1 對稱矩陣

當矩陣中所有元素均為實數時，滿足 時，該矩陣為對稱矩陣 ； 其特征值均為實數，特征向量相互正交。

特征值為實數證明如下：

，兩邊同時取共軛得，，

由于 A 為實矩陣，，由于 A 為對稱矩陣，兩邊轉置后得，

兩邊同時乘 x 得，

對兩邊同時乘得，

對比與得，故為實數；

特征向量相互正交證明如下：

假設有兩特征向量滿足，，

要證明兩向量正交，需要構造表達式，通過矩陣 A 可建立如下聯系：

，，

由于特征值為實數且不相等，，，故特征向量相互正交；

2 Hermitian 矩陣

在復平面上，向量 x 得長度定位為，

向量 x，y 正交定義為，

如果，該矩陣為復數域中的對稱矩陣，被稱為 Hermitian 矩陣，；

由于實數域是復數域的一個子集，實數域中的對稱矩陣也是復數域中的 Hermitian 矩陣；Hermitian 矩陣的特征值為實數，特征向量相互正交。

特征值為實數證明如下：

，由于，c 為一復數，，c 為一實數，

，，，

為特征向量的模長，該模長為一實數，且特征向量不為零使得，故特征值為實數；

特征向量相互正交證明如下：

假設有兩特征向量滿足，，

，

由于特征值為實數，，由于，由于，，兩特征向量正交；

當矩陣有充足的特征向量，矩陣 A 可被分解為，由于矩陣A為 Hermittan矩陣(或對稱矩陣)，其特征向量正交，將其歸一化后得 ：

，矩陣 A 被分解為 n 個 Rank 1 矩陣得線性和。

3 斜對稱矩陣

當矩陣中所有元素均為實數時，滿足時，該矩陣為對稱矩陣； 其特征值均為純虛數，特征向量相互正交。

特征值為純虛數證明如下：

與對稱矩陣特征值為實數證明類似，，，，

兩邊轉置得，兩邊同時乘 x 得，

對兩邊同時乘得，

對比與得，

由于特征向量不為零，有，故特征值為純虛數；

特征向量相互正交證明如下：

對稱矩陣特征向量相互正交證明類似，假設有兩特征向量滿足，，

要證明兩向量正交，需要構造表達式，通過矩陣 A 可建立如下聯系：

，，

由特征值不為零得，故特征向量相互正交；

4 Skew Hermittan 矩陣

當矩陣中元素包含復數時，如果，，該矩陣為 Skew Hermittan 矩陣。其特征值為純虛數，特征向量正交。

由得為純虛數，表示向量模長的平方，為實數，

在 Hermittan 矩陣中，故特征值為純虛數；

假設有兩特征向量滿足，，

，，

由特征值不為零得 ，故特征向量相互正交；

5 酉矩陣（正交矩陣）

如果矩陣 A 中每列向量相互正交且為單位長度，如果矩陣中各元素均為實數時為正交矩陣，如果矩陣中存在復數為酉矩陣；

酉矩陣與正交矩陣性質基本一致，其證明過程也基本一致，下面給出酉矩陣性質及證明：

1）酉矩陣不改變向量點積與長度；

，

；

2）酉矩陣特征值絕對值為 1；

，由于性質 1），；

3）酉矩陣特征向量正交；

假設，，

，

由于，且為不同特征值，因此，故，特征向量正交；

參考資料Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang

總結

以上是生活随笔為你收集整理的特殊矩阵的特征值与特征向量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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