1.用途

現(xiàn)實(shí)是我們的處理和測(cè)量模型都是非線性的，結(jié)果就是一個(gè)不規(guī)則分布，KF能夠使用的前提就是所處理的狀態(tài)是滿足高斯分布的，為了解決這個(gè)問題，EKF是尋找一個(gè)線性函數(shù)來近似這個(gè)非線性函數(shù)，而UKF就是去找一個(gè)與真實(shí)分布近似的高斯分布。

KF處理線性模型:

EKF 通過雅克比和偏導(dǎo)數(shù)近似非線性模型，但是忽略了高階導(dǎo)數(shù)：（強(qiáng)非線性系統(tǒng)下誤差大，另一方面Jacobian矩陣的計(jì)算復(fù)雜）

UKF 通過去點(diǎn)的方式近似非線性模型，因?yàn)闆]有用雅克比和偏導(dǎo)數(shù)，讓計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單，同時(shí)也沒有忽略高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。
PF不一定限于高斯分布

2.KF

卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測(cè)量(英文:measurement)中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，然而簡(jiǎn)單的卡爾曼濾波必須應(yīng)用在符合高斯分布的系統(tǒng)中。

百度百科是這樣說的，也就是說卡爾曼濾波第一是遞歸濾波，其次KF用于線性系統(tǒng)。

但經(jīng)過研究和改進(jìn)，出現(xiàn)了很多卡爾曼，如EKF（extended kalman filter）擴(kuò)展卡爾曼，UKF（UnscentedKalmanFilter）無跡卡爾曼等等。

而我們就來研究EKF，而EKF的中心思想就是將非線性系統(tǒng)線形化后再做KF處理。

狀態(tài)方程　　

當(dāng)我們從最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)開始，我們假定k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)與k-1時(shí)刻有關(guān)，于是我們可以得到方程：

其中a為常量，但是當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部有噪聲，我們稱為過程噪聲，計(jì)為w。所以方程可以寫成：

而我們實(shí)際觀測(cè)的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)觀測(cè)噪聲，于是我們將觀測(cè)值計(jì)為Z，觀測(cè)噪聲為v，那我們可以把k時(shí)刻的觀測(cè)值與系統(tǒng)狀態(tài)值寫成方程：

于是最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)狀態(tài)方程就有啦。

卡爾曼濾波算法核心思想在于預(yù)測(cè)+測(cè)量反饋，它由兩部分組成，第一部分是 線性系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)方程，第二部分是 線性系統(tǒng)觀測(cè)方程。

這里系統(tǒng)的預(yù)測(cè)時(shí)候，我們要將通過系統(tǒng)狀態(tài)方程計(jì)算的預(yù)測(cè)值作為先驗(yàn)信息，之后在觀測(cè)部分在重新更新這個(gè)信息。

回頭說狀態(tài)的預(yù)測(cè)，我們引入一個(gè)符號(hào)^在相應(yīng)的變量上表示該變量是預(yù)計(jì)值。再說一個(gè)新概念：新息。一個(gè)時(shí)間序列{X(t)}里，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，新息是真實(shí)值減去預(yù)測(cè)值。

注：上有波浪線表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是預(yù)測(cè)值；無標(biāo)注為真實(shí)值

我們給出一個(gè)優(yōu)化過的預(yù)測(cè)值，新預(yù)測(cè)值 = 上一輪預(yù)測(cè)值（先驗(yàn)） + 權(quán)重× 新息，即：

那下一個(gè)問題就是權(quán)重g是怎么計(jì)算得出的呢？答案是間接的從噪聲里求得的。當(dāng)我們將估計(jì)協(xié)方差叫做p，而傳感器的協(xié)方差為r，我們通過這兩個(gè)值計(jì)算權(quán)重。

既然獲得了g，我們下一步將先驗(yàn)信息輸入到上面的兩個(gè)方程中獲得后驗(yàn)預(yù)測(cè)值，也就是我們的輸出值。

那整個(gè)計(jì)算步驟和過程就應(yīng)該是這樣的：

先預(yù)測(cè)后更新。具體計(jì)算過程和曲線生成可以參考levys教程的Part7。

之后我們?cè)僬f更復(fù)雜一點(diǎn)的系統(tǒng)，系統(tǒng)地狀態(tài)方程引入了輸入量U。換句話說有一個(gè)U會(huì)時(shí)刻影響系統(tǒng)狀態(tài)量。

而觀測(cè)到的觀測(cè)值為

那我們新的計(jì)算方法就需要引入這兩個(gè)新的變量，

同樣是預(yù)測(cè)，更新，預(yù)測(cè)下一時(shí)刻，更新的計(jì)算方式。

而當(dāng)系統(tǒng)用矩陣的方式寫的狀態(tài)方程，就需要以矩陣的方式計(jì)算。相同的數(shù)學(xué)公式及計(jì)算方法。如P的計(jì)算，

又如G，

還有P的更新，

這樣的話，我們的系統(tǒng)方程及計(jì)算步驟方式如下

需要注意的是我們使用的R是對(duì)測(cè)量誤差v的協(xié)方差，當(dāng)我們?cè)谝胍粋€(gè)Q代表過程噪聲引起的誤差時(shí)，可以使系統(tǒng)表現(xiàn)更好，即使Q很小，

2.1 非線性系統(tǒng)之EKF

那如果系統(tǒng)是非線性的呢？我們?nèi)绻麑⒂^測(cè)值Z計(jì)做X的非線性函數(shù)組成的，我們的模型可以改成。

而我們的中心思想是將其線性化，如果我們使用函數(shù)一階導(dǎo)為C來計(jì)算G和P。

最后系統(tǒng)復(fù)雜到這樣的程度，

那我們就引入雅科比矩陣，雅各比矩陣就是方程矩陣對(duì)每一個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)。

則在向量分析中，雅可比矩陣Jacobian matrix是該函數(shù)的所有分量（個(gè)）對(duì)向量的所有分量（個(gè)）的一階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣。

函數(shù)有個(gè)分量，于是有行。向量有個(gè)分量，于是有列。

而最終，F(xiàn)為f方程的雅可比，H為h方程的雅可比。最終計(jì)算如下：

到這里簡(jiǎn)單的EKF就已經(jīng)完成基本介紹啦。

3.UKF

https://blog.csdn.net/qq_36355662/article/details/84300082

3.0 模型

z(k+1)=h(x(k+1))

3.1 生成sigma點(diǎn)

計(jì)算每一個(gè)sigma點(diǎn)的權(quán)重：

3.2 預(yù)測(cè)

1.根據(jù)模型預(yù)測(cè)sigma point（k+1步的分布點(diǎn)）

2.預(yù)測(cè)均值（Xpred)和方差(Ppred)

無跡變換：

3.預(yù)測(cè)測(cè)量值

z(k+1)i=h(x(k+1)i)

從而zpred：

3.3更新

1.更新卡爾曼系數(shù)

其中：

2.更新最終值：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔曼滤波总结——KF、EFK、UKF的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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