導航

• Probability Space
• Random Variable
• 測度變換
• Radon-Nicodym
• 例題
• • 解析
• 參考資料

Probability Space

使用三元組$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$表示概率空間.

• $\Omega$表示樣本空間(sample space)，$\Omega =\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$
• $\mathcal{F}$是一個$\sigma$代數，表示域流，包含所有可測的事件，有以下性質
  (1) $?\in \mathcal{F}$.
  (2) $A\in \mathcal{F}\to A^c\in \mathcal{F}$.
  (3) $A_1,A_2,?\in \mathcal{F}\to \underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i\in \mathcal{F}$
  (4)$A_1^c,A_2^c,\dots ,\in \mathcal{F}\to (\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i^c)\in \mathcal{F}\to (\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i^c{)}^c\in \mathcal{F}\to ((\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i{)}^c{)}^c=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i\in \mathcal{F}$(德摩根律)
• $\mathbb{P}$是概率測度(Probability Measure)，所有測度空間上的事件被賦予了$[0,1]$之間的值. 滿足以下性質(Measure $\to$ Probability Measure)
  (1) $\mathbb{P}(\Omega )=1$
  (2) 如果$A_1,A_2,\dots$是disjoint sets， 那么$\mathbb{P}(\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_i)$（可數可加性）
  有以下推論
  (1) $\mathbb{P}(?)=0$
  (2) $\mathbb{P}(\underset{i=1}{\overset{N}{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^N\mathbb{P}(A_i)$
  (3) $\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)$=1

Random Variable

$X:\Omega \to \mathbb{R}$，如果是高維隨機變量，則為$X:\Omega \to {\mathbb{R}}^k$.
滿足約束：$X^{?1}(B)=\{w\in \Omega :X(w)\in B\}\in \mathcal{F}$，其中$B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$(Borel Sets).
數學期望
可數無窮
$$\mathbb{E}X=\sum _{w\in \Omega }X(w)\mathbb{P}(w)$$
不可數無窮，令$w\to w+dw$，劃分為區間積分
$$\mathbb{E}{\int }_{\Omega }X(w)d\mathbb{P}(w)$$
在樣本空間的子集上$A?\Omega ,A?\mathcal{F}$積分
$${\int }_{A}X(w)d\mathbb{P}(w)={\int }_{\Omega }{\mathbb{I}}_A(w)X(w)d\mathbb{P}(w)$$
應用：歐式看漲期權定價
設當前時刻為$0$時刻，期權開始時刻為$t$，行權時刻為$T$，期權價格$C_t$
$$C_t={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[e^{?r(T?t)}(S_T?K{)}^{+}\mid {\mathcal{F}}_t]$$
性質
如果$A?\Omega ,B?\Omega ,A,B\in \mathcal{F},A\cap B=?$
可以推出
$$\begin{array}{rl}{\int }_{A\cup B}X(w)d\mathbb{P}(w)& ={\int }_{\Omega }{\mathbb{I}}_{\{A\cup B\}}X(w)d\mathbb{P}(w)\\ & ={\int }_{\Omega }({\mathbb{I}}_A+{\mathbb{I}}_B)X(w)d\mathbb{P}(w)\\ & ={\int }_{\Omega }{\mathbb{I}}_{A}X(w)d\mathbb{P}(w)+{\int }_{\Omega }{\mathbb{I}}_{B}X(w)d\mathbb{P}(w)\\ & ={\int }_{A}X(w)d\mathbb{P}(w)\end{array}$$
期望收斂
要求
$$\mathbb{E}|X|={\int }_{\Omega }|X(w)|d\mathbb{P}(w)<\infty$$
一些分布函數的期望，如Laplace Distribution，計算發現期望并不收斂.

測度變換

測度變換的本質是對樣本點的權重進行轉換

$\mathbb{P}$$\mathbb{Q}$

$w_1$	$1/3$	$1/6$
$w_1$	$1/3$	$1/2$
$w_1$	$1/3$	$1/3$

考慮不同測度$\mathbb{P}$和$\mathbb{Q}$之間的聯系，不難發現存在如下轉換
$$\mathbb{P}\times ?\begin{array}{c}1/2\\ 3/2\\ 1\end{array}?=\mathbb{Q}$$
Radon-Nicodym導數可以建立不同測度之間關系
$$Z(w)=\frac{\mathbb{Q}(w)}{\mathbb{P}(w)}$$
具有如下性質
$$\begin{array}{rl}& {\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[Z(w)]=1\\ & {\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]={\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[XZ]\\ & {\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[X]={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[\frac{X}{Z}],Z>0\end{array}$$
定理：令$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$為一個概率空間，隨機變量$Z\ge 0$， 且${\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[Z]=1$，對于$A?\mathcal{F}$，定義
$$\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Z(w)d\mathbb{P}(w)$$
那么$\mathbb{Q}$是一個概率測度. 并且，如果隨機變量$X\ge 0$，那么
$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]={\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[XZ]$$
如果隨機變量$Z>0$，那么
$${\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[X]={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[\frac{X}{Z}]$$

Radon-Nicodym

定義：概率測度$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$，令$\mathbb{Q}$為域流$\mathcal{F}$上的另一個概率測度，如果測度$\mathbb{Q}$和$\mathbb{P}$相等，需要滿足這樣的條件，對于隨機變量$Z(w)>0,a.s.$和事件$A\in \mathcal{F}$
$$\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Z(w)d\mathbb{P}(w)$$
那么$Z$就是Radon-Nicodym導數，且
$$Z(w)=\frac{d\mathbb{Q}(w)}{d\mathbb{P}(w)}$$
在$\mathbb{P}$測度下計算隨機變量$Z(w)$的期望得到
$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}^{\mathbb{P}}[Z(w)]& ={\int }_{\Omega }Z(w)d\mathbb{P}(w)\\ & ={\int }_{\Omega }Z(w)\frac{d\mathbb{Q}}{Z(w)}\\ & ={\int }_{\Omega }d\mathbb{Q}\\ & =1\end{array}$$
Radon-Nicodym導數計算
使用極限的思想計算，設概率測度$\mathbb{P}$為均勻測度，且$0\le a\le b\le 1$，
$$\mathbb{P}[a,b]=b?a$$
概率測度$\mathbb{Q}$滿足
$$\mathbb{Q}[a,b]=b^2?a^2$$
對于小區間$[w,w+\Delta w]$計算$\Delta \mathbb{Q}$
$$\Delta \mathbb{Q}=2w\Delta w+(\Delta w{)}^2$$
$\Delta \mathbb{P}$
$$\Delta \mathbb{P}=\Delta w$$
計算R-N導數$Z(w)$
$$Z(w)=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=2w+\Delta w\stackrel{\lim \Delta w\to 0}{}2w$$
在新測度下，每個樣本點的權重均發生了變化（發生了拉伸或者壓縮）

例題

隨機變量$X(w)=w$，在概率測度$\mathbb{P}$下為標準正態分布${\mathcal{N}}^{\mathbb{P}}(0,1)$，隨機變量$Y(w)=w+\theta ,(\theta >0)$在概率測度$\mathbb{P}$下為正態分布$\mathcal{N}(\theta ,1)$. 求一個概率測度$\mathbb{Q}$使得隨機變量$Y(w)$滿足${\mathcal{N}}^{\mathbb{Q}}(0,1)$.

解析

根據定義
$$Z(w)=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}(w)$$
標準正態分布的pdf為
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2}{2}},x\in \mathbb{R}$$
cdf為
$$\Phi (x)={\int }_{\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{s^2}{2}}ds$$
$$\Delta \mathbb{P}(l)=\mathbb{P}(l\le w\le l+\Delta l)=\Phi (l+\Delta l)?\Phi (l)$$
隨機變量$Y$滿足$Y～{\mathcal{N}}^{\mathbb{Q}}(0,1)$
$\Delta \mathbb{Q}(l)=\mathbb{Q}(l\le w\le l+\Delta l)$
因為$Y(w)=X(w)+\theta =w+\theta$
$\Delta {\mathbb{Q}}^{?}(l)=\mathbb{Q}(l\le Y(w)\le l+\Delta l)=\Phi (l+\Delta l)?\Phi (l)=\mathbb{Q}(l?\theta \le w\le l+\Delta l?\theta )$.
由于$l$值任意，令$l=l+\theta$，可以得到
$$\mathbb{Q}(l\le w\le l+\Delta l)=\Phi (l+\theta +\Delta l)+\Phi (l+\theta )=\Delta \mathbb{Q}(l)$$
所以
$$\begin{array}{rl}Z(l)& =\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\underset{\Delta l\to 0}{\lim }\frac{\Phi (l+\theta +\Delta l)?\Phi (l+\theta )}{\Phi (l+\Delta l)?\Phi (l)}\\ & =\underset{\Delta l\to 0}{\lim }\frac{\phi (l+\theta +\Delta l)}{\phi (l+\Delta l)}\\ & =\frac{\phi (l+\theta )}{\phi (l)}\end{array}$$
求得Radon-Nicodym導數為
$$\begin{array}{rl}Z(w)& =\frac{\phi (w+\theta )}{\phi (w)}\\ & =\exp (?\frac{(w+\theta {)}^2}{2}+\frac{w^2}{2})\\ & =\exp (?\frac{{\theta }^2}{2}?w\theta )\\ & =\exp [?\frac{{\theta }^2}{2}?X(w)\theta ]\end{array}$$

參考資料

Radon-Nicodym Derivative Jerry Xu

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【FinE】测度变换及Radon-Nicodym导数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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