考慮頻率相同，振動方向相同，具有恒定初始相位的兩列波的疊加。設這兩列波從空間兩定點\(S_1\)和\(S_2\)發出，波源的振動可分別表示為

\begin{equation*} \psi_{01}=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{01} \right) \end{equation*} \begin{equation*} \psi_{02}=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{02} \right) \end{equation*}

其中\(\varphi_{01}\)和\(\varphi_{02}\)分別是兩波源振動的初相位。兩列波同時到達空間一點\(P\)處，\(P\)點到兩波源的距離分別是\(r_1\)和\(r_2\)，波速分別為\(v_1\)和\(v_2\)，如下圖所示，

圖1

則\(P\)點處的振動為

\begin{equation*} \psi_1=A_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right) \end{equation*} \begin{equation*} \psi_2=A_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right) \end{equation*}

合振動強度

\begin{equation*} I=A^2=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi \end{equation*}

其中相位差為

\begin{equation*} \Delta \varphi = \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01}) \end{equation*}

如果兩振動相位相同，

\begin{equation*} \Delta \varphi = \pm 2k\pi, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

合振動強度達到最大，稱為干涉相長。

如果兩振動相位相反，

\begin{equation*} \Delta \varphi = \pm (2k+1)\pi, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

合振動強度達到最小，稱為干涉相消。

對于光波，相位差

\begin{equation*} \begin{split} \Delta \varphi &= \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01})\\ &=\frac{2\pi c}{\lambda}\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01})\\ &=\frac{2\pi }{\lambda}(n_2r_2-n_1r_1)-(\varphi_{02}-\varphi_{01}) \end{split} \end{equation*}

其中\(\lambda\)為波在真空中的波長，\(n_1=c/v_1\)和\(n_2=c/v_2\)分別為兩波在傳播路徑上所經介質的折射率。

可見，相位差取決于兩個因素，一是波源振動的相位差，二是折射率與路程之積的差。折射率與路程的乘積叫做光程，

\begin{equation*} \Delta = nr \end{equation*}

\(\delta =n_2r_2-n_1r_1\)叫做光程差。

現在我們討論最簡單的情況，\(\varphi_{02}=\varphi_{01}\)，\(n=1\)，楊氏雙縫實驗就屬于這一情況。楊氏雙縫實驗如圖2所示。其中\(S\)是點光源，\(G\)是遮光板，其上開有兩條平行的狹縫\(S_1\)和\(S_2\)，間距為\(d\)。\(H\)為觀察屏，與\(G\)距離為\(D\)，在實驗條件下\(D\gg d\)。\(S_1\)和\(S_2\)是同一波面上的兩點，可看作新的波源，發出的次波在遮光板后面的空間疊加，這兩束波的初相位相同。

圖2 楊氏雙縫干涉實驗

相位差唯一取決于幾何路程差

\begin{equation*} \Delta \varphi = \frac{2\pi }{\lambda}(r_2-r_1) \end{equation*}

于是，出現相長干涉的條件是

\begin{equation*} r_2-r_1 = \pm k\lambda = \pm (2k)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即光程差是半波長的偶數倍。

出現相消干涉的條件是

\begin{equation*} r_2-r_1 = \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即光程差是半波長的奇數倍。

如圖2所示，\(r_1,r_2\gg d\)，\(S_1P\)與\(S_2P\)可近似看做平行，于是

\begin{equation*} r_2-r_1 \approx d\sin \theta \end{equation*}

其中\(\theta\)為\(P\)點的角位置。

上式可以由數學得到。

\begin{equation*} \begin{split} r_2 &= \sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\left (\frac{\pi}{2}+\theta \right )\sin \theta}\\ \\ &= \sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}+rd\sin \theta}= r\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}+\fracze8trgl8bvbq{r}\sin \theta}\\ &\approx r\sqrt{1+\fracze8trgl8bvbq{r}\sin \theta} \quad (約去二階小量) \\ &\approx r\left (1+\fracze8trgl8bvbq{r}\sin \theta \right)\quad (泰勒展開保留至一階小量) \end{split} \end{equation*}

同理，

\begin{equation*} r_1 \approx r\left (1-\fracze8trgl8bvbq{r}\sin \theta \right) \end{equation*}

于是有\(r_2-r_1 \approx d\sin \theta\)。

\(P\)點坐標與角位置關系為

\begin{equation*} x= D\tan\theta\approx D\sin \theta \end{equation*}

于是可得相長干涉（亮條紋）的位置為

\begin{equation*} r_2-r_1 = d\sin \theta=\frac{dx}{D}=\pm k\lambda = \pm (2k)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

出現相消干涉（暗條紋）的條件是

\begin{equation*} r_2-r_1 =d\sin \theta=\frac{dx}{D}= \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即出現亮條紋的位置為

\begin{equation*} x =\pm k \frac{D}ze8trgl8bvbq\lambda, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即出現暗條紋的位置為

\begin{equation*} x =\pm (2k-1) \frac{D}ze8trgl8bvbq\lambda, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

其中，\(k\)稱為條紋的級次。

相鄰明（或暗）條紋的間距為

\begin{equation*} \Delta x =\frac{D}ze8trgl8bvbq\lambda \end{equation*}

條紋是等間距排列的。條紋間距與雙縫到觀察屏的距離成正比，與雙縫間距成反比。

條紋間距與雙縫間距成反比。

條紋間距與波長成正比。

條紋間距與波長成正比

如果用白光做光源，除中央亮條紋外，起于各級條紋都帶有各種顏色。對于級數較大的條紋，不同級次的條紋因互相重疊而使條紋模糊，因此用白光做干涉實驗可以辨認的條紋數目很少，實驗一般采用單色光。

現在討論，觀察屏上光強的分布。設兩列波的光強相等，均為\(I_0\)，則疊加之后的光強為

\begin{equation*} \begin{split} I&=A^2=I_0+I_0+2I_0\cos\Delta \varphi = 2I_0(1+\cos\Delta \varphi)=4I_0\cos^2\frac{\Delta\varphi}{2}\\ &=4I_0\cos^2\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}=4I_0\cos^2\frac{\pi dx}{D\lambda} \end{split} \end{equation*}

轉載于:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/5260826.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的杨氏双缝干涉的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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