開關電源補償環路設計（1）：基礎部分-以Buck 為例

前提說明：這些內容本質上是對相關書籍的整理

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一：buck變換器建模

buck變換器是最簡單而經典的開關電源拓撲之一，其詳細組成可見圖1。

圖1-1 buck變換器詳細補償環路圖 圖1-2 buck變換器補償環路簡圖 圖1

? 由圖1可知buck變換器可分為多個模塊，各個模塊的定義見下表1

表1 模塊符號具體含義

$K_{FB}$	反饋電阻分壓器，用于獲取輸出電壓
$K_{EA}$	帶有頻率補償的誤差放大器
$K_{PWM}$	脈寬調制增益
$K_{LC}$	輸出濾波器增益

? 其實$K_{FB}$是一個直流縮放因子（電阻分壓器），如果必需考慮其非理想等效模式（LRC模型）則將其作為$K_{EA}$的一部分。
? 如圖2所示為整個穩壓調節器的反饋框圖。

圖2

顯然，現在可以將整個傳遞函數寫成式(1)∶
$$T_V\left(s\right)=\frac{V_{OUT}}{V_{REF}}=K_{FB}\times K_{EA}\left(s\right)\times K_{PWM}\left(s\right)\times K_{LC}\left(s\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中$K_{EA}\left(s\right)$和$K_{LC}\left(s\right)$對頻率敏感，其中$s$為拉普拉斯算子，總體傳遞函數是與頻率相關的。這樣允許在頻域中將分量轉換成阻抗。同時$K_{PWM}$的開關周期為獨立設定，而$K_{FB}$為比例方法。

1.1 反饋網絡增益$K_{FB}$

? 反饋網絡增益$K_{FB}$模塊決定了參考電壓和輸出電壓之間的比例關系。通常來說，我們希望這種關系是一個固定的值。因此，通常只用一個電阻分壓器來實現，我們唯一關心的是它的 比例DC值。
? 無論$V_{OUT}$如何變化，迫使反饋點（求和點）維持在參考值。在反饋點沒有電壓變化的情況下，通過分壓器下端電阻的電流無變化，站在頻率的角度其有效數值為無限大。而在分壓器中，最重要的是上端電阻，因為除了輸出電壓檢測之外，它的阻抗將成為補償網絡的一部分。

1.2 脈寬調制增益$K_{PWM}$

? 將PWM級定義為電路的一部分，基于誤差放大器$V_C$的模擬輸出電壓調節開關管的占空比$D$，功率開關管在節點$SW$處開關啟閉。其工作波形如圖3所示，其占空比為$\frac{V_C}{V_P}$。

圖3

對于 Buck 拓撲而言，有∶

$$\begin{gathered} d=\frac{t_{on}}{T}=\frac{V_c}{V_p}=\frac{V_O}{V_{IN}} \\ \text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

故可以把模塊的傳遞函數重新寫成∶
$$K_{PWM}=\frac{t_{SW(ave)}}{V_C}=d\times \frac{V_{IN}}{V_C}=\frac{V_C\times V_{IN}}{V_p\times V_C}=\frac{V_{IN}}{V_P}$$
這便得到了一個很有意思的結果，即對于一個給定的$V_{IN}$和給定的$V_P$，該級增益為一固定常數。

1.3 輸出濾波器增益$K_{LC}(s)$

? 輸出濾波器的作用是將開關管波形轉換為輸出端的直流電壓$V_{OUT}$，本質上來說這是一個分壓網絡，由電感$L_s$、電容$\frac{1}{C_s}$以及負載阻抗$R_s$并聯組成，如圖4所示。本質上是一個串聯電感和并聯電容的“輸出濾波+分壓”。

?

圖4

通過基爾霍夫定律，我們可以這個L-C濾波器的$K_{LC}(s)$增益為∶
$$\frac{V_O\left(s\right)}{V_I\left(s\right)}=\frac{\frac{R}{\frac{1}{C_S}}}{\frac{R}{\frac{1}{C_s+L_s}}}=\frac{\frac{1}{LC}}{S^2+\frac{s}{RC}+\frac{1}{LC}}=\frac{\frac{1}{LC}}{(s?p_1)(s?p_2)}$$

? 其中$p_1$和$p_2$是這個二階系統的兩個極點，它們是通過將增益方程的分母設置為零并求解根得到（分子的根將成為零點，但是這個方程中沒有零點，接下來會談到更多的關于零極點的內容）。
? 通過這個方程的數值解，我們將會得到增益的幅度和相位，它們都是頻率的函數。因為極點和零點以特定的方式起作用，可以通過圖形化方法來獲得足夠的信息，即相對于對數頻率坐標，根據增益（dB增益對數的20倍）和相位（度）作圖，這稱之為波特圖，它可以很容易地可視化顯示出系統穩定特性。
? 求解上面的傳遞函數方程，j進而可以繪制出增益曲線，它是頻率的函數，可知，L-C濾波器即存兩個極點，而且已經知道如下情況∶

情況詳情

$f?\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}}$	增益=1，相位=0
$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}}$	增益和相位正處于過渡狀態，在這個頻率點$f_{DP}$,增益為$R\sqrt{\frac{1}{LC}}$，相位=$90^o$
$f?\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}}$	增益為$-\frac{1}{w^{2}LC} $，相位=$180^o$。注意到增

如圖5所示帶負載的$LC$濾波器波特圖（增益和相位曲線），元件參數分別為$L=16uH,C=540uF,R=0.5\Omega ，F_{DP}=2.6KHz$

圖5

1.4 誤差放大器增益$K_{EA}$

? 由之前的系統定義可知，輸出檢測信號接在負反饋的反相端，所以系統具有$180^o$的相移，而輸出濾波器中可能出現另一個180°的相移。因此，該系統在頻率高于輸出濾波器截止頻率的情況下，必然是不穩定的。

? 因此，誤差放大器必須為精確電壓調節提供高增益的同時還要確保在滿足動態響應要求的整個工作頻率范圍內，總相移保持小于$360^o$。這可以通過一個運算放大器（OPA）實現，見圖6。

圖6

? 圖 6中，放大器的總增益$K_{EA}$將為$\frac{Z_{FB}}{Z_{IN}}$，當$K_{EA}=\frac{Z_{FB}}{Z_{IN}}$為直流情況時，有$180^o$的相位偏移。這些阻抗是與頻率相關的，它們的任何變化將導致增益和相位發生變化。因為降低$Z_{IN}$的阻抗將會增加總增益，而降低$Z_{FB}$阻抗將降低總增益。通常來說，我們通過電阻和電容的串并聯組合來改變阻抗。更具體地說，利用電容的頻率特性，R和C的并聯網絡，在低頻時具有以R值開始的阻抗，即以電阻特性為主。然后，在截止頻率$f_C$處，電容的阻抗開始作用，隨著頻率的進一步增加，并聯阻抗以$?20dB/$十倍頻程（$?6dB/$倍頻程）的斜率下降。在相同的頻率范圍內，相移從低頻處的$0^o$變為在截止頻率處的$?90^o$。

圖7

? 在圖7的波特圖上可以很容易地看到這些特性。電阻和電容的串聯網絡阻抗具有類似但相反的特性。它在直流時阻抗為無窮大，隨著頻率增加以$?20dB/$十倍頻程（$?6dB/$倍頻程）的斜率下降。直到達到截止頻率$f_c$，在此之后的頻段上，阻抗變得平坦并固定為值$R$。相位也具有與$R?C$串聯網絡相反的特性，從低頻開始于$?90^o$。并且在劇過截止順率后上升到$0^o$。
? 使用波特圖來繪制增益（用dB表達）和相位（相對于頻率的對數）曲線的優點是很明顯的。雖然理論實際曲線是連續的，但可以用直線來逼近它們，其中增益斜率的變化正好在$f_c$處出現，而相移開始于大約$0.1f_c$處，在$f_c$處為45°，并且在$10\times f_c$處結束。

? 另外，截止頻率$f_c$出現在$R$和$C$的阻抗相等的地方，即為$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$。上圖中的實線和虛線分別為實際曲線和直線逼近線，在絕大多數分析中，因為這個誤差足夠小，所以這種近似方法是可行的。
? 如果將這些$R?C$組合應用到運算放大器中，有許多不同的組合，它們對增益和相位的改變效果是不同的∶

串并聯情況效果

$Z_{IN}$為$R?C$串聯	這會增加一個極點（產生-90°相移），并且增益減少
$Z_{IN}$為$R?C$并聯	這會增加一個零點（產生+90°相移），并且增益增加
$Z_{FB}$為$R?C$串聯	這會增加一個零點（產生+90°相移），并且增益減少
$Z_{FB}$為$R?C$并聯	這會增加一個極點（產生-90°相移），并且增益減少

總體來說，一個零點會導致+90°相移，并增益增加，而一個極點會導致-90°相移，并增益降低

1.5 穩定性的相關考慮

現在可以將總的回路增益方程寫為∶
$$H(s)G(s)=K_{EA}\times K_{PWM}\times \frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{s}{RC}+\frac{1}{RC}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

由式3可知關于環路穩定性：

序號詳細說明

1	已經不用再考慮$K_{FB}$的作用，因為這一項只影響系統直流工作點
2	總增益將與直流占空比無關，但與直流輸入電壓相關
3	分母中存在R，如果R=0即空載時表示系統會不穩定，但實際上電路，將首先進入DCM工作。在這種情況下，這個二階系統本質上（退化為）是一階的，所以這時小信號分析不再適用
4	我們已經將$H(s)\times G(s)$假定簡化為正數，但負反饋隱含地給出相位變化為 180°，因此，在任何增益大于1的情況下，系統可能出現不穩定

關于系統穩定性有兩個重要的定義∶

序號詳細說明

增益裕量	系統單位增益（零分貝）與相位180°時的增益之差它是一個負數，工程上推薦值為-6dB 到-12dB
相位裕量	系統單位增益所對應的實際相位與-180°的差。工程上建議值在 45°到60°之間

上述兩個定義隱含了這樣一個結論∶如果增益曲線與$0dB$軸相交的
斜率不大于-20dB/十倍頻程（-6dB/倍頻程）。即增益曲線在$0dB$軸時的穿越斜率小于-2，則相位裕度會大于45°，系統將會穩定。

1.6 誤差放大器的補償

雖然使用運算放大器補償來更改系統增益和相位有許多可能性，但是實際經驗告訴我們，使用三種基本補償電路就幾乎能夠滿足所有的實際應用。由于只有三個，工程上它們已經被稱為I型，Ⅱ型和Ⅲ型補償網絡，圖8中分別繪制了伯德圖。

圖8

? 圖8最常見的三種補償電路，以及簡化的增益特性（直線逼近曲線）
? 上述增益曲線圖都是由補償器中的零極點決定的，它們的值（決定了特征頻率的位置）是相對于輸出濾波器電感和電容的值而言的（包括輸出電容的ESR)。

1.6.1Ⅰ型補償

I型的補償無疑是最簡單的，利用一個單極點，將總增益降低到1以下，其頻率遠低于任何其他電路元件影響的頻率。具體而言，設定頻率$\frac{1}{2\pi R_1{C}_1}$，使得在小于$0.1f_{DP}$頻率（輸出濾波器截止頻率的$\frac{1}{10}$）時，總增益會小于0dB。
當然，這使得對任何輸入或負載的突變響應變得非常緩慢，在實際中很多電路并不適用。然而，有一種場合I型補償很合適∶當一個全新的樣機第一次上電時，人為迫使其無條件地穩定。這樣可以評估和優化預期設計的所有靜態特性，以便在穩定的大信號工作情況下完成最終的補償設計。

1.6.2 Ⅱ型補償

? 這個補償電路在低頻下和Ⅰ型補償一樣，在低頻時同樣以單極點開始，但是在環路增益仍為正值的情況下，首先通過引入一個零點來消除輸出濾波器的其中一個極點，然后在較高的頻率再引入一個極點將增益降低到0dB以下
? 通常，這仍不足以穩定大多數電壓模式控制的系統，因為在具有正增益的情況下，初始極點和剩余的輸出濾波器極點相位總和將達到180°，這會導致系統
不穩定。
然而，Ⅱ型補償非常適合電流模式控制電路，因為其輸出濾波器在截止頻率以內只有一個極點，同樣在 DCM控制的設計中，由于系統是一階的，Ⅱ型補償也很適合。在這些情況下，環路帶寬通常可以比使用電壓模式控制的帶寬高得多。

1.6.3 Ⅲ型補償

? Ⅲ型補償，相對于前二者補償來說顯然要復雜得多，但是通過在兩個濾波器極點頻率處或附近引入兩個零點，可以解決輸出濾波器雙極點問題。利用具有增益上升和+90°相移的零點來抵消具有增益下降和-90°相移的極點。
? 我們將這些零點放置在需要相位提升的地方，使得有用的增益顯著擴展到超過輸出濾波器的滾降點，但是仍然要在更高的頻率處再增加兩個極點使增益最終減至小于單位增益。需要注意的是，當一對零點（或極點）的位置是很接近的時候，由補償網絡的電容，而不是電阻來決定它們之間的增益。

總結

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