运筹帷幄——我国古代的高超算术
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說到算籌，想必很少有人聽聞。雖然史上國外（日本、印度、巴基斯坦等）也有過這塊腰椎間盤，但還是要數中國的最突出。
圖片來自網絡先感性認識一下
算籌最早出現于商周，在算盤被發明之前，堪稱世界上最先進的計算工具。你可能沒聽說過，但「運籌帷幄」、「觥籌交錯」這些朗朗上口的成語皆出于此。而這所謂先進的計算工具，竟是一根根小小的棍子（長約十幾厘米）。棍子的材料多樣，竹子、木頭、象牙、獸骨、金屬、玉器應有盡有，凡能削成棍狀的東西皆可為之。當然我們現今所能看到的算籌，多是耐腐蝕材質的。
戰國骨籌（圖片來自http://www.cnr.cn/sxpd/jd/20170720/t20170720_523860563.shtml#3） 戰國銅籌（圖片來自http://bbs.chcoin.com/show-6865738.html?authorid=190510） 西漢鉛籌（圖片來自http://blog.sina.com.cn/s/blog_4551bbe8010105vv.html） 西漢牙籌（截圖來自《如果國寶會說話 第二季》第20集）像我們隨身攜帶手機一樣，懂數學的古人通常會隨身佩戴絲布制成的算袋，里頭放著一把算籌。走在路上碰到欠債不還的，一言不合就能掏出來跟他算賬……
圖片來自網絡傳說秦始皇也經常佩帶絲質的算袋。一次東游，他把算袋扔進了海里，變化成烏賊，因此烏賊也有算袋魚之稱。
到了唐朝，更有法律規定文武百官必須佩帶算袋。可見在彼時，算籌不單單是一種計算工具，更是文化和身份的象征。
算籌示數
史上第一本記述算籌的專著是一千五百年前的《孫子算經》，作者不詳（跟孫武孫臏沒有半毛錢關系）。
算籌用紅棍表示正數，黑棍表示負數，有縱橫兩種「布棍」模式，縱式用豎棍表示1、橫棍表示5，橫式反之：
| 縱式 | |||||||||
| 橫式 |
| 縱式 | |||||||||
| 橫式 |
0比較特殊，用留空表示。
對于不同的數位，縱式、橫式是相間使用的，《孫子算經》如是描述：
凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。
個位上的數字用縱式，十位上的用橫式，百位上再用縱式，千位再用橫式，以此類推。這樣奇怪的做法是考慮到0的存在，比如2018：
| 橫式 | 縱式 | 橫式 | 縱式 |
畫了表格，才凸顯出0的空位。但在實際使用中，尤其在書寫（謄抄算法）時，空位很容易被忽略，有了縱橫交錯的做法，即使沒有空位，2和1挨在一起，也不會把2018當成218。
當然這也存在一個問題，比如20018就有被當成218的可能。人們會在「布籌」的計算板上（counting board）劃好棋盤一樣的表格，或者用圍棋子來表示0，以避免這個問題。在書寫方面，則引入了圓圈符號——〇。即便如此，縱橫交錯的形式還是作為經典被始終沿用。
籌算
使用算籌的方法叫籌算，兩個字顛倒一下，好比牙刷的使用叫刷牙，不得不感慨中文的博大精深。由于人在閱讀時會無意識地忽略文字順序，所以下文所提「算籌」、「籌算」還請細細分清。
籌算的能力強大，除了最基本的加減乘除，還能進行乘方和開方，納尼！乘方？開方？！是的，你沒有看錯，而且遠不止這些，籌算甚至能解線性方程（組）、求最大公約數和最小公倍數、解同余式組、造高階查分表等等，其所用到的負數、小數、分數等較為抽象的數字概念，比西方早出一百年甚至好幾百年。
公元480年左右，南北朝數學家祖沖之使用籌算將圓周率精確到小數點后7位（3.1415926~3.1415927之間），這一精度領先世界近千年，直到15世紀初才被打破。這一計算涉及包括開方在內的130次運算，放到今天，如果不用電子計算設備給你一沓草稿紙，恐怕也很難算準。
除了圓周率，著名的秦九韶算法、剩余定理等高超的古代數學成就，都是靠籌算得到的。
其實算籌本身僅僅提供了一種用棍子表示數字的「書寫」形式，能做如此復雜的計算，得益于古人一代代智慧積累下來的算法口訣，包括沿用至今的九九乘法表。計算過程和現在的「列豎式」十分相似：
6561 ÷ 9（圖片來自維基「Sunzi Suanjing」詞條，請無視它為什么不是紅色……）也許你會覺得，籌算雖然強大，但小木棍的擺放好像并不方便。確實需要進行許多機械式的重復步驟，但可謂孰能生巧，厲害的籌算者有著相當可觀的計算速度，沈括在《夢溪筆談》中描述某壞男人淮南人：
運籌如飛，人眼不能逐。
不知是否有夸張的成分，但參考現在嫻熟的算盤手，基本也能想象其景。
算籌的不足
籌算雖然強大，然而作為一種質樸的計算工具，終有捉襟見肘的時候。同現今計算機軟硬件的相互促進一樣，諸多算法為適應籌算模式而生，而算籌本身卻漸漸對復雜的算法力不從心——譬如重因法、身外加減法、求一法，聽都沒聽說過，靠一堆小棍棍已經難以應對。加之，籌算時所用算籌數量龐大，表示單個數就可能用到5根，數字越多越繁亂，三國時期魏國人管輅的《管氏地理指蒙》一書甚至以籌喻亂：
形如投算，憂愁紊亂。
而且起初的算籌長約14厘米，擺個6就要占200平方厘米，可以想象，做稍微復雜一點的運算時得放多大一塊面積。即使到宋元間改良至1~3寸（3~10cm），面對大計算量的問題依然不好使。宋代馬永卿《懶真子》一書就有言：
卜者出算子約百余，布地上，幾長丈余。
解道數學題要鋪滿整個客廳，還得滿地爬，不僅是腦力活，更是體力活，搞不好還容易閃著腰啊……
算籌，終被算盤取代。
蘇州碼子
蘇州碼子，也叫草碼，花碼、菁仔碼、番仔碼、商碼，是我國在阿拉伯數字傳來之前廣泛使用的一種數字形式，是唯一一種現存的書面算籌變種，在港澳街市、舊式餐廳、中藥房仍有一點碰到的小概率。
| 〡 | 〢 | 〣 | 〤 | 〥 | 〦 | 〧 | 〨 | 〩 |
你們見過嗎？我是可惜沒有見過。
有了這條冷知識，以后出門一定得好好留意，指不定走進哪家餐館，看到的價目表是醬紫的：
圖片來自維基「Suzhou numerals」詞條正當小伙伴們眾臉懵逼之時，你一頓瀟灑解讀，甭提多有面子！
參考文獻
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- 佚名. 孫子算經[M].
- 逸之. 01改變世界：沒有計算器的日子怎么過——手動時期的計算工具[EB/OL].
- Wikipedia. Sunzi Suanjing[EB/OL].
- Wikipedia. Suzhou numerals[EB/OL].
- 百度百科. 蘇州碼子[EB/OL].
總結
以上是生活随笔為你收集整理的运筹帷幄——我国古代的高超算术的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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