1.一階常微分

a，變數分離法，公式法

b，rikkachi方程式

【給一個特解，然后利用這個特解來求，這個特解可以用兩個解相加的方式帶進去，也可以利用特解方程式本身做轉化，轉化成關于y，x的微分方程式來求解。還有一種方式是用變數轉換，把式子轉化成二階線性方程式來求解。】

c，貝努利方程式，可以處理一階常微分中只有一項是多次的情況

d，一階多次方程式，先考慮是否能做項之間的因數分解

【kurero方程式，特點是x前面的系數是p的一次項。用x做微分，把方程式做成關于p的式子，然后做p的因數分解，含有p的微分項算出來的是一般解，另一個是特意解，特意解表示的是一般解曲線的包絡線。有些時候的騷操作來講的話，就是用p來分別表示x和y，然后做x，y的常微分方程式來求解。】

【拉格朗日方程式，特點是x前面的系數是p的隨便什么都可以。可以用x做微分來構造因數分解，或者把式子看成對x做p的微分方程式，用p來分別表示x和y，最后消掉p去求解x，y。另一種操作是把x放在方程式左邊來表示，然后同時對y做微分，三個項x，y，p互相都可以隨時表示，代到原式去里消符號。】

e，式子的變換操作

【比較好想到的是，式子里有復雜函數的情況，經常做的變換有把復雜的部分直接用u變化，或者是設x平方，y平方分別為其他變量u和v，把式子轉換成關于u和v的微分方程式。】

f，集合上的直交截線

【用來求曲線的直交曲線，一定要把式子里的定數項消掉，把定數項用其他項進行表示，再把里面的y一瞥項換成-1/y一瞥項再來求解式子。

極坐標的情況，同樣先去消定數項，然后把r一瞥換成-r平方/r一瞥。】

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總結：最經常考的是關于p的式子【里面有階數的不用也有次數的不同】，第一個首要目的要去降次，降次的方法主要是因數分解，注意觀察式子。第二個可能出現的騷操作是，強行看出一個微分出來可以完美體現這幾項的。

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2.二階常微分

a，常系數的二階

先把同次形中的基本解求出來，重復解和復數解的情況的基本解要背下來。

特殊解的求法，待定系數法，演算子法，w行列法。后面在多階的時候再總結。

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b，非常系數的二階

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【歐拉方程式，y二階前面有x平方等等的這種規律形式，有自己的特性方程式所以基本解很好解{基本解重解和復數解的情況}因為多階的歐拉方程式一般是做變數變換后再解，所以轉換成多階常微分的特性方程式，因此不用記多階歐拉方程式的特性方程式的解的情況。特殊解的求法主要是待定系數法，直接用w行列法的時候要注意r項部分是沒做變化時的】

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【二階的情況解可以表示成為y等于uv的形式，這種形式解出來的是方程式的基本解。只要知道一個解就能把另一個解求出來，這種情況如果是同次形的話，沒給第一個基本解的話，就只能強行看出來一個基本解，一般情況下可以試一下的基本解是，x和x的幾次方，e的x次方和e的負x次方，和e的某次方。然后另一個基本解就出來了。但是如果是非同次形要找特殊解的話，二階還可以處理，因為可以用w行列來求特殊解。三階以上的話只能用特定系數法來強行解一個，要不就是以p的角度來看去先簡化式子了。經常出現的特殊解，x某次方的x的多次項的形式，前面可能有e的x次方的cos和sin的多次項的形式，和前面有x次方的e的某次方的形式。】

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【實際上實際操作性比較低的標準化方法，主要就是記公式】

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c，圖形上的應用

主要要抓住y一瞥代表的是tan阿爾法角，阿爾法是接線與x的相交角，然后在三角形上其實可以用式子表示要求的圖形關系，這個要過一下。

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總結：二階的微分方程式解法實際上跟多階的操作差不太多。主要因為是二階有幾點特殊性，第一，知道一個基本解的話，可以用uv代入式子去求另一個基本解。第二，求特殊解的話，知道兩個基本解，就可以用w行列來求特殊解。第三，歐拉方程式的二階，可以直接用特性方程式來求，特殊解也可以直接用w行列來求。第四，有一個所謂的標準型，實際上操作效果不咋地。

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3.多階常微分方程式

a，常系數的多階

常系數的情況，基本解非常好求。主要是涉及到求非同次的時候的特殊解的情況，如果右邊是幾項相加的情況，可以考慮單獨項的特殊解，然后相加。以下是求特殊解的操作

第一個是，待定系數法

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待定系數法這個主要是看運氣，多試幾次的問題。

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第二個是演算子法，演算子法各種公式

演算子法實際上按道理是可以處理任何微分方程的特殊解問題的，但是實際情況在cos和sin的處理上并沒有特定系數法好用，處理inx應該是最好用的。

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b，多階歐拉方程式

一句話就是用x替代e的t次方，然后將方程式里的y寫成關于t的微分方程式，就回到了多階常系數的情況。

特殊解在變換之前能不能用特定系數法設出來要考慮一下，一般歐拉方程式特殊解的套路是x，x倍的inx，sininx和cosinx的倍數等等，這個也是看命推的。

要不就是直接換成常系數的情況，然后用演算子來算。

像是sin，cos的演算子只有d平方才能帶進去，所以這個時候就把cos或sin看成e的ix次方，當作e去處理，處理完之后取實部或者虛部就行了。

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4.非線性常微分方程式

第一種操作是在，可以把式子調整成右邊只有y項的情況，左邊有二階導，二階導因為可以分成d/dx*dy/dx*的這種形式，所以左右兩邊同時乘2dy/dx，把左邊做成積分量為d*dy/dx的形式，再左右兩邊做積分。

第二種操作是，里面有很多y的多階導數的情況，式子整體做某個導數的除法，去湊左右兩邊對x積分可以出inx的這種情況。

第三種屬于聯立方程式中的應用形操作，就是利用臨界點，在臨界點上去做方程式的線性化

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5.mit中學到的操作

主要是針對聯立方程式，第一種是線性的，線性的情況如果是兩個方程式的右邊不是對應的變量的話，就可以做解耦這個操作，解耦就是找出矩陣的特征向量的逆向量乘上去，目的是為了同一方程式里的變量。

第二種是非線性的，非線性的第一步找臨界點，也就是兩個方程式等于0的情況，然后在臨界點對方程式做線性化，主要操作是通過其矩陣的j矩陣，直接求線性化后的矩陣就行了。其實東大還介紹了個新操作就是，把臨界點的基礎上設yuragi，然后帶入式子里就可以線性化了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的东京大学工学系研究科数学套路总结系列之一【常微分方程式所有解法总结】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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