文章目錄

• 集合
• • ZF集合論
  • • ZF集合論的公理
    • ZF集合論的推論
• 映射
• • 特征函數(shù)
  • 映射的一些性質(zhì)

集合

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ZF集合論

Zermelo-Fraenkel 集合論是數(shù)學(xué)中最常用的公理化集合論，含選擇公理時(shí)常簡(jiǎn)寫為ZFC，不含選擇公里時(shí)則簡(jiǎn)寫為ZF。

ZF集合論的公理

• 同一律（外延公理）：兩個(gè)集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即

$$?X?Y[X=Y??z(z\in X?z\in Y)]$$

• 配對(duì)集公理：任給兩個(gè)集合X和Y，都有一個(gè)恰好由它們組成的集合{X,Y}，即

$$?X?Y?Z(Z=\{X,Y\})$$

• 并集公理：任給一個(gè)集合X，都有一個(gè)恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合$\cup X$，即
  $$?X?Y(Y=\cup X=\{a|?b(b\in X\wedge a\in b)\})$$
• 冪集公理：任給一個(gè)集合X，都有一個(gè)恰好由它的子集合的全體組成的集合P(X)，即

$$?X?Y(Y=P(X)=\{A|A\in X\})$$

• 無限集公理：存在一個(gè)滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，
  （a）X含一個(gè)元素；
  （b）如果Y∈X，那么Y∪{Y}∈X。其中Y∪{Y}={Y,{Y}}，即

$$?X[(?a(a\in X))\wedge (?Y(Y\in X\to Y\cup Y\in X))]$$

• 分解原理：分解公理又稱概括公理，應(yīng)當(dāng)注意到這里的表達(dá)式并非樸素集合論的概括方式。設(shè)φ(x,y?,…，y𝗇)（1≤n<∞）是集合論語言的一個(gè)表達(dá)式。任給集合X和p?,…,p𝗇，集合X中的那些具有性質(zhì)φ[u,y?,…，y𝗇]的元素u構(gòu)成一個(gè)集合Y，即

$$?X?p_1\dots ?p_n?Y(Y=u\in X|?[u,p_1,\dots ,p_n])$$

這六條公里是Zermelo在1908年引入的
后來Fraenikel又引入了映像存在原理，馮諾依曼又引入了極小原理

ZF集合論的推論

• 子集
  子集的每個(gè)元素都在原集合中，子集可以是空集合，用$\mathcal{P}(X)$表示以X的所有子集為元素的全體的集合。
• 余集
  若X是集合$A?X$，則$$X?A:=\{x\in X;x\in /A\}$$是A關(guān)于X的余集
• 乘積
  若X，Y是兩個(gè)集合，則由$x\in X,y\in Y$組成的有序?qū)?x,y)全體組成的集合

$$X\times Y:=\{(x,y);x\in X,y\in Y\}$$

是X和Y的乘積。

• 集合X上的關(guān)系R是指乘積 $X\times X$的任意子集，即R由一些特定的序?qū)?x,y)組成，其中$x\in X,y\in Y$

• 集合上的等價(jià)關(guān)系是X是滿足以下關(guān)系的R，其中$(x,y)\in R$記作$x～y$

  • 自反性：對(duì)所有的$x\in X$有$x～x$

  • 對(duì)稱性：當(dāng)$x～y$時(shí)，有$y～x$

  • 傳遞性：當(dāng)$x～y$且$y～z$時(shí)，$x～z$

映射

若X和Y是兩個(gè)非空集合，X到Y(jié)的映射或函數(shù)是指乘積 X x Y的一個(gè)子集f，滿足對(duì)每一個(gè)x存在唯一的y使得(x,y)屬于f。（欸，這個(gè)f不就是前面說的一個(gè)集合關(guān)系嘛嘿嘿）

$$f:X\to Y或X\stackrel{f}{\to }Y$$

或者我們常見的函數(shù)定義

$$f(x)\in Y$$

特征函數(shù)

定義函數(shù)${\chi }_A:X\to \mathbb{R}$為

$${\chi }_A(x):=\{\begin{array}{ll}1,& x\in A\\ 0,& x\in /A\end{array}$$

其為A的特征函數(shù)

若$f:X\to Y$為一個(gè)映射，X的子集A在f下指向的便是Y的子集f(A),即

$$f(A):=\{y\in Y;?x\in A,y=f(x)\}$$

同理，Y的子集B在f下的逆像是X的子集

$$f^{?1}(B):=\{x\in X;f(x)\in B\}$$

須知$f不是\mathcal{P}(X)到\mathcal{P}(Y)的映射$

映射的一些性質(zhì)

A是X的子集,B是Y的子集

• 1. 逆像保持所有集合運(yùn)算

  • 若$B?\tilde{B}$則$f^{?1}(B)?f^{?1}(\tilde{B})$
  • $f^{?1}(B\cup \tilde{B})=f^{?1}(B)\cup f^{?1}(\tilde{B})$
  • $f^{?1}(B\cap \tilde{B})=f^{?1}(B)\cap f^{?1}(\tilde{B})$
  • $f^{?1}(Y?B)=X?f^{?1}(B)$
    但是直接像只滿足
  • 若$A?\tilde{A}$則$f(A)?f(\tilde{A})$
  • $f(A\cup \tilde{A})=f(A)\cup f(\tilde{A})$
  • $f(A\cap \tilde{A})=f(A)\cap f(\tilde{A})$
    相比而言少了最后一條.

• 2. 若對(duì)于每個(gè)$y\in Y$至少存在一個(gè)$x\in X$使$y=f(x)$則f是滿射

• 3. 多對(duì)于每個(gè)$y\in Y$至多存在一個(gè)$x\in X$使得$y=f(x)$ 則稱之為單射

• 4. 若$f:X\to Y$是滿射且是單射,則稱其為雙射,此時(shí)可以定義逆映射.

• 5. 若$f:X\to Y$是一個(gè)映射,A是X的子集,對(duì)每個(gè)$x\in A$,令$f_A(x)=f(x)$這就定義了一個(gè)映射$f_A:A\to Y$,稱之為f在A是的限制,記作$f{|}_A$

• 6. 設(shè)$g:A\to Y$是一個(gè)映射,其中A是X的子集,如果映射$f:X\to Y$滿足$f{|}_A=g$,則稱f為g的一個(gè)延拓

• 7. 設(shè)$f:X\to Y,g:Y\to Z$是兩個(gè)映射,映射$h:X\to Z$定義為對(duì)每個(gè)$x\in X,h(x)=g(f(x))$,稱h為復(fù)合映射,記作$h=g°f$或$h=gf$

• 8. 設(shè)$f:X\times Y\to Z$是一個(gè)映射,a是X的一個(gè)元素,定義映射$f(a,?):Y\to Z$為$$f(a,?):y\in Y\to f(a,y)\in Z$$稱之為一個(gè)部分映射.

• 9. 對(duì)映射$f:(x,y)\in X\times Y\to f(x,y)\in Z$分別稱兩個(gè)元素為第一個(gè)變?cè)偷诙€(gè)變?cè)?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泛函分析笔记(一) 基础的集合与映射的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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