以上均針對轉動關節而言，將雅克比矩陣寫成以下形式：

對于末端的線速度記，末端角速度記為we,末端的速度是由每個關節運動對末端疊加，寫出如下疊加公式：

其中：

同上寫出：

【下期預告】
實例講解雅克比矩陣（下）-----雅克比應用
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的雅克比矩阵（上）-----雅克比推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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