無人機剛體動力學方程

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  • 應用
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無人機平動動力學

推導

無人機相對地球（地心地固坐標系）表面的速度與慣性速度的關系可表示為
$${\mathbf{v}}^I={\mathbf{v}}^E+{\mathbf{\omega }}^{IE}\times \mathbf{r}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
${\mathbf{v}}^E$相對于機體系求導
$${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^B{\mathbf{v}}^E={\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^I{\mathbf{v}}^E?{\mathbf{\omega }}^{IB}\times {\mathbf{v}}^E\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
根據矢量在旋轉坐標系下的求導規則，對式(1.1)兩邊在慣性坐標系下求導
$${\mathbf{a}}^I=\left[{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^I{\mathbf{v}}^E+{\mathbf{\omega }}^{IE}\times {\mathbf{v}}^E\right]+\left[{\mathbf{\alpha }}^{IE}\times \mathbf{r}+{\mathbf{\omega }}^{IE}\times \left({\mathbf{\omega }}^{IE}\times \mathbf{r}\right)\right]\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
(1.3)式中，${\mathbf{a}}^I$為慣性加速度，有
$${\mathbf{a}}^I=\mathbf{f}+\mathbf{\mu }\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
(1.4)式中，$\mathbf{f}$為無人機比力，$\mathbf{\mu }$為萬有引力加速度。
地球萬有引力加速度與地球重力加速度的關系為
$$\mathbf{g}=\mathbf{\mu }?\left[{\mathbf{\alpha }}^{IE}\times \mathbf{r}+{\mathbf{\omega }}^{IE}\times \left({\mathbf{\omega }}^{IE}\times \mathbf{r}\right)\right]\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
即重力加速度是萬有引力加速度去除了地球自轉引起的加速度項的影響。
${\mathbf{\alpha }}^{IE}$為地球自轉加速度，可認為地球為勻速轉動，因此此項為0。將(1.3)(1.4)帶入(1.2)中整理可得
$${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^B{\mathbf{v}}^E=\mathbf{f}+\mathbf{\mu }?{\mathbf{\omega }}^{IE}\times {\mathbf{v}}^E?\left[{\mathbf{\alpha }}^{IE}\times \mathbf{r}+{\mathbf{\omega }}^{IE}\times \left({\mathbf{\omega }}^{IE}\times \mathbf{r}\right)\right]?{\mathbf{\omega }}^{IB}\times {\mathbf{v}}^E\text{\hspace{1em}(1.6)}$$
將式(1.5)帶入式(1.6)可得
$${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^B{\mathbf{v}}^E=\mathbf{f}+\mathbf{g}?{\mathbf{\omega }}^{IE}\times {\mathbf{v}}^E?{\mathbf{\omega }}^{IB}\times {\mathbf{v}}^E\text{\hspace{1em}(1.7)}$$
式(1.7)在機體系下的投影可表示為
$${\mathbf{a}}_B^{EB}={\mathbf{f}}_B+{\mathbf{g}}_B?{\mathbf{\omega }}_B^{IE}\times {\mathbf{v}}_B^E?{\mathbf{\omega }}_B^{IB}\times {\mathbf{v}}_B^E\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

應用

求解式(1.8)微分方程，可以得到無人機的速度在機體系下的表示。
${\mathbf{f}}_B+{\mathbf{g}}_B$為無人機動力、氣動力、重力等合外力產生的加速度，合起來可以表示為
$${\mathbf{f}}_B+{\mathbf{g}}_B=\frac{{\mathbf{F}}_B}{m}+{\mathbf{M}}_{BN}?\begin{array}{c}0\\ 0\\ g\end{array}?\text{\hspace{1em}(1.9)}$$
${\mathbf{\omega }}_B^{IE}$為地球轉動角速度在機體系下的投影，可以表示為
$${\mathbf{\omega }}_B^{IE}={\mathbf{M}}_{BN}{\mathbf{M}}_{NE}?\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\omega }^{IE}\end{array}?={\mathbf{M}}_{BN}?\begin{array}{ccc}?\sin \mu \cos \lambda & ?\sin \mu \sin \lambda & ?\cos \mu \\ ?\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ ?\cos \mu \cos \lambda & ?\cos \mu \sin \lambda & ?\sin \mu \end{array}??\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\omega }^{IE}\end{array}?\text{\hspace{1em}(1.10)}$$
${\mathbf{\omega }}_B^{IB}$為無人機轉動角速度在機體系下的投影，即陀螺儀的測量值。
帶入式(1.8)可得
$${\dot{\mathbf{v}}}_B^E=\frac{{\mathbf{F}}_B}{m}+{\mathbf{M}}_{BN}?\begin{array}{c}0\\ 0\\ g\end{array}??{\mathbf{M}}_{BN}?\begin{array}{ccc}?\sin \mu \cos \lambda & ?\sin \mu \sin \lambda & ?\cos \mu \\ ?\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ ?\cos \mu \cos \lambda & ?\cos \mu \sin \lambda & ?\sin \mu \end{array}??\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\omega }^{IE}\end{array}?\times {\mathbf{v}}_B^E?{\mathbf{\omega }}_B^{IB}\times {\mathbf{v}}_B^E\text{\hspace{1em}(1.11)}$$
根據當前姿態轉換矩陣、經緯度、陀螺儀測量角速度、機體系合外力、當前重力加速度可以求解微分方程(1.11)，得到無人機速度在機體系下的分量。經過姿態轉換矩陣，可得到無人機在NED坐標系下的速度。

無人機轉動動力學

無人機剛體繞質心轉動的過程可以由歐拉動力學方程描述
$${\dot{\mathbf{\omega }}}^{IB}={\mathbf{I}}^{?1}\left[\mathbf{M}?{\mathbf{\omega }}^{IB}\times \left(\mathbf{I}{\mathbf{\omega }}^{IB}\right)\right]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
其中，${\mathbf{\omega }}^{IB}$為機體系相對慣性系轉動的角速度，可由陀螺儀測量出。$\mathbf{I}$為原點在剛體質心的慣量矩陣，可表示為
$$\mathbf{I}=?\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& ?I_{xy}& ?I_{xz}\\ ?I_{yx}& I_{yy}& ?I_{yz}\\ ?I_{zx}& ?I_{zy}& I_{zz}\end{array}?\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
對于結構上關于x-z、y-z平面對稱的多旋翼，慣量矩陣可以簡化為對角陣，即$\mathbf{I}=\text{diag}\{I_{xx}{I}_{yy}{I}_{zz}\}$。
(2.1)式在機體系下的投影表達式為
$${\dot{\mathbf{\omega }}}_B^{IB}={\mathbf{I}}^{?1}\left[{\mathbf{M}}_B?{\mathbf{\omega }}_B^{IB}\times \left(\mathbf{I}{\mathbf{\omega }}_B^{IB}\right)\right]\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
根據當前的合外力矩、無人機慣量矩陣求解微分方程(2.3)，可以得到無人機相對慣性系轉動角速度在機體系下的分量。
得出${\mathbf{\omega }}^{IB}$后，可容易得出機體系相對于NED坐標系的轉動角速度：
$${\mathbf{\omega }}_B^{NB}={\mathbf{\omega }}_B^{IB}?{\mathbf{\omega }}_B^{IE}?{\mathbf{\omega }}_B^{EN}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
其中，${\mathbf{\omega }}_B^{EN}$可以表示為
$${\mathbf{\omega }}_B^{EN}={\mathbf{M}}_{BN}?\begin{array}{c}?\frac{u}{R_N+h}\\ \frac{v}{R_E+h}\\ ?\frac{v\tan \mu }{R_E+h}\end{array}?$$

總結

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