相对论通俗演义
相對論通俗演義（1-10）
北京師范大學引力組?? 張軒中 ?
第一章 早期的英雄時代?
（1）?
歷史是淹沒在荒煙蔓草間的，當后人回頭看歷史的時候，尤其能看到一些神話和英雄史詩，雖然模糊不清，但讓你感覺到心潮澎湃。相對論一直是地球上最美麗的學問。這一門學問是愛因斯坦創立的。它最根本的看法，是研究我們的宇宙，因為宇宙只有一個，而我們身處其中，于是，很多人難免擔心，我們做為宇宙的一部分，能不能認識宇宙。正如你的一個手掌，能不能認識你這個人。這個問題是玄妙的，中國古代的莊子和屈原等人也思考過這樣的問題，他們有一個很模糊不清的認識，原因是因為他們沒有具備一些數學描述。
宇宙洪荒，是很玄很妙。問題的關鍵在于如何認識它，很多人的思想在這里匯集。尤其是蘇東破的一句詩，被認為可以體現一種思想情操。?
他說：不識廬山真面目，只緣身在此山中。?
蘇先生是一個很大的才子，他的這個詩本身是具有哲理性的。當我們把他運用到這個宇宙的時候，我們就會反躬自問：是否，我們處在宇宙之中，所以，我們無法認識宇宙的真面目。這個問題本身沒有唯一的答案，從愛因斯坦說法上，我們可以看到一個自然科學家的態度。?
愛因斯坦說：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。
可知論和不可知這兩種論調是人類個體的分水嶺。但這樣分界是不明顯的，很多人從來沒有問過自己，自己到底屬于可知論者還是不可知論者。很多時候，這樣的分類也是缺乏意義的。但，一個事實永遠存在，就是一定有很多人，對未知事物充滿好奇之心。
（2）?
我們仰望星空，俯仰天地。態度決定一切。在認識宇宙，或者說，認識未知世界的道路上，尸橫遍地。數學家們，相對于其他的一批人，以其特有的執著和特立獨行，來給這個宇宙造一個描述的工具。并且，這個工具是最基本的。數學比繪畫和音樂要更加基本。繪畫和音樂，描述世界，但依賴于眼睛和耳朵。而數學，有一個最基本的依賴，它依賴于大腦。有理由相信的一點，是我們地球文明之外的文明，他們那些智慧生物可以沒有眼睛，沒有耳朵，但他們不能沒有大腦。?
畢達哥拉斯是一個杰出的古代數學家，他認為，世界的本質是數。?
他的說法聽起來好象是有點夸張了，但初衷是善良的，不是說他要故意壓迫那些非數學家。2，3，5，7……這些的數字，我們稱為素數，它們是基本的。人類要向外太空發射信息，尋找其他的文明，一個方法就是朝天空發射“素數”。因為，宇宙的各個角落，要是也有文明的外星人，他們收到這樣的信號，會歡欣鼓舞，因為這無疑給他們一個預示。?
預示在這個蒼涼的宇宙，他們并不孤獨。
數是基本的，但廣義相對論卻更多地和幾何學發生了關系，這一點在后面的篇幅中再逐漸展開。當然，有一位得Fields獎的數學家道格拉斯曾經說過：“我的切身體會是，幾何學家是好人?！彼脑捓锩嬗袦厍槊}脈的情感因素，但修正他的話，我們會發現是這樣：“我的切身體會是，數學家是好人?！?
是的，數學是仰望宇宙的透鏡。?
在古代的數學家中，有一個人，他讓我們知道，寄生在這世上是那么好，這個人的名字是歐幾里得。
（3）?
歐幾里得寫的一本眾所周知的書，叫《幾何原理》。這至少是2000年前的事情了。但中國人看到這書的時候，是在明朝的徐光啟時代。也就是說，中間有至少1200年的時間差距。我不想查書用來精確表示這些年代差異，是因為我不是搞歷史的，也不想過于在一些瑣碎的事情上精密無比。?
《幾何原理》里有五條公理。雖然一般人說不全，但第五條說所有平行直線永不相交。這一條大家全知道，被叫做第五公設。也就是說，有的人認為，這一條，不能做為一個公理，因為它可能可以被其他公理推出來。?
《幾何原理》好象是一個大廈，它有五個巨大的石頭做為地基。但第五塊石頭，有的人認為，有問題。
愛因斯坦的相對論，與第五公設這個問題休戚相關。當然，我不預備在這里做任何數學的證明，通俗的演義往往與數學相隔遙遠，我們引用愛丁頓的話：證明是一個偶像，數學家在這個偶像面前折磨自己。?
第五公設折磨了一代又一代的人?，F在看來，這個折磨已經結束，但其意義非常深刻。歐幾里德的幾何學，是關于平坦空間的幾何學。而真正廣泛的幾何學，它不僅僅要處理平坦空間里的情景。Riemann是研究彎曲空間幾何學的大師。他死的時候才39歲，但他活著的時候一直很優秀，1854年，他為了在哥廷根大學獲得一個講師的職位，發表了一個關于幾何學的演講，演講的題目是《論幾何學的基礎》，這次講演是開天辟地的一個壯舉。下面的聽眾很多，但據說，幾乎沒有人能夠聽懂，頻頻點頭表示贊同人只有一個人，是一個老頭，名字叫Gauss。?
這個故事發生在Riemann為了得到講師職位的時候，有的人可能會覺得很奇怪，為什么一個講師講的東西在那大學里別的教授全聽不懂。這樣的現狀是存在的，并且是不能避免的，只說明Riemann實在是太有才華了。一般地，在一所很好的大學，無論是古代還是近代，都可能有這樣的感受：?
博導不如教授，教授不如副教授，副教授不如講師。?
這是正常的好大學必須的。我們知道，在當時，Riemann講師是最偉大的，他后來的貢獻繁多，以其在微分幾何和復分析里的偉大建樹影響歷史，現在的Riemann猜想還在領導數學的潮流，在物理學里，Riemann的級數在量子場論中經常出現，在相對論中，研究casimir效應，也要用到。?
Riemann幾何的出現，給愛因斯坦的引力理論，提供了一個先天的數學工具。歷史表明，數學物理在這個時候，達到了一個全新的高度。
（4）?
今月也曾照古人。這是李白說的?？吹皆铝?#xff0c;很多人有一些基本的問題，比如說，1640年左右，也就是中國的吳三桂引著清兵進入山海關的時代。英國的cambridge大學有一個叫牛頓的人，他解決了一個問題，按照現代語言來說，是牛頓發現了萬有引力定律，從而解釋了為什么月球在天空繞地球天馬行空地周期轉動。牛頓發現萬有引力定理以后，我們才真正看到了物理。而相對論，就是研究萬有引力的。
牛頓是懷著格物知理理想的數學物理大家。牛頓和愛因斯坦是人類歷史上科學巨匠。但牛頓本身，相比愛因斯坦，具有一種由內而外的霸王氣概。他的工作顯然是劃時代的，其情操，也是劃時代的。在歷史上，他與萊布尼姿和胡克等人有過交惡。同時代的那些偉人在他面前，幾乎全掉了顏色。我們只能由衷得嘆上一句：到底是牛頓！
在人品上，牛頓不算是一個謙恭之人。一個人持才傲物，藐視同倫，普通人是做不到了。牛頓的萬有引力定律，僅這一項，就足夠他鶴立雞群了。何況牛頓有那么多大的發現。蓋棺論定得說，牛頓其人，500年不朽，牛頓其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。
（5）
物理學也有最初的童稚時代，比牛頓要早，是哥白尼的出現，后者寫了一本書，書名叫《天體運行論》，出版是1543年，出版的時候，作者已經快死了，原因是因為這本書是一本很反動的書，著者選擇在臨死之前出版它，是一種對自己負責的態度。這本書主要說了一個事情，就是地球是繞著太陽轉動的。這個是天文學和物理學上的第一個有實際意義的進展，早于康德和拉普拉斯的星云說時代?？档率且粋€德國的哲學家，一輩子沒有出過一個叫哥尼斯堡的小鎮，但其了解天下事，康德說，只有兩件事情可以震撼我的心靈，一是人類的道德情操，一是我們頭頂的星空。可見康德多少對星空有點研究，他可能認為地球上的一切，全來自星云的演化，這是一個比生物進化論更強大的進化的觀點。拉普拉斯是19世紀的法國人，在拿破侖的宮廷干過行政。國王拿破侖是一個數學愛好者，他曾經有一個拿破侖定理，是很有點意思的。定理說，任何一個三角形，各邊上各作等邊三角形，接下來將這三個三角形的重心聯結起來，那么就必定是一個等邊三角形。當然拉普拉斯的數學才能，遠過于拿破侖。拉普拉斯微分算子，這個微分算子的背后是一片汪洋大海，這個算子描述定態的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往會在三角形區域解拉普拉斯方程。這個拉普拉斯微分算子可以被開方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林，因為dirac是20世紀最偉大的物理學家，他和薛定格一起得到1932年的諾貝爾獎金，薛定格說：“我們得獎的時候，dirac還非常年輕，我是帶著我老婆去領獎的，但dirac是帶著他媽媽去的”。由此可見，dirac是一個非常年輕有成績的物理學家。是他走出了把狹義相對論和量子力學結合起來考慮的道路。關于這些算子理論，極大地推動了數學的發展。也是從算子的譜開始，我們從連續的數學分析走向離散的特征值問題的研究。而離散的性質，恰恰是量子力學的精髓之一。
回頭來看哥白尼的工作。他的工作說明，人類第一個較明智的科學看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太陽和地球的關系。這是一個很務實的進步。就是在現代，雖然有精確宇宙學這樣的學問，研究宇宙如何膨脹，如何加速膨脹，但前路漫漫，讓不專門從事理論物理的人瞠目結舌地懷疑，是否目標過于龐大，你們居然研究整個宇宙，把星系當做塵埃？
相對論學家似乎存在一個情節，那算是一個單純信仰，他們認為，世界可以被還原為一個單一的原理。而凝聚態物理和統計說明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人類的存在，人類的情感和思維，不是物理學的單一原理可以解釋的。統計性和自組織性的出現，使得在相對論學家的眼睛里，這個世界變的高深莫測了。?
無論如何，相對論還是一如既往地奢侈和不切實際，因為，它是預備去理解宇宙。
（6）?
20世紀之前的所有年代，相對論還沒有誕生，我統稱它們為“英雄時代”。在這個漫長的時代里，有無數的數學物理兩門學科里的英雄人物，這批人中的杰出代表是牛頓。這個時代是一個古典為主的時代。而廣義相對論的出現，是這個古典時代的結束。廣義相對論是“經典的極致”。在字典里，“經典”應該有兩個意思，一個是古代的，古典的；另外一個就是優美的，美到可以寫進歷史之書。這樣的美是很少見的，往往在平面幾何里你偶然能感受到這樣的震撼心靈的美。?
在極早期，托勒密認為太陽繞地球轉動。他認為太陽繞地球轉動，現在看來，也算是沒有錯誤。為什么？因為，機械運動是相對的。誰動誰不動，在牛頓的眼睛里是“相對的”。所以說，按照牛頓的看法，描述地日運動，托勒密的思想是沒有問題的，雖然它可能導致一系列不優美的結論，比如導致木星也繞地球轉動，那么我們這個太陽系看上去還真是亂糟糟的，一點也不優美了。但托勒密在平面幾何里關于圓的內接四邊形的一個定理，是天籟之聲。這個定理是美的。這樣的數學之美，與同時代的屈原對香草美人的美來比較，我們看到一點西方的數學邏輯的輝芒。
dirac和愛因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相對論，恰恰給我們展現了一個數學邏輯上的美感。?
這個美，引得無數英雄競折腰。?
是的，我們全是一群在朝圣路上踽踽獨行之人。?
壯美矣！愛因斯坦！！
第二章 一個美麗的橢圓
（1）
1543年，哥白尼關于日心說的工作之后，丹麥的天文學家第谷不太同意哥白尼的觀點。他出生貴族，是一個有錢來做天文觀測的人士。據說第谷年輕的時候與人斗毆，被砍掉半個鼻子，所以他后來有半個金鼻子，長相顯得非常怪異。他開始夜觀天象，并且整理了一套看上去雜亂無章的數據。這套數據，最后保留著給了他的助手，一個叫開普勒的人，但第谷的本意，好象是想把這些數據傳給自己的女婿的。開普勒一生生活是相當潦倒的，最后還死在討債途中，那是在1630年，他幾個月領不到薪水，經濟困難，不得不親自前往雷根斯堡的基金會索取，在那里他突發高燒，幾天后在貧病交困中去世。他去世的時候，覺得自己非常對不起自己的老婆孩子，因為他把自己的一生精力，全花在研究天文學和寫書出版之上了。他在出版書的時候，據說，第谷的女婿還給他寫了一個序文，這個序文有一個特點，是通篇大罵開普勒剽竊第谷的成就。這樣子的書是很奇異的。?
但開普勒的幾本書《新天文學》和《宇宙和諧》先后給出了3個行星運動定理。第一個定理是很重要的，認為行星運動的軌道是一個橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點之上。他實際上沒有想到，未來會表明，一個封閉的橢圓是一件過于唯美之事，因為根據愛因斯坦的相對論，軌道會有進動，我們不能得到一個封閉的橢圓。第二個定理異常強大，他幾乎用肉眼看出角動量守恒定理，說的是行星矢徑在單位時間掃過的面積相同。第三個定理，似乎絕對是上帝的旨意，要從一組數的三次方和另外一組數的平方中看到不變量，依靠一般凡人的眼睛，往往不夠，這個定理說的是行星運動周期的平方和軌道半徑的立方成正比。?
這三個定理，迫使牛頓得到萬有引力定律。萬有引力的出世，其實來自于開普勒對數據的千萬次摸排。開普勒的視力不好，相比第谷，他顯然不擅長天文觀測，但他的確具備從復雜數據中提煉出物理規律的神奇能力。這往往是一種從天上看到人間的天賦異稟。
他的行星運動第一個定理里，開始出現一個完美的橢圓。
(2)?
一般說來，一個橢圓是封閉的，這樣的對稱性背后，包含著守恒的物理量。由對稱性導致守恒量，是偉大的德國女數學家Noether的思想，數學家外爾曾經這樣開玩笑：“女數學家有兩種，一種不是女的，一種不是數學家”?，沒有問題，Noether肯定是一個數學家，她一輩子沒有結婚，把全部精力投身給了近世代數。某個時候CN.yang認為，Noether的這個原理是最基本的，于是，國內講力學的教材開始了一次改革，改革的結果是從對稱性開始講力學。無論怎么樣，對稱性是美的化身。描述對稱性最好的語言是群論。對稱性和守恒量有一一對應的關系，這一點，是深刻的。比如，眾所周知的結論是，空間是均勻的，所以動量守恒。于是，行星運動的軌道是封閉的橢圓，這樣的對稱性導致的守恒量就是龍格—楞次矢量。
什么是橢圓？在數學上，橢圓的定義是在平面上到兩個定點之間的距離之和等于定長的點所組成的集合。這個是很清楚的，一般高中生就要學會怎么樣畫一個橢圓。這是解析幾何里的事情。在Fermat和笛卡兒的解析幾何里，人們換了一個看法，那就是把一個曲線與一個代數方程等同起來，這樣的想法把代數和幾何結合起來，這樣的結合是思想的奇葩，包括后來在物理中經常運用的所謂su（2）李群，從代數的角度去看一下，就可以知道它其實就是一個3維球面。解析幾何的一個很直觀的推廣是能不能把一個n維流形嵌入到高維歐空間，然后再把這個流形表達成為一個或者一組代數方程。這樣事情Nash等人做過了。?
解析幾何帶來的一個全新的數學時代。只有當橢圓被放在坐標系里的時候，才可以遇見另外的問題，那就是如何計算橢圓的周長。這個時候，完美的橢圓似乎突然讓人迷惘。因為，圓的周長是很簡單的，上過學的人全會算，而橢圓周長，上過學的一般不會算。
（3）?
計算橢圓周長的問題也難住了牛頓。雖然用牛頓的萬有引力定律，可以得到橢圓軌道。但仔細地研究這個橢圓的來歷，有一些需要推敲的地方。在經典的力學里，Bertrand定理說，只有當中心勢是庫侖勢或者諧振子勢的時候，軌道才是封閉的。這個定理是重要的，因為它否認了其他勢場里存在封閉軌道的可能性，哪怕是對庫侖勢的微小偏離。所以，當愛因斯坦的廣義相對論對萬有引力的庫侖勢做修正的時候，在理論上，這個完美的橢圓崩潰了。
離太陽最近的行星是水星，那兒的萬有引力場強最大，廣義相對論的修正最明顯，之前人們已經觀測到水星近日點存在進動，也就是說，人們開始注意水星的公轉軌道是不是一個封閉的橢圓，但沒有人可以解釋這到底是為什么。既然軌道不是橢圓，我們就知道，水星與太陽之間的萬有引力勢場不是嚴格的庫侖勢。這似乎應該意味著一個曙光的黎明，相對論雖然比較難以理解，但在這個橢圓封閉性問題上，結論是很清楚了。原來，牛頓的萬有引力定律，那樣美的一個定律，在引力比較強的時候，也是不對的。
愛因斯坦的廣義相對論解釋了水星近日點的進動，這是對廣義相對論的三大驗證之一。1919年的時候，英國天文學家愛丁頓利用日全食的機會，他領導下的實驗證明了光線偏折的規律也符合廣義相對論的預言，這個實驗是著名的，因為他極大地支持了愛因斯坦的理論。當時也就是第一次世界大戰，德國和英國是敵對國，所以這個實驗的成功的時候，大眾的眼球被吸引了，報紙的頭版是這樣的：英國科學家支持了德國科學家的理論。當愛丁頓做出這個實驗的時候，他的心情很可能比愛因斯坦更加激動。有一個說法是他認為自己和愛因斯坦是當時唯一懂得廣義相對論的兩個人。而當記者問愛因斯坦說，當您的理論被實驗證明是正確的時候，您怎么想？愛因斯坦的回答說：沒有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信還會出現別的結果。
（4）?
雖然1919年，牛頓理論已經被實驗證明應該被愛因斯坦的廣義相對論所取代，但牛頓依然是繞不過去的存在。拿牛頓萬有引力定律和庫侖定律來比，雖然有點抬舉庫侖，但馬上會發現牛頓的意義有很多。牛頓的萬有引力定律，實際上告訴人們，質量總是正的，也就是萬有引力總是相互吸引，這樣的話，宇宙似乎不能跟一個孕婦一樣，不由自主地膨脹。但目前觀測到的宇宙，它居然在膨脹，并且還是加速膨脹。對于宇宙的加速膨脹，這里只是暫時提起。但這個問題，已經成為了21世紀物理學晴朗的天空里最大的一個烏云，這個烏云似乎要覆蓋整個天穹，讓人分外地不安。情況就是這樣的，物理學家本來以為自己已經快了解了整個宇宙的100%，后來突然被一聲悶雷驚起，一個聲音說，“無知的狂妄，你僅僅了解我的4%”。質量總是正的，可能讓人想起經典廣義相對論中著名的正質量猜想。有的人會想起1980年代witten和ST.yau對該猜想的的證明。?
當然，如何定義質量，在廣義相對論中，也是一個具有不止一個標準答案的問題，在正質量猜想里的是ADM質量。在這里，我們幾乎可以揮別牛頓了。?
有一個叫伏爾泰的法國人，他也曾經研究了一下牛頓的事跡，現在關于牛頓和蘋果落地的這些故事，多數也是出自他的手筆。伏爾泰是一個能力很強的文科圣手，他還勾引了一位公爵的老婆，也許是相互勾引，——后來兩人一起私奔。
1727年牛頓逝世，思想界的巨擘辭世，伏爾泰參加了葬禮。牛頓84歲離開人世，為他抬棺材的是兩位公爵、三位伯爵以及大法官。伏爾泰是這樣描述的："他是像一位深受臣民愛戴的國王一樣被安葬的。在他之前，沒有哪一位科學家享受如此殊榮。在他之后，如此厚葬的也將是屈指可數。"牛頓去世后不久，詩人薄柏總結了世人對牛頓的評價，說：自然規則在黑暗里，上帝說，讓牛頓干吧！于是一切大放光明。
牛頓是一個聰明人，他幾乎能從容應對所有非常的局面，但他不是完人，他在數學上也遇見一些困難。比如他不能求出全部自然數倒數平方之和，也不能積出橢圓的周長。歷史朝后面發展，我們發現，橢圓周長只能用非初等的橢圓積分表達出來。而另人驚奇的是，挪威數學家Abel證明了五次方程沒有代數解答，但有些五次方程的解，可以通過橢圓函數來表出。這說明了數學的各個側面具有統一性的一面。而相對論在經歷了1970年代之后的多年的沉寂以后，面臨著一個引力量子化的命運。在量子引力的理論中，橢圓函數等等，也全面都浮現出來。所以，這個完美的橢圓，告訴我們不少秘密，盯著一個橢圓看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。
第三章 等效原理?
（1）?
1841年，中英鴉片戰爭在進行之中，西方遠遠地領先于中國，22歲的劍橋大學數學系的學生亞當斯根據牛頓萬有引力和天王星運動的軌跡，假想有一顆未知的行星在天空運行。他經過一年的計算，猜測出這顆可能的行星的軌道。1843年10月，他把自己預言的這顆新行星的軌道寄格林威治天文臺臺長。但是，這位天文臺臺長對亞當斯的信不予理會。他嚴重地不相信這個年輕的大學生會在筆尖發現一顆新的行星。
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另一位法國青年天文學家勒維耶也在研究這個問題。他也推測是因為存在一顆未知行星的引力作用，使天王星的軌道運動受到干擾，也就是天文學上所謂的“攝動”影響。他計算出這顆行星的軌道、位置、大小，然后請德國天文學J.G伽勒尋找這顆?
未知的行星。1846年9月23日，伽勒根據勒維耶預言，只花了一個小時，就在離勒維耶預言的位置不到1度的地方，發現了一顆新的行星。后來這個新的行星被命名為海王星。發現海王星的那一年，勒維耶35歲。?
?? 亞當斯和勒維耶所做的工作，類似與同時代的門捷列夫，門捷列夫通過對元素卡片的一次又一次地排列，預言了大量的未知元素。?
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水星也是太陽系的一顆行星，它在近日點時也有類似于天王星的不遵循軌道運動的現象。1855年，勒維耶根據他發現海王星的經驗，預言在水星軌道內有一條行星帶，它影響了水星的運動。這一次，勒維耶失敗了。這一次失敗有點象后來的物理學家泡利，泡利因為根據能量守恒而預言中微子的存在，聲名雀起，但又相信宇稱守恒而預言上帝不是一個左撇子，遭遇失敗。但勒維耶發現海王星，在這之后的確沒有人再懷疑牛頓的萬有引力。但20世紀初的天文觀測發現了水星軌道的異常，這為萬有引力定律掘墓。事實似乎說明，橢圓不能精密描述行星運動。在另外的一個側面，拋物線出場了。在這里談及的曲線還全是空間里的曲線，不是時空中的世界線，世界線是相對論中最基礎的概念之一，大概意思是把一個空間點拉長成為一條線，而Dirac方程在粒子的世界線上引入了超對稱，這樣的看法還為時尚早。
伽利略 (1564 ~?
1642年)，出生于意大利的比薩,他從小就喜歡思考。十七歲時進入比薩大學念醫學。在他的學生時期,他看到吊在教堂圓型天花板的燈的擺動,發現了鐘擺周期只與擺線的長度有關，而與擺角和擺錘的質量無關，這真是一個出人意料的發現，簡直可以作為上帝存在的明證，他的這個發現，大致上就是發現了簡諧振動，簡諧振動是一個二階常微分方程。?
他是那個黑暗時代的先知，同時是英雄時代的偉大導師，聰穎過人，心比天高，這一點可以從他的兩個思想實驗里看出來。這些思想使得牛頓認為自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。?
第一個思想實驗是用來說明自由落體運動的。雖然據說他后來也在比薩斜塔親自做了這個實驗。但他的思想實驗，卻似乎更加可信，甚至不能辯駁。他說：“不考慮空氣阻力，輕的東西將和重的東西同時下落，它們將同時落地。因為假如亞里士多德是對的，重的先落地，而輕的后落地，那么，倘使我在它們兩個之間連一個無質量的剛性細繩，可以想見，總質量大于它們兩個的單獨質量，于是，按照亞里士多德，這個整體將落的更快，但事實上，輕的東西一定會拖重的那個的后腿。于是這就自相矛盾?？梢?#xff0c;亞里士多德是錯誤的，輕的東西和重的一樣，必然需要時刻有相同的速度，它們同時落地?！?/p>
這個思想實驗，使得人們認識了自由落體運動的思想精髓。自由落體成為相對論初期研究的一個專門武器，愛因斯坦據此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642年，同一年牛頓誕生，而其自由落體的思想一直到20世紀初，依然為愛因斯坦所沿用，并且在1907年靈光一現，發現了等效原理。這有一點類似九方皋相馬，普通人往往跟伯樂的兒子一樣，只知道按圖索驥。?
——而愛因斯坦，卻在一個古老的思想里發現了新的真理。
(2)?
拋物線是圓錐曲線的一種，它的非線性性質在混沌動力學中被經常利用到，然后平地起驚雷，說，周期三導致混沌，出現了周期三，其他什么周期都將出現。可見，從拋物線出發，往往能夠深入淺出。在教室里斜拋一個粉筆頭，它總是畫出優雅的舞線。假如沒有空氣阻礙，其軌跡是一條拋物線。其運動可以被簡單分解，在豎直方向上，它是帶初速的自由落體運動，在水平方向是勻速直線運動。
一個最簡單的計算可以表明，以相同的初條件斜拋出不同質量的物體，其運動軌跡是拋物線，這些拋物線全部是可以重合起來的，因為它們一模一樣。不同的質量，相同的軌道，這說明，運動軌道與質量沒有關系，這一點與單擺一樣，再次證明上帝存在，拋物線和單擺是處在引力場中的，它們這樣的現象，說明這好象是一個內稟的幾何效應。
簡單的拋物線，用一種返璞歸真的語言告訴年輕的愛因斯坦，引力，是一種幾何效應。
1907年,有人請愛因斯坦寫一個介紹狹義相對論的綜述文章,寫這樣的文章,使得愛因斯坦重新全面地審視了一下自己的理論和周圍的世界。狹義相對論是在1905年建立的。當時的愛因斯坦依然在伯爾尼專利局,他坐在書桌邊，突然遇見了一生中最快樂的思想——等效原理,"我正坐在伯爾尼專利局的桌旁,突然出現了一個想法,'如果一個人自由下落,他將感受不到自己的重量。'"?
換一句話說，引力質量等于慣性質量。愛因斯坦把這個稱為等效原理。?
物理學家曾經發現了一些等效原理一樣的方法來處理問題，比如電學理論中，最讓人瞠目結石的一個關于電路的定律，不是基爾霍夫的。它叫“戴維南定律”，用來處理一個等效電動勢。其背后的數學，不是瞬間能想清楚的。但無疑的是，等效的方法，極大簡化了模型的復雜性。在某個程度上，愛因斯坦從等效原理出發，建立了廣義相對論。當然，比如synge等人就認為，等效原理雖然讓愛因斯坦一生最快樂，在相對論建立過程中就象一個接生婆，但現在，接生過程已經完成，相對論應該體面地埋葬掉這個接生婆。
synge是一位極早期就用幾何語言來表述廣義相對論的人，內心有一種不被世人理解的苦悶。他的話雖然有點過河拆橋的意思，但動機也是很不錯的。因為，凡是懂得等效原理的人，十之八九會以為，一個自由下落的觀察者，他所看到的時空總是平坦的。?
但幾何學家一定不同意。 因為時空是否平坦，就是說微分流形是否平坦，只依賴于它上面的度量，而不依賴于坐標系。
同時代的人群之中，愛因斯坦是第一個想到等效原理。這個原理使得人們發現了一些引力場不同與其他場論的地方，造成巨大的困難。比如一個人朝太陽掉下去，按照等效原理，在他看來，他沒有感受到任何引力，相當于他沒有測量到引力場的能量。這明顯不同于電磁場的情況。比如電荷，是一個局部的電荷密度的，滿足連續性方程，電荷受恒。引力能量有沒有局部的密度？這個問題看上去似乎誰都要捫心自問，但尋找它的答案，相對論學者們一度衣帶漸寬，人來人往，一次一次開會討論，但好象全是在looking?
for the right answer to the wrong question。黑暗由此產生，人郁悶了。
引力能量不能在單獨一個點上被談及,因為時空中的一個點不考慮它的鄰域無法談它是否彎曲。準局域（quasilocal）的定義應運而生。德國的Nester是最初的倡導者和專家,這個人現在臺灣的國立中央大學。?
當然大范圍地定義一個時空的能量或者質量是可能的，比如Komar有一個定義，這個定義只要求時空存在一個類時的killing場，就可以定義一個包圍在2維球面內的空間的總質量，并且，這個總質量跟包圍它的2維球面的選擇沒有關系，這就很象電動力學里的高斯定律了，說的是，對點電荷的電場強度計算通過包圍它的曲面的通量，結果是點電荷的電量，與曲面無關。
（3）
愛因斯坦在1907年還沒有寫出他著名的愛因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最閃光的部分。直觀地看，似乎類似于圓是彎曲的，但可以用正多邊形來逼近圓的周長。但一個人要真正看清楚背后的東西，需要不止一天的時間，正如很少有人能清楚說明圓周率和自然常數和自然數一之間的關系。為了數學地理解等效原理，愛因斯坦在1907年之后的這段時間內自覺地轉向Riemann幾何，他需要跟他的老同學數學家格羅斯曼合作學習微分幾何，那里有一些名詞，比如聯絡，克氏符，曲率張量。等他建立起相對論，微分幾何學得到了物理學的推動，開始大步發展，廣為人知，本來數學家已經認為，微分幾何已經是沉迷于玩溺上下指標，是沒有大出息了。Gauss時代的幾何，總是把曲線曲面嵌入到外部的高維空間進行研究。但宇宙沒有外面，于是，相對論天然的要求一個研究內稟幾何性質的Riemann幾何學，這樣的幾何對象，不需要外部空間的存在。?
可能后來趕上愛因斯坦的相對論潮流的數學家會認為，愛因斯坦的等效原理就是說，在一個彎曲流形上的每一點，總可以存在一個平坦的切空間。（在愛因斯坦當時那個時代，manifold這樣的概念已經存在，就是1854年左右的Riemann引進的。）數學家用自己特有的方式理解等效原理，讓文人墨客失魂落魄。歌德在這方面深有體會，他講：數學家猶如法國人，無論你跟他們講什么，他們把它翻譯成自己的語言，于是成了全然不同的東西。
在物理上，愛因斯坦的自由下落的電梯是一個理想的慣性系，但它是局部的，在電梯里，引力消失了。幾百年前，伽利略的另外一個思想實驗，那里有一個從光滑斜面上滾下來的小球，這個小球被伽利略證明能夠滾到無窮遠處。他的這個思想實驗，可以證明牛頓第一運動定律的正確性質，但留給后代的人一個問題，什么叫慣性，什么叫慣性系？這樣的問題難有一針見血的答案讓所有的人都欣然接受，充分理解。這個問題太難了，蜀道之難，難于上青天。慣性系是什么，也有登天之難。
第四章 閔氏時空?
(1)?
現在已經知道的是，物理學的幾乎全部知識，全是建立在平坦的閔氏時空之上，但廣義相對論是一個例外。如果問什么是廣義相對論里的度量，答案是它很象是人生，人生如戲,但看戲的無非做戲人，也就是說，度量在時空舞臺上，它既是演員又是觀眾。度量刻畫時空流形的彎曲。古希臘哲學家們對于空間缺乏清晰的數學認識,因此他們的討論沒有考慮到這個空間到底是平坦還是彎曲。于是出現了一些過于飄渺的議論，這些議論有的是很詼諧的，比如認為大地是被烏龜托著，浮于大海之上。理想主義派的代表人物是柏拉圖，他有時間研究幾何學，搞了一個奧林匹亞學院，廣收門徒,傳道授業解惑,一時天下英才,盡數被得而育之,柏拉圖的人生真乃是一派風流，他寫了一本書，叫《理想國》。大學問家難免一脈相傳，比如柏拉圖本身就是蘇格拉底的學生，而柏拉圖的學生，有一個人，名字如雷貫耳，亞里士多德，亞里士多德影響歷史，影響力達到兩千年之久，亞里士多德的觀點是樸素無華的，他認為重的物體和輕的物體做自由落體，重的物體先到落地。民間具有天真的直覺，也支持這個觀點。在柏拉圖的那個神秘學院，穿過學院的拱形門樓，首先映入眼簾的是幾個字：“不懂幾何者禁止入內?！边@樣的話，讓人不寒而栗。?
柏拉圖希望通過高深的幾何學來理解空間。雖然他的用詞很可能引起數學農民的反感，但這條道路，是一條正確而光明的道路。平面幾何最杰出的定理之一來自畢達哥拉斯。畢達哥拉斯（Bidagelasi）（約公元前580—約前500），是古希臘的哲學家、數學家、天文學家，他早年曾游歷埃及、巴比倫（一說到過印度）等地，為了擺脫暴政，他移居到意大利半島南部的克羅托內，在那里組織了一個集政治、宗教、數學合一的秘密團體。這個團體后來在政治斗爭中被打散，他逃到塔蘭托，后來終于被殺害了。但他的學派全保留了下來，這讓人想起愛因斯坦在拒絕當以色列的總統時候說的一句話：“政治只為一時，而方程可以久遠?！薄‘呥_哥拉斯本人以發現勾股定理（西方稱畢達哥拉斯定理）著稱于世。這個定理早已為巴比倫人和中國人所知，不過最早的證明大概要歸功于畢達哥拉斯學派。這個學派發現用三個整數表示直角三角形邊長的一種公式：2n＋1，2n2＋2n分別是二直角邊，則斜邊是2n2＋2n＋1。這公式既屬于算術，又屬于幾何。 ?
通過勾股定理，導致不可約分數也就是無理數的發現，這個發現者是學派的一個門徒，實際上這個發現極大地推動了數學的發展。如果要證明根號二是一個無理數，最好的辦法可能是Fermat發明的無限遞降法。這個學派還有重大的發現，他們還發現正多面體只有五種，就是正四面體、正六面體、正八面體、十二面體和正二十面。這個發現被ST?
.yau贊美，其實就是歐拉后來發現的關于多面體的歐拉定理，或者說微分幾何里的高斯-Bonnet定理，但這個背后，還有很深沉的東西。畢達哥拉斯死后，這個學派還繼續存在兩個世紀之久，他的定理如果被推到很小的區域，也是正確的。幾何學家往往把這樣的微小三角形一個名字，美其名曰“特征三角形”。用相對論的眼光來看，畢氏的定理是描述了一個2維平坦空間。有經驗的看客會至少馬上想到以下兩點：第一，所有的2維曲面都是共形平坦的。第二，在所有2維曲面上，愛因斯坦的方程天然成立。畢達哥拉斯定理與廣義相對論，有著一衣帶水的關系。?
畢達哥拉斯定理在中國，被稱為勾股定理。西周時代，武王克商，周公與大夫商高討論，商高說，“勾三，股四，弦五”，這個話不能算是一個定理，只算是一個特例。這記載于一本朝代和來歷不很明顯的書《周髀算經》。但該書又明確指出，周公的后人的一段對話，對話里明顯表達了勾股定理。畢達哥拉斯定理說，一個直角三角形，它的兩邊的長度的平方和等于斜邊的長度的平方。這個定理的證明方法很多，華羅庚年輕時候，也考慮過不少的證明方案。最流行的證明方案,恐怕是通過在一個邊長為a+b的正方形內內接一個邊長為c的正方形來作，利用面積相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方。?
這個定理出現后，可能中國古代數學家找到了很多樂趣，生活充滿七色陽光，數學家開始沉淪，之后中國的數學就開始落后了，科舉考試也沒有想到要測試一下數學能力，導致舉國出現一種靡靡之音。后來到了17世紀，有一個叫Fermat的法國人，他本身是一個律師，但數學才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在數論中，他就有Fermat大小定理傳世。小定理說的是素數的一個性質，這個定理后來被歐拉推廣，歐拉對比整數a小的素數的個數引進了關于a的一個函數。判定素數還有一個定理就是威爾遜定理。Fermat在一本書的扉頁或者頁眉那樣的地方寫道：我可以證明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，如果abc不等于零，那它沒有其他的整數解，這個我已經證明出來了，但這地方太小，寫不下了。他寫完這個后，也就沒有多講，后來就死去。這個命題傳了出去，被稱為Fermat大猜想,或者Fermat大定理，黑暗由此產生，幾乎沒有一個數學家能夠證明它或者推翻它，所以，這個Fermat大定理獨領風騷三百年。?
后來，據說這成了一種文化，在紐約地鐵站，墻壁上可以看到這樣的話：Fermat大猜想我已經證明出來了，但我來不及寫下我的證明，因為我的地鐵來了。到了1995年左右，Fermat猜想真的被證明出來了，證明它的人叫Andrew?
Wiles。證明過程艱辛而且痛苦，類似與越王勾踐，Andrew?
Wiles深閉門而不出，十年磨一劍，終成大器。這是數論在近來的最高成就，數論遠離物理學，相對論也很難與它有聯系。雖然兩者具有同樣的品質:看上去很美。
(2)?
畢達哥拉斯定理用到計算空間點之間的絕對距離?？臻g的兩個點之間的絕對距離不依賴于坐標系的變化。這一點很重要，正如一個人的思想品德，不依賴于他所穿的衣服。陳省身有一個比喻，大概意思是，微分流形就是裸體的原始人，而黎曼流形是穿衣服的現代人。衣服相當于坐標系，是可以更換的。但在坐標系變換下，絕對距離是一個不變量。?
閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄國的 Alexotas (現在是立陶宛的?
Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄國人，他要干的事情，是在時空中引進絕對的距離。這一點是驚人的，1908年當他拋出他的這個絕對的時空距離的時候，連愛因斯坦本人，也有點不太能夠理解。他年輕的時候，他父親是一個成功的猶太商人，但是當時的俄國政府迫害猶太人，所以當閔可夫斯基八歲時，父親就帶全家搬到普魯士的?Konigsberg?(哥尼斯堡)定居，普魯士就是現在的德國，普法戰爭就是德國與法國的戰爭，所以在歐洲大陸上這個兩個大國是有些宿仇的。當時的閔可夫斯基他們搬家以后，就與?
Hilbert?
的家僅一河之隔。所以這一次搬家帶給他和Hilbert終身的友誼，年輕的時候，Hilbert覺得，閔可夫斯基遠比自己聰明十倍，有點沮喪。1909年1月10日，閔可夫斯基在正達創作力高峰時，突患急性闌尾炎，搶救無效，于1月12日去世，年僅45歲。摯友?
Hilbert?
替他整理遺作，1911年出版《閔可夫斯基全集》。1900年閔可夫斯基在蘇黎士的綜合技術學校EYH教數學，學生的人來人往，多數已經在歷史里湮沒，但里面有一個人就是愛因斯坦。愛因斯坦對功課漠不關心，閔可夫斯基對此表示失望，說愛因斯坦是一只懶狗。1902年閔可夫斯基離開ETH，來到德國的哥廷根大學擔任數學教授，當時是Klein邀請他去的。哥廷根大學領導世界數學潮流，當時有希爾伯特，克萊因，那樣的巨人們在那里。1854年，Riemann也就是為了在哥廷根大學得到一個講師席位，發表了他那劃時代的演講。?
閔可夫斯基把時間和空間等同起來，構成一個整體。1907年，Minkowski猜想可以用非歐空間的想法來理解Lorentz和Einstein?
的工作，他認為過去一直被認定是獨立的時間和空間的概念可以被結合在一個四維的時空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2?
。這種結構后來被稱為"Minkowski時空"。根據這個度量，相對論的精髓思想被用簡單的數學方式表出。這些工作為狹義相對論提供了骨架。諾貝爾物理獎得主 M.?
Born說，他在Minkowski的數學工作找到了“相對論的整個武器庫”。用現在的語言講，閔可夫斯基認為時間和空間作為一個整體存在，這個整體，被稱為四維時空。?
換一個說法,就是在廣義相對論中,沒有先驗的時間，為了得到時間，先到時空做一個3+1分解。因為4維的東西沒有人見到過，所以沒有人可以想象出來4維的時空到底是一個什么，象一個面包還是一個杯子，全不是。只好來一個比喻，時空就好象是一根香腸，可以被切片，每一個切面，才是空間。但3+1分解是人為的，它把破壞了本來的對稱性。
狹義相對論最重要的思想正是把單獨的時間和空間給埋葬掉了。?
閔可夫斯基說：“我要擺在你們面前的空間和時間的觀點，已經在實驗物理學的土壤里萌芽了……從今往后，空間和時間本身都將要注定在黑暗中消失，只有兩者的一種結合才能夠保持一個獨立的實體。”
假定2個事件之間的時空間隔是一個不變量，那么時間必然與空間聯系在一起，構成一個整體去描述那個不變量。這是愛因斯坦1905年發現的狹義相對論的全部。雖然當愛因斯坦聽到閔可夫斯基的發現時，不是特別在意。愛因斯坦笑話說：閔可夫斯基用那么數學那樣復雜的語言來描述狹義相對論，物理學家簡直弄不清楚了。?
4年后，1912年，愛因斯坦認識到，自己不應該笑話閔可夫斯基。因為要把引力與狹義相對論結合起來，閔可夫斯基的觀點是很優雅的。
（3）?
狹義相對論考慮的是完全的平直時空，這樣的時空是愛因斯坦方程的一個解，被稱為閔可夫斯基時空。時空上面的度量是閔可夫斯基度量，保持度量不變的變換是龐加萊群。這個群是10維的李群。但閔可夫斯基時空沒有物質，引力場退化，在經典廣義相對論看來，這是一個虛空，沒有多少意義。?
Minkowshi時空是平坦的，看上去平淡無奇。數學家唐納森等人在1983年發現，4維度的Minkowshi時空流形具有無窮多個微分結構。這個發現利用的是非經典的量子場論，結論是驚人的，因為其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分結構。Minkowshi時空那樣特殊，而人類生活其中，這簡直成了又一個上帝存在的明證。?
但在當時愛因斯坦和閔可夫斯基那個時代，人們的意識還沒有到底這樣深的程度。Maxwell的電磁場理論已經無比成熟，這是在Minkowshi時空上的電磁場方程。但有些問題很少被人注意到，比如因為電磁場的存在必然引起時空的彎曲，所以不存在真正意義上的平直時空的Maxwell方程。?
而其他的問題層出不窮，后來的相對論學家溫茹也用量子場論中的波格留波夫變換等技術發現，?
在Minkowski時空上的加速觀察者，他將觀測到自己處在熱浴之中，也就是說，這組加速觀察者看不到整個Minkowski時空，而是存在一個看不到的區域，就是有一個視界，這個視界象一個黑洞視界一樣，在熱輻射粒子。Minkowski時空顯示出奇怪的另一面，這些事情的發生，引導人們反躬自問起來。對于看上去貌不驚人的Minkowshi時空，人們到底曉得多少.。一直以為Minkowshi時空是真空，但事情顯得很復雜，它似乎象一個貌似平靜，但詭波譎流的大海。
第五章 經典場
(1)
牛頓的萬有引力是不需要媒質而瞬時作用的力，雖然牛頓也說，想象引力能在真空中瞬時地和超距地作用是荒謬的，數學家笛卡兒同時是一個哲學家，他有一些哲學思辯，主要的思想是想說明真空不是一無所有的虛空。19世紀，同樣的超距作用問題重新出現在庫侖定律里——兩個電荷在真空中通過瞬時力相互吸引或排斥。19世紀的法拉第出身貧苦，他父親是打鐵的,象他這樣的情況,要想做出好的工作,需要比別人加倍的努力。他13歲就開始在釘書的店里搞裝訂做學徒。當時是維多利亞時代，流行教育講座，每次要收錢1先令，但法拉第沒有。后來在新落成的皇家研究院有了免費講座，是院長戴維主講的。二十一歲的法拉第在他的內心里運籌帷幄，要求拜見戴維,后來他成功地成為戴維的助手，1813年他還參加了環歐的科學旅行。他見到了許多著名的科學家，象安培、伏特和蓋·呂薩克等，其中幾位學者立即發現了這位年青人的才華。法拉第終于這樣出人頭地，但有時還不免被老板戴維的老婆叫去干一些貼身男仆才干的事情。法拉第是一個英雄人物。他相信，磁場能產生電流，于是做了許多實驗,小學寫過作文的人全知道法拉第有一本傳說中的日記,那里每一天記著同樣的幾個字:“今天依然沒有成功?！边@說明鍥而不舍是多么地重要。物理學實驗不同于社會學的實驗，戊戌變法失敗后，政治教材告訴我們，這一失敗說明資本主義的改良道路不適合當時的中國，辛亥革命的果實被袁世凱竊取，民主被帝制復辟，說明資本主義的革命道路不適合當時的中國，于是，一個偉大的歷史決定論就浮現了，只有社會主義才能挽救當時的中國。但是，在物理學實驗上，法拉第需要卻是那種不斷失敗，不斷戰斗的精神。
日復一日，十年過去了。
直到1831年，他失手把磁鐵掉進了線圈之中，電流計在電光火石間動了一下。磁場產生了電流，他終于成功了！！
法拉第是這個黑暗長夜時代的光明，他是召喚電的天使，是后世唯一的神話之一。
牛頓認為存在瞬時超距作用,法拉第提出了場的觀念。認為能量存在的方式之一就是場，物體之間沒有相互接觸也可以通過場發生相互作用。這就是經典的場。如果把這個經典場量子化，得到的就是傳遞相互作用的媒介子，它們是自旋為整數的玻色子。后來的1930年代日本科學家湯川秀樹提出了介子，用來傳遞中子和質子之間的相互作用。我第一次讀這樣的科普文章，看見書上畫了兩個小孩，他們把一個小皮球拋過來拋過去。真是太有趣了，這個小球，就是傳遞相互作用的介子。
后來28歲的麥克斯維選擇了一個風和日麗的日子去拜訪法拉第，后者已經是一位68歲的老頭，法拉第說：“你是唯一真正理解我的人，但你不應該停留于用數學來解釋我的觀點,你應該突破它。”Maxwell聽從了這個意見。
（2）
Maxwell1831年出生在英國愛丁堡。1831年是一個非凡的年份。因為這一年，法拉第發現了電磁感應?；艚鹗且粋€出生時間選得更巧的人，他說他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！
Maxwell不善言辭，他是在英雄時代唯一一個可以與Newton抗衡的人。他爸爸是有科學技術愛好的律師（有的說他爸爸是工程師）。他16歲的時候上愛丁堡大學，有的同學說他爸爸是土財主，Maxwell是一個土包子。三年后，19歲的他到cambrigde三一學院，為一窺上帝之書。再后來Maxwell就留在cambrige教書，經常在玫瑰花開滿花圃的夜晚對著花刺不住地演講，從而達到給學生上課時候口吃清楚地程度。他下的苦工僅次于古希臘某位著名的結巴演講家，后者每天清晨把石子放舌頭底下練口才。
電磁理論的經典程度讓人吃驚，包含庫侖、奧斯特、法拉第、畢奧——薩伐爾、安培這些人發現的定律。丹麥物理學家奧斯特在上一堂電流實驗課時，一根磁針碰巧正放在他的裝置近旁。他注意到，每當接通電流時，磁針就發生偏轉。這個發現之后才幾個星期，安德烈·安培（Anure rtillpere）提出了一個理論，解釋說可能是變化的電力產生感應磁力。于是，一個神秘的怪獸才開始被人類馴服。磁場顯然是一個很奇怪的東西，后來的愛因斯坦回憶道，他小時候一直著迷挖空心思的一個玩具就是指南針。隨后的一系列實驗工作充分地證實了電和磁現象之間的密切關系。24歲的Maxwell發表了關于磁力線的第一個文章，題目叫做《法拉第的力線》，有一些清楚的數學表達。Maxwell比起法拉第來，數學見長。1862年Maxwel發表了第二篇論文《物理力線》，進一步發展了法拉第的思想，得到了新的結果：電場變化產生磁場，由此預言了電磁波的存在，并證明了這種波的速度等于光速，揭示了光的電磁本質。1864年他的第三篇論文《電磁場的動力學理論》，從幾個基本實驗事實出發，運用場論的觀點，以演繹法建立了系統的電磁理論。1873年他出版了《電學和磁學論》，全面地總結了19世紀中葉以前對電磁現象的研究成果，建立了完整的電磁理論體系。這個理論體系是一幢在經典的土壤上建成的大廈，但這個大廈的建成，召喚著相對論的誕生。
Maxwell把那些定律統一起來，現在的大學物理教材上一般寫成四個方程構成的一個方程組。這樣的統一具備非凡的美感，可能更加重要的一點是，Maxwell的方程組預言一點：光也是電磁波。牛頓時代以來，對于光是什么，討論甚囂塵上，但沒有很好的答案，Maxwell基本用他的數學，回答了這個問題。光存在于這個世界，真的是太重要了。對于光，最精辟的說法是：上帝說要有光，于是有了光。在相對論中，光可以被看成是類光矢量，或者說零矢量，這樣的零矢量本身不是零，它能夠存在，在于，相對論在時空流形上配置了一個洛侖茲號差的度量。
按照現代的微分幾何,閔氏時空上的真空Maxwell方程組可以寫為:
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
這是本書里出現的第一個方程組。作為一本正經的科普讀物，這樣的數學公式很可能引起閱讀量比預期減半，讀者紛紛逃逸。但這個方程實在是太美了，美到極致是瘋狂，著者我也就不管了。民間科學家讀到這里，多數人一笑而過，少數人會覺得莫名其妙，或者痛苦異常，睡覺也憤怒。為什么這里的Maxwell是這樣寫的。于是準備了一段解釋。
方程（1）其實就是U（1）纖維叢上的畢安基恒等式，一個無撓的聯絡使得它恒成立，在這里，F相當于曲率2形式。這個方程對應于Maxwell方程組里的兩個，其中一個說明，磁場的散度為零。
方程（2）里面的星號表示的是Hodge對偶。
如果寫成F=dA，其中A是聯絡，那么，一些更加美妙的結論可以被推出來……引進余微分算子以后，可以與外微分算子一起組成lapalce算子，然后，可以從真空的Maxwell方程組中推出波動方程來。當然，在這個過程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz規范條件。
?? 這就是一整套關于電的理論。1898年湯母遜發現了電子后。這個理論開始一次又一次經受了實驗的驗證。但是麥克斯韋的方程寫成四個一組的方程組，很多人會覺得有點美，但不是很對稱，因為，他的方程里有電荷，但沒有磁荷。其他的問題是一個靜止電荷具有不隨時間變化的徑向電場。但當電荷運動時，其周圍電場會自己調節到新的位置，場的變動以一個有限速度即光速傳播，這就是輻射場。靜電場和輻射場的區別，也引起了人們的注意。電磁理論的影響像萬有引力定律一樣巨大。麥克斯韋死后8年即1887年，亨利?！ず掌?#xff08;Heinrich Herzi）在實驗室成功地造出了電磁波。20世紀初，古列莫·馬可尼第一次實現了跨越大西洋的無線電聯系，電訊時代從此開始。技術的光明比之前的任何一個時代還要光亮。
（3）
Maxwell場方程的建立為后來狹義相對論的建立奠定了理論基礎，因為它在伽利略變換下是被破壞的，也就是說，假如只做空間上的變換，而保持時間不變，Maxwell場方程就要被破壞。于是嚴重的問題就出來了，直接導致了lorentz變換的出現，這迫使人們接受一個四維的時空觀。所以，在相對論出現的道路上，Maxwell場方程是一個豐碑。一直到現在，Maxwell場方程是完美無暇的，它在廣義相對論中的基本不需要修改。
愛因斯坦的場方程出來以后，出現了很多與麥克斯維場方程的比較。其中一個特點是Maxwell方程是線性的，愛因斯坦的方程是非線性的。另外一個是真空Maxwell方程具有共形不變性，但真空愛因斯坦方程不具備這樣的性質。后來，研究經典場的時候，一套旋量分析的方法被引進來，廣闊的舞臺打開了?？茖W家開始在這個宇宙的舞臺上演奏華麗之弦，跳蒼涼之舞。
第六章 狹義相對論?
(1)?
1900年，世紀發軔，年度的英雄人物之中，希爾伯特在巴黎數學家大會上提出了那著名的23個世紀難題，其中不包括龐加萊猜想，poincare猜想出現于1904年，這個猜想說假如某三流形具有與三維球面一樣的同倫群，那么這個三維流形只能是三維球面。1900年，在英國皇家學會的新年慶祝會上,著名物理學家開爾文勛爵作了展望新世紀的發言?；仡欉^去崢嶸歲月, 他充滿自信地說:物理學的大廈已經建成,未來的物理學家只需要做些修修補補的工作就行了。只是明朗的天空中還有兩朵烏云，一朵與黑體輻射有關，另一朵與邁克爾遜實驗有關。?
那時候是世紀之初，看來有一種新時代的浮躁。實際上，當時的物理學大廈壓根就是一小廟，更廣大的天空和宇宙還在神秘之中。數學和物理學面臨一個大雨欲來風滿樓的局面，相對論是一個交叉地帶，數學家龐加萊和希爾伯特也在相對論上做過工作。龐加萊得到了lorentz變換，希爾伯特在愛因斯坦之前得到了正確的廣義相對論場方程。愛因斯坦去哥廷根報告他的工作的時候，一開始得到的場方程是R-ab=T-ab。其中R-ab是里奇張量。?
在愛因斯坦之前，物理學家lorentz和數學家poincare都已經在這個方向上作了大量的工作，用現代語言來講，平坦閔氏時空的保度量變換就是poincare變換群，而lorentz變換群就是poincare變換群的一個子群。但poincare似乎是完全接受不了愛因斯坦的狹義相對論，雖然兩個人的結果是幾乎一樣的。所以poincare雖然一輩子作了不少關于相對論的演講。但是他從來就不提起過愛因斯坦與相對論這兩個詞。?
某個時候，愛因斯坦的母校ETH(蘇黎世理工學院)要聘請愛因斯坦當教授，poincare寫了一封信，大大的夸獎了愛因斯坦一番,但最后一段比較微妙：“我不認為他的預言都能被將來驗證，他從事的方向那么多，因此我們應該會想到，他的某些研究會走向死胡同。但在同時，我們有希望認為他走的某一個方向會獲得成功，而某一個成功，就足夠了?！?
poincare于1912年去世，他的貢獻可以彪炳千古，其在微分幾何上有一個poincare引理，說的是一個閉形式能不能整體地寫成一個恰當形式。這個引理說，如果微分形式F=dA，稱F是恰當的，那么dF=0；如果反過來，dF=0，稱F是閉的，但不一定能有整體的F=dA，要想實現整體的F=dA這樣的結果，要求流形是可以縮為一點的。poincare引理言簡意賅，但很容易引出高斯-斯托克斯積分公式，也可以引出纖維叢的示性類，所以著者可以主觀地說：“把一個微分幾何學家和廣義相對論學家從睡夢中搖醒，問他什么是poincare引理。假如答不出來，那他一定是假的。”poincare去世了，有個數學界的組織者給愛因斯坦去了一封信，說要出個紀念文集來紀念poincare,愛因斯坦拖了四個月才回信說，由于路上的耽擱，信剛剛收到，估計已經晚了，偏偏這位組織者不死心，說晚了也沒關系，你寫了就行。于是愛因斯坦又過了兩個半月回信說，由于事務繁忙，實在沒力氣寫了，然后不了了之。?
經典物理學的終結者是麥克斯韋。他同時在天體物理學、氣體分子運動論、熱力學、統計物理學等方面，都作出了卓越的成績。普朗克（Max Plank ）說：“麥克斯韋的光輝名字將永遠鐫刻在經典物理學家的門扉上，光芒萬丈。從出生地來說，他屬于愛丁堡；從個性來說，他屬于劍橋大學；從功績來說，他屬于全世界”。從研究方向看,很多人可能與他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天體物理學上，把錢道拉塞卡極限從5.6倍太陽質量推到了1.4倍太陽質量，在統計物理方面，李政道證明了二維空間不存在湍流，后來又與楊振寧合作證明了單位圓分解定理。湍流是非常重要的，國內的極早就開始研究相對論的周培源教授，就化了大量力氣來研究湍流。瓦特發明蒸汽機的之前，他注意到水的沸騰可以推動茶壺的蓋子，但后來研究流體力學的人發現，沸騰是一件很嚴重的事情，在那個時候，熱傳導方程就不能再使用了。在那里，人們看到了湍流，納維葉-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流。沒有問題，湍流一直跟生活關系密切。
1900年，愛因斯坦大學畢業，天之驕子，難免意氣風發，愛因斯坦試圖留校當物理教授韋伯的助教，那樣的話，愛因斯坦可以繼續在那里讀書然后得到博士學位。但是韋伯似乎不喜歡愛因斯坦，他要了兩個外系的學生當助教，偏偏不要愛因斯坦，于是，愛因斯坦非常失望，對于前途的打算，被韋伯悉數破壞。在他1905年建立狹義相對論之前,愛因斯坦的人生似乎波瀾四起,命運多舛，他還沒有結婚,但女朋友米列娃就給他生了一個女兒。據說這個女兒后來被愛因斯坦當作養子來撫養，愛因斯坦的父母反對他與米列娃結婚。他找不到工作，四處碰壁，還做了一陣家庭教師，生活顯示出巨大的不穩定性，就象是一個蜘蛛網，罩了愛因斯坦一臉。為了找工作，愛因斯坦發了不少的求職信，但沒有一個成功，愛因斯坦認為，很多用人單位要人，但他們往往去大學里打聽他，韋伯一定說了不少壞話。1902年，在他的朋友格羅斯曼的幫助下，愛因斯坦終于在伯爾尼的瑞士聯邦專利局找到了一份穩定的工作。
早在16歲時，愛因斯坦就了解到光是電磁波，他想，如果一個人以光速運動，他看到的世界會是一個什么樣子？愛因斯坦的少年時代的這個問題，一直引導著他前進，后來使得他博得了冷酷歷史的嫣然一笑。愛因斯坦之所以那樣想，是因為慣性參考系的相對性。愛因斯坦年少時的問題具有他思想上的光芒，但用光子來做參考系是沒有意義的。但參考系是重要的，中國古代有莊周夢蝶的故事，很是樸素，大致是在說同樣的事情。我上大學一年級的時候，第一次聽到這個故事，覺得很驚人，樸素的思想，很大的奧妙。在運動學上，如果一個蒼蠅繞著一個靜坐在凳子上的人的腦袋打轉，牛頓時代的看法是，蒼蠅與該人的地位是平等的，因為在蒼蠅看來，人是在繞著自己在打轉。但事情遠非那樣簡單，在人和蒼蠅這個系統的背景下，有一個Minkowski慣性系，這個參考系中，人的世界線是一條測地線，而蒼蠅的世界線是螺旋上升的一條曲線，不是測地線。通俗地講，在四維時空里看來，蒼蠅和人，不具有同等的地位。在時空圖中，人的世界線是直線，是Minkowski背景時空上的測地線。而蒼蠅的世界線是螺旋線。到了這里，一個新奇的世界已經展開。時間這個維度被加了進來，一個四維的參考系，顯得比三維的參考系要多了一些新穎的東西。“世界線”這個詞語，變成狹義相對論中最時髦的詞語之一。
（2）?
狹義相對論的最主要的公式是洛倫茲變換，是洛倫茲最先給出的，但相對論的創始人卻不是洛倫茲而是愛因斯坦。洛倫茲也認為，相對論是愛因斯坦提出的。 洛倫茲變換考慮慣性參考系之間的線性變換。假如是非線性的變換，就可能把一個沒有零溫度的慣性參考系變成一個熱輻射的參考系，這就是林德勒變換。?
從麥克斯韋電磁可以知道電磁波以光速傳播，而且光速是一個恒定的常數。伽利略相對性原理說，物理規律在一切慣性系中都是相同的。麥克斯韋方程組在所有慣性系中都應成立，這就是說，光速在任何慣性系中都應該相同，都應是同一個常數c 。但同時按照伽利略相對性，慣性系之間可以差一個相對運動速度v 。依照速度(矢量)迭加的平行四邊形法則，電磁波(即光波)的速度如果在慣性系A 中是c ，那么，在相對于A 以速度v運動的另一個慣性系B 中，就不應再是c 了，而應是c＋v或c－v。但是，麥克斯韋電磁理論說光速只能是c ，不能是c＋v或c－v。那么，愛因斯坦意識到，一定有什么地方出錯了。?
下面的三條理論，肯定有某一條是錯誤的了。????
(1). 麥克斯韋電磁理論，它要求光速只能是常數c；?
(2). 相對性原理，它要求包括電磁理論在內的所有物理規律在一切慣性系中都相同；?
(3). 伽利略變換，作為三維空間矢量迭加原理的平行四邊形法則。這一點后來看來不滿足四維的相對論，但對于一個四維矢量，這個平行四邊形法則是否能繼續使用呢？四維速度還能按照這個法則合成嗎？粗劣地說，數學家哈密頓曾經研究四元數，用了10年的時間，才知道，四元數是不滿足交換律的，也就是說，對一個四維矢量，AB不等于BA，這樣，平行四邊形法則是不成立了。四元數空間實際上和單位矩陣和pauli矩陣空間是同構的，但矩陣不滿足交換律。細致地說，單位四元數是一個四維空間的三維球面，而三維球面正好是SU（2）李群。pauli矩陣恰好是SU（2）李群的李代數的基。在這里依稀可以看到，洛倫茲群和su（2）群有了某種莫名的關系。這個關系就是旋量。?
愛因斯坦想的沒有那么細致，但他認定，第（3）條是錯的，在光速不變原理和相對性原理的基礎上，他推出了兩個慣性系之間的坐標變換關系，這個關系就是洛倫茲等人早已得出的變換公式。 不過， 愛因斯坦是在不知道洛倫茲等人的工作的情況下，獨立推出這一公式的。更重要的是，愛因斯坦對該變換的解釋與洛倫茲完全不同，時代證明，在物理解釋上，愛因斯坦是正確的。于是，一個被鞏固了地位的狹義相對性原理出場了：“所有的慣性參考系中，物理規律是一樣的。”?
狹義相對論的背景時空是Minkowski平坦時空。相對性原理導致了朗之萬提出Twins悖論。這個提法簡潔明了，使得哲學家再次被驚醒了，學術非常之爭鳴。哲學家亨利.伯格森后來承認，朗之萬1911年4 月的演講，“第一次喚起了我對愛因斯坦觀念的注意”。?
雙生子悖論使人困惑。勞厄1911年寫信告訴愛因斯坦，反對相對論的共同理由“主要是時間相對性和由此產生的悖論”。勞厄在1912年寫的世界上第一部相對論教科書中說：這些悖論和其它有關時間相對性問題具有“偉大的哲學意義”。附帶地說，第一，當年的Twins悖論具有非凡的影響力，它極大地推動了狹義相對論思想在民間的傳播；第二，在早期，寫作相對論的文章的人中，有一個研究生，他是W.pauli，他的文章后來出了一本書，這個人后來在量子力學領域相當杰出，其批評意見無比尖銳刻薄，被稱為“上帝的鞭子”。
Twins悖論的基本意思是說：在地球上有一對可愛的雙胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了極快速的航天飛機，去外太空去旅游了一番。等她回來，發現妹妹已經是人老珠黃，昭華已逝……而自己依然是貌美如花。既然相對論說，時間是相對的，那為什么會出現這樣天上三日，地上三年的事情呢？現代的幾何語言給出了一個解釋：因為妹妹和姐姐的世界線不一樣，妹妹的世界線是Minkowski時空里的測地線，而姐姐穿越大氣層再回來她肯定不是慣性運動所以她的世界線不是測地線。而世界線的長度表示生命的固有時間流動。?
天地者萬物之逆旅，光陰者百代之過客。?
當李白把時間和空間分離開來理解的時候，他沒有想到的是，把時間和空間結合起來理解，具有非凡的快感。往來成古今，26歲的愛因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的時空。
第七章 微分幾何雜談?
（1）?
據說幾何學起源于丈量大地，微分幾何學里有一個詞語，"測地線",測地線在黎曼幾何中是是2點之間最短的線，但時空具有非正定的號差，是偽黎曼幾何，或者說是lorentz幾何，所以，測地線是時空2點之間最長的類時線。當一開始，古代的人們發明平面幾何的時候，也同時撞見一些問題，比如，能不能把用尺規作圖把一塊圓的土地等面積地變換成一個正方形的土地，化圓為方一直困繞著古代數學家，后來這個問題被證明是不能實現的。另外一個問題是這樣的,給你一根長度一定的繩子，叫你去圈一塊土地，怎么樣子圈地，才能夠得到最大面積，這就是等周問題。如果這條曲線不是平面曲線，這個等周問題更加復雜，所謂Plateau問題或者極小曲面問題，其實就是一個非線性偏微分方程。等周問題和最速降線問題一樣,促使變分方法的誕生，在物理學上，這就是人們津津樂道的真理之一，“對作用量變分為零得到Euler-lagrange方程”。因此，幾何學的這些問題非常樸素，但背后包含了巨大的玄機，其中lagrange的分析力學的思想，區別與牛頓，lagrange曾經寫了一本書，這本書是講力學的，但全書沒有一個圖，lagrange非常自豪。?
古代的人不知道大地其實是一個2維球面。后來，航海家麥哲倫環球航行，他是一個無比成功的冒險大王，他當然知道，假如大地是一個正方形，那么，可能有一天，他麥哲倫會走到大地的盡頭，然后撲通一下掉進無底的深淵。歷史總是垂青少數幸運的青年,后來，麥哲倫成功地回到了原來的出發點，大家才知道，原來真相只有一個，是這樣的：我們居住在一個球面之上。但如若事后諸葛，仔細看一下，人類的武斷似乎讓人苦笑，其實，麥哲倫能夠環球航行，不足以證明大地是一個球面，因為，還有其他的可能，比如環面，柱面,Mobius帶，Klein瓶。其實要發現大地是一個球面，是一件很麻煩的事情。我們可能不得不站在高處，比如衛星之上，向下俯瞰，才能得到一個初步的結論，這是一種把流形嵌入在高維空間的方法。?
2維球面具有很多性質，在拓撲的意義上，它的歐拉數為2。在幾何上，它可以是最大對稱空間，處處具有同樣的曲率。在纖維叢上，2球面上的2形式張量場不可能整體是恰當的，也就是不可能存在單一的電磁勢A使得處處滿足F=dA，這就是poincare引理，于是我們得到chern示性類。?
在19世紀末，美麗法國的小城南錫。poincare小的時候，就是高度近視眼。所以他上課全靠聽力。由于運動神經的不協調他從小就不能與小伙伴一起玩，童年非常之不幸。在數學上，他后來做出了偉大的貢獻。懂數學的全知道，在三維空間，標量場的梯度取旋度為0，矢量場的旋度的散度為0，這其實可以用外微分的語言表達為poincare引理。?
poincare引理認為，假如流形可縮為一點,假如它上面的一個微分形式是恰當的，那么它必定是閉的。這個斷言非常之強，可算是當時數學上的顛峰之作。poincare是數學物理的最后一個全才，他研究3體問題，在這個問題上,有一個poincare-birkhoff定律，這個定理是關于不動點問題的，據說在保面積映射中,如果出現在相空間的環面上的兩個周期P,Q的比例是有理數,那么上面的流轉過有限周以后必定回到原來的點,如果用poincare截面來描述的話就是在poincare截面上出現了點的回復,從而實際的映射點是離散分布在圓周上的有限點。poincare于1912年猜測,這種情形下的映射有2kQ個不動點,一半穩定,一半不穩定,這被稱為"poincare最后猜想",在Harvard大學的Birkhoff證明了這個猜想,聲名鵲起。這一映射模型是poincare在研究限制性三體運動中抽象出來的數學模型，如果在相空間的環面上的兩個周期P,Q的比例是無理數(不是有理數),那么環面上的流就是擬周期運動,永遠無法在poincare截面上出現點的回復,從而實際的映射點是連續分布在圓周上的無限多個點,這個情形就要用Moser定理來解決。現時代要培養全才，已經沒有可能，因為pioncare是斷后的那一個人。?
poincare與klein研究3維的空間。這個3維的空間是深山老林，很少有人能進去以后不迷路。這個Felix·klein是德國人，因為研究瓶子而聞名世界。說到klein瓶已經高度抽象，它是2個mobius帶子粘起來的結果，但它不能在3維空間中被粘起來。poincare的問題是是不是任何3維的流形都同胚于3維球面？這個問題成為亙古難解的poincare猜想。Yau.s.t認為人類連poincare猜想也搞不清楚，那就是連司空見慣的3維空間也沒有真正研究好?？墒?歷史總是猛烈發展,相對論已經在另外一個來自瑞典的物理學家Oscar·klein啟蒙下進入高維度研究。這個啟蒙運動叫做“卡魯扎——klein理論”。?
（2）?
微分幾何大致分為三種，黎曼幾何，辛幾何，復幾何。這是根據微分流形上的度量來分類的。在相對論看來，黎曼幾何不是最好的，最好的是偽黎曼幾何，上面有因果結構；辛幾何是有用的，但可是描述哈密頓系統，現在最流行的圈量子引力，就是從哈密頓系統里開始做量子化的；復幾何與彭羅斯一直推銷的扭量理論相關。陳省身考慮了復示性類，明顯區別與龐德里亞金和惠特尼的示性類不同，但取得最大的成就。因為復數比實數要優越，要自然，正如任何多項式方程在復數范圍里全有解。?
楊振寧寫了一首詩歌，來贊美陳示性類。?
"天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳?！?
最后一句，歐高黎嘉陳。這一句話里面，包含五位杰出的幾何學家。按照我第一次讀到這個詩歌的經歷，我有點吃不準，那個歐字，是歐拉還是歐幾里得，歐拉在幾何學上的貢獻我不是很清楚，因此是歐幾里得。歐拉是18世紀的數學巨匠,據說在他臨死之前,他說了一句話:"我死了"。說完他就死去，很是神奇。數學大家的情操，表露無疑。歐拉生前，是處理無窮級數求和的專家，自然數倒數的平方和是一個難題，當時歐拉的老師John.伯努利也弄不出來，但歐拉算出來了，答案是pi的平方除以6。其證明過程相當于把n次多項式方程里的韋達定理推到n等于無窮。?
高斯從小就是是一個神童，他10來歲的時候就會做等差數列求和，1加到100等于5050。這個故事現在家喻戶曉，不少家庭用這個來檢驗自己家的小孩子是不是有數學天分。他青年的時候做17等分圓周的時候,后來就完整地研究了曲面和曲線,還得到很多重要的微分幾何里的定理,其中一個叫"高斯絕妙定理",這個定理說明2維曲面的黎曼內稟曲率與外部空間無關。?
黎曼1854年的那個著名演講的題目是《幾何學基礎之假設》，微分幾何學開始研究內稟曲率。?
嘉當是法國數學家，是陳省身的導師。?
陳省身是中國數學家，2004年12月在南開大學去世，標志一個數學時代的結束。丘成桐先生題寫挽聯寄托對陳省身老師的哀思。?
“?
嗚呼，大廈傾矣，二千年勾弦求根，割園三角，終不抵陳氏造類， 孤學西傳，置幾?
何于大觀，揚華夏于世界。?
哀哉，哲人萎乎，卅五載提攜攻錯，賞譽四方，猶未忘柏城授業，中土東歸，傳算學?
之薪火，立科學之根基。
弟子? 成桐? 敬挽?
2004年12月4日”
（3）?
陳省身年輕的時候，推廣了微分幾何學上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影響，因為它聯系了局部幾何性質與整體拓撲性質，把看上去很不顯然的兩個東西聯系在一起了，數學的統一性，變的非常明顯。
他在1980年訪問中國科學院理論物理研究所，寫了一個詩歌，表達了更深的意思，數學和物理，具有統一性。這個詩歌高屋建瓴，人間難得幾回聞：
“物理幾何是一家，共同攜手到天涯。黑洞單極窮奧秘，纖維聯絡織錦霞。進化方程孤立異，對偶曲率瞬息差?；I算竟有天人用，拈花一笑不言中。 ”
早期的相對論，因為沒有用到整體微分幾何，數學看上去有一些麻煩，數學技巧也顯得不是很高，Hawking寫道，費曼曾經描述過1962?
年的一次華沙召開的引力會議，對當時的相對論研究者的低能表示了一定的輕視，到了1960年代，彭羅斯(R.Penrose
)用整體微分幾何證明了相對論里面的第一個奇性定理，結果開創了新的局面。penrose還大刀闊斧地在廣義相對論中引進了旋量。就我自己的認識來說，dirac方程的解就是一種旋量。但在4維空間，最小的旋量是2維的,這就是不帶質量的中微子，用weyl方程描述。對于最小的旋量，推廣地說，如果n為偶數，n維時空之上,p=n/2-1,則,最小的旋量維數是2的p次方。如果n為奇數，n維時空之上,則p=n/2-1/2,最小的旋量維數是2的p次方。在任意n維矢量空間,給定任意號差的黎曼度量,全可以定義旋量。但在流形上整體定義旋量場，卻要考慮到流形的整體拓撲性質。而最近很熱的扭量，其實就是一對旋量，滿足一個約束方程。
第八章??? 廣義相對論?
（1）
狹義相對性原理說，“所有的慣性參考系中，物理規律是一樣的?！被讵M義相對性原理和光速不變原理，愛因斯坦在1905年得到了狹義相對論。愛因斯坦得到狹義相對論的那一年，發表了著名的三篇文章，其中第二篇里敘述了E=mc^2。E=mc^2后來引起大眾的關注，因為這個公式認為，質量和能量是等效的。在這個公式里，m不是靜止質量，而是運動質量。?
一百年過去了，現在看來，狹義相對論是很自然的想法，因為4維平坦時空的Maxwell方程具有與生俱來的Lorentz協變性。但慣性系不是一個自然的概念。愛因斯坦不是一個普普通通的男人，他1908年左右做了一些光電效應這樣的文章，然后繼續回到相對論，決定拋棄慣性系。在物理學里，慣性系是一個有特權的王國，愛因斯坦想，這個物理世界應該是民主的，不應該存在具有特權的參考系。他有了這樣的思想——姑且稱之為“參考系的民主”。做M理論的人可能更加深刻，他們了解胡耳和湯森的思想：膜的民主。?
民主是一樣好東西，近代中國在1919年開始了五四運動，瘋狂追尋民主，這個運動的思想根源是新文化運動，當時人們大聲疾呼“德先生”和“賽先生”，知識分子試圖挽中國之狂瀾于既倒。蔡元培希望請最大的“賽先生”愛因斯坦來中國講學。那時，正是愛因斯坦和相對論名聲大噪的時候。蔡元培通過各種渠道，一再邀請愛因斯坦訪問中國，愛因斯坦也表示愿意訪問中國。然而好事多磨，由于種種原因，愛因斯坦都未能成行。有的文章稱：“直到１９２２年，事情才有了眉目。愛因斯坦將訪問日本的消息傳來，蔡元培又一次發出邀請。愛因斯坦也回信了，雙方就訪華的條件，協商了一下。蔡元培提出，如能到北大演講，愿出酬金每月一千元。下榻處選在最高檔的北京飯店。愛因斯坦倒也直率，他在回信中提出，每月一千元的酬金，數目尚可，但是要改成一千美元。住北京飯店，他是滿意的，不過要按兩人付費，也許他是考慮帶夫人同行。一千美元的酬金，在當時是非常高的，因為那時愛因斯坦尚在德國，而德國‘馬克’正在經歷一場大貶值。對于一位在德國任職的科學家來說，即使是愛因斯坦這樣的著名科學家，一千美元也不是一個小數。再說，北京飯店的客房也是以昂貴著稱的。然而，蔡元培先生還是答應了愛因斯坦的這些條件。蔡元培認為，愛因斯坦如能光臨北大，比什么鼎鼎大名的政治家、軍事家都重要百倍！于是，北京飯店做了相關的準備，北京大學師生更是滿腔熱情、積極籌備，還特意組織了多場報告會，由丁西林等人講解相對論，（丁西林后來是北大圖書館的）一時間掀起了一個宣傳、普及相對論的高潮?？上У氖?#xff0c;由于種種原因，愛因斯坦最終未能訪問北京，他只是在往返日本的途中，在上海停留了兩天，就匆匆地走了。”這件事情到現在已經是昨夜黃花，但真相現在還有人在爭論之中?？梢钥隙?#xff0c;愛因斯坦不是一個會輕易放人鴿子的人。
回過頭看，萬有引力的大小依賴于兩個物體之間的空間間隔，但在四維幾何里，3維空間間隔不是一個不變量，參考系改變以后，這個空間間隔就變化了，于是萬有引力大小就變化；萬有引力定律與狹義相對論的矛盾水火不容。這個矛盾大致可以這樣看出來，兩個物體之間的空間間隔依賴于觀察者，所以在不同的慣性觀察者看來，2個物體之間的萬有引力大小依賴于觀察者。這區別于庫侖定律，在庫侖定律中，除了電力還有磁力，在電荷加速的時候還有輻射。
萬有引力定律對嗎？狹義相對論對嗎？愛因斯坦開始陷入了深深的思考。后來他意識到，應該拋棄慣性系了，他于是拋棄了慣性系。慣性系成了一個完美的棄婦，而新人卻更勝舊人。在一定意義上，下面三個原理是一致的：?
1。廣義相對性原理。?
2。廣義協變性原理。?
3。微分同胚不變性原理。
到時候了，愛因斯坦提出了廣義相對性原理，“所有的參考系中，物理規律是一樣的?！庇辛诉@樣一個原理，愛因斯坦要做的事情就是思考一下萬有引力了，他要做的時候很簡單，就是要讓萬有引力理論不依賴與參考系，不依賴于觀察者。因為，愛因斯坦相信，物理規律是普適的，它是物理王國的法律，有上帝制定，對誰都一樣，在任何時間任何地點，全是一樣的。就這樣愛因斯坦用他的思辯構造了了他的引力理論——廣義相對論。在他的理論中，引力不是一種力，也許可以說，引力根本就不存在，所謂引力，其實是空間和時間（統稱時空）被物質扭曲。正如一個人躺在席夢絲床上把床睡得陷了下去。引力不再是引力，所以有的人研究引力，寫的書名字卻叫《時間，空間和物質》。
1915年６，７月，愛因斯坦在阿廷根作了６次關于廣義相對論的學術報告。同年１１月提出廣義相對論引力方程的完整形式，并且成功地解釋了水星近日點運動。?
１９１６年，３月他完成總結性論文《廣義相對論的基礎》，?
廣義相對論正式地出爐了！值得指出的是，數學家希爾伯特在愛因斯坦之前就推出了引力場方程，他說：“哥廷根大街的每一個小孩都比愛因斯坦更懂四維幾何，但發明廣義相對論的是愛因斯坦而不是數學家。”
愛因斯坦方程是天人合一的典范，它的出世，表明純粹理性具有非凡美感，人類心智，極富榮耀。
G-ab=T-ab?????????????????????? （3）?
在真空情景下，愛因斯坦方程可以寫成：?
R-ab=0????????????????????????? （4）???
在有些情景下，人們處理帶有宇宙項的愛因斯坦方程。
愛因斯坦方程（3）的思想精髓眾所周知：物質等于時空的彎曲。這一點是最重要的，如果問愛因斯坦理論最震撼人心的思想是什么，一半人會回答是等效原理，另外一半人會回答是物質等于時空的彎曲。真正思考過這個問題的人，多數會選擇后者。這個后者，也被很多研究圈量子引力的人最喜歡的，他們把這個叫做“背景無關性”?？梢韵嘈?#xff0c;一個正確的量子引力理論，它肯定不需要事先假定理論適用的背景。
有一個問題，是很自然的，假如沒有物質，時空是不是會彎曲？很多人馬上會講，schwarzschild時空的外部解，沒有物質，但是彎曲的。它是真空愛因斯坦方程的解。但注意，schwarzchild的外部不是閉的空間。真空愛因斯坦（4）引起了很多幾何學家的興趣。在某個時候，我還是一個年輕的大學本科學生，聽S.T.Yau在中國科學院的一次公眾演講，他是當代最杰出的幾何學家之一，他問：“是否存在一個閉空間，那里沒有物質，但時空彎曲？”
第九章 黎曼曲率雜談?
（1）?
愛因斯坦方程橫空出世了，求解這個方程變的很重要。愛因斯坦的方程是偏微分方程，它是幾何和分析之間的橋梁，這個方程里面，最實質的內容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函數，但求解一般不是輕易的事情。愛因斯坦曾經在一次紀念Maxwell的演講時說：“偏微分方程進入理論物理的時候只是一個婢女，但現在已經是主婦?！逼湔f法很容易讓人想起中國古典名著《金瓶梅》。偏微分方程的理論，到現在還不是很成熟的。已經成熟的是代數方程，或者說是多項式方程。2的x次方加3的x次方等于1，這樣的方程不算是代數方程。高斯證明了代數基本定理，說，n次代數方程f（x）=0，那么，它必然有n個復數根。但是真正求解n次代數方程，不是很簡單的一件事情。?
歷史上一點一滴進步，都凝固了前人的心血。即使歷史善于遺忘，也難免記住一些英雄。方程論上最早的英雄塔塔里亞，他解決了三次方程，?
塔塔里亞活著的時候被人砍傷，成為啞巴。據說在意大利語中，塔塔里亞就是“口吃者”的意思。他第一個解答這樣子的方程：?
x^3-21x^2+78x-55=0?
但塔塔里亞掌握了3次方程的解法，沒有發表，每天壓枕頭底下暗爽，后來被人剽竊了。世道澆漓，剽竊的人成為當時該領域的學術帶頭人。塔塔里亞很是憤懣，1530年他約對方在米蘭大教堂各出30道3次方程比賽，觀者千人。結果是塔塔里亞大獲全勝，對方一題未答，成為剽竊史上空前丑聞，也讓后人引以為戒。解決了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。?
1824年，22歲的Abel自費出版了一個小冊子，他證明了，n大于等于5的時候，n次代數方程一般沒有根式解。Abel是挪威的數學家，是一個窮牧師的兒子，一生貧病交加，27歲時候死于肺結核。天才生于寒冷，他瀕死去的時候，巴黎大學給他一個聘書，聘他去做教授，可是，Abel馬上死去。Abel理論對后世有巨大的影響。?
天才是互相感應的，Abel死的前一年法國的19歲的伽羅華寫了一論文給法蘭西科學院。他用一個新的方法回答了能夠根式求解的代數方程的條件。其文章太前衛，別人看起來有點南腔北調。投稿2次，人家竟然把原稿給丟失了。?
伽羅華是另外一個具有杰出才能的法國數學天才，他引起了群論的誕生。伽羅華比Abel更加富有傳奇色彩，當時的法國巴黎各派政治意見不和，習慣卸下門板，在街道上筑起街壘，互扔石頭。伽羅華是一個天才，他考巴黎著名的工科學校竟然2次沒有考上，上了巴黎師范。后者在當時還不算是名校。伽羅華對政治感興趣，他是一個鎮長的兒子，很有實力。還曾經因為政治上反對波旁王朝“七月革命”而被學校開除，后來又因為政治入了監獄，再上了法庭，在法庭上，他說：“我們是孩子，我們精力充沛，勇往直前?！?
21歲的伽羅華在一天晚上，他答應與人決斗，在油燈下匆忙了寫下了群論綱領。這個綱領也算是一個遺言，在某個地方他寫道：我的時間不多了……?
第2天天才在決斗中犧牲。?
1832年5月的這天。?
一輪血紅的殘陽掛在某一個枯樹的枝頭。?
整個世界都快哭了。?
Abel和伽羅華全在年輕的時候離開人世，他們對數學的影響卻無比深遠。他們對天才的年輕人有很好的示范作用，特引用詞一首，以表哀思：?
“原諒話也不講半句此刻生命在凝聚?
過去你曾尋過某段失去了的聲音?
落日遠去人祈望留住青春的一剎?
風雨思念置身夢里總會有唏噓?
若果他朝此生不可與你那管生命是無奈?
過去也曾盡訴往日心里愛的聲音?
就像隔世人期望重拾當天的一切?
此世短暫轉身步進蕭剎了的空間?
只求望一望讓愛火永遠的高燒?
青春請你歸來再伴我一會”?
挪威不是一個大國，但它出土了一流的數學家Abel，還有一個大名鼎鼎的是索飛斯·李。李發明的李群是相對論中的基本數學工具之一，很難想象一個不懂得李群的相對論專家會是什么樣子。Bianchi對3維的李代數進行分類，發現有九種，這就是九個Bianchi宇宙。?
（2）?
李群也是微分流形，從微分流形的角度看它，會有一些直觀的印象。比如SO（4）群，它是標準的三球面S^3上的等度量群。那么，什么是三球面呢？中學的幾何學基本上都是研究2或者3維平直空間里面的幾何學。一個點是0維的，一條直線是1維的，一個面是2維的，我們生活的空間是3維的。?
2維的面，很簡單，有的看上去是彎曲的，比如籃球的表面，或者十三陵地宮里的巨大的圓木柱子的表皮——柱面。 但可以看到，一個柱面是可以用剪刀剪開，然后可以貼在平坦的墻壁上，所以，不太嚴格地說，柱面的內在的曲率是0，而球面顯然不是這樣的。球面的內稟曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪開它然后完全地貼到平坦墻壁上。?
我剛開始接觸黎曼幾何時，就是用上面的方法在強行理解“內在的曲率”的。?
但還是有一些問題，比方在紙上畫一個扇形，然后把扇形卷起來用膠水把對邊粘起來。那就是一個圓錐面。 顯然圓錐面也是可以用剪刀剪開，然后可以貼在平坦的墻壁上，于是圓錐面的內在的曲率也是0。但它有一個尖點，那里不是光滑的，不能定義內在的曲率，應該排除。?
內在的曲率，實際上是指Riemann張量。?
那么什么是張量呢？這個東西不是一個容易理解的概念，它可以被放在坐標系下被確定下來。比如一塊石頭，從東邊看它象一只貓，從西邊看象一兔子，從南邊看它象一個烏龜。那么這個石頭的外形，就仿佛是一個張量。?
如果一個人試圖研究一個正立方體沿著體對角線轉動時候的動能，那么，轉動慣量就是一個很好的例子。真正考慮這個問題并做過計算，甚至不斷變換正立方體的轉軸，張量，這個有點神秘的幽靈，會立刻象花朵一樣開放在眼前。?
自行車的內胎。它的拓撲結構是一個二（維）環面，修車人生活在三維空間里，他看到的是這樣一個中間有洞的東西。
拓撲地看，一個自行車內胎與一個籃球皮有什么區別？自行車內胎上剪出一條封閉曲線不一定把它分成2塊，但一個籃球面上剪一條封閉曲線一定把球面分成2塊。這個暗示了球面與環面在拓撲上是不一樣的。一個自行車的內胎實際上是一個柱面彎起來以后把2個頭接起來產生的。看的出來，它就是一個圓周s1在另外一個圓周s1上走了一圈后得到的，所以有一個很直觀的記號，環面T2=s1 x s1。（環面記做：s1 x s1。因為環面的英語是Torus。所以還可以把2維度的環面簡單記為T2。）?
那么自行車內胎T2的內稟曲率是不是為0呢？？？很明顯它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的，它不可以完全地貼在平坦的墻壁上。因此，在三維歐幾里得平坦空間的自行車內胎，它不是處處內稟曲率為0。當這樣說的時候，實際上背后的故事很是悠長。?
因為gauss-bonnet-chern定理顯示曲率與歐拉數有聯系。幾何與拓撲之間的聯系就建立起來了，此岸的人們可以通過這些橋梁摘取彼岸之花，數學家的興奮之情可以想象。但推廣的高維流形怎么樣研究，纖維叢出現了。 “美國的whitney在1935年第一個提出纖維叢上的示性類。在瑞典，stiefel在hopf的指導下也開始研究初級的示性類，有一些萌芽思想。whitney是在哈佛大學，他發明了上同調語言，所以他關于示性類是一種上同調類。whitney證明了基本的乘積定理。在1942年，pontrjagin在莫斯科大學開始研究grassmann流形的同調，這個使得他開始建立新的示性類。在1946年陳省身在復矢量空間上做示性類。他引進復數是高人之處，因為復數比實數要簡單。”這是 milnor在《characteristic》中寫到的，milnor因為證明7維球面上有不同于標準的微分結構，名留青史。他當時和nash同時在princeton大學。纖維叢的概念最初在1935由whitney給出。hopf和stiefel的工作也說明研究微分幾何的拓撲學側面是重要的。steenrod是princeton的教授，他是nash與milnor的師長。他有一書叫《the topology of fibre bundles 》,在第2部分用到hurewicz的同倫群方法。hurewicz有一個定理，這樣定理可以從同調群得到同倫群。比如H1（m）=0。他可以認定m是單連通的。同倫同調是研究流形的基本方法，早在1900年，Poincare他在研究三維流形時，問：如果一個流形與三維球面有著相同的同調群，那么這個流形是否拓撲同胚于 S^3？ 四年后他本人給出了否定的回答。這時他已經引進了基本群，也就是第一同倫群，他將問題改為：“如果一個三維閉流形與三維球面有相同的基本群，(基本群平凡，或者說這個流形單連通，)那么這個流形是否同胚于S^3？”。這就是“Poincare猜想”。這個問題一直到現在還沒有解決。fermat大定理被克服后，是否說明這個Poincare Conjecture也將被克服？后來的數學家可能就是美國數學家斯梅爾（smale）推廣了 3維度Poincare猜想，廣義 Poincare猜想說：如果一個n維單連通流形與 S^n 有相同的同調群，那么它一定拓撲同胚于 S^n。斯梅爾證明了五維及五維以上的同倫球面(具有與球面相同的同倫群)都與同維度球面拓撲同胚．他因此獲得了1966年的 Fields 獎。斯梅爾的工作集中在5維以上，這無疑說明，3維與4維度流形的拓撲性質可能是相當奇特的。這個有點象5次以上方程沒有代數解法。一出來很讓人吃驚。?
在1980年之前，人們可以計算單連通四流形的同調和上同調群。?
以s^4為例說明：?
所謂同調，s^4它在5維歐空間里嵌入的話，直觀上就好象一個籃球，內部就有一個5維的洞。所以它的H4（s^4）非平凡，H4（s^4）=Z。這可見于M.A.ARMSTRONG著《基礎拓撲學》，由孫以豐等譯出。?
由poincare對偶可得到H0（s^4）=Z。?
由hurewicz定理，H1（s^4）=0意味著單連通。?
由poincare對偶可得到H3（s^4）=0。?
唯一包含信息的是?
H2（s^4）=Z^b2。其中b2是第2betti數。?
而上同調群比同調群要多一些信息。但這些給出的信息依然不是足夠的。?
1982年春，Michael Freedman 完成了單連通四維流形的拓撲分類，從而證明了4維的廣義 Poincare猜想，并因此獲得了1986年的?
Fields 獎。弗里得曼（Freedman，M.）運用了凱森（Cas-son，A.）環柄得到了單連通閉拓撲四維流形的拓撲分類。4維度的研究之所以特殊，是因為它迫使人們放棄惠特尼傳統方法。?
（3）?
在數學物理中，場論和微分幾何的關系已經到了情侶般如膠似漆的程度。相對論本來就是微分幾何，文獻很多，但多數文章不會留下來，有的研究者指導研究生寫文章，集中多年精力做的事情就是把低維的情況推廣到高維。第一個博士生從3維推到4維，第二個博士生從4維推到5維，年復一年。直到某一年，流年不利，有實力的博士生直接從3維推到n維。于是，這個事情算是徹底干凈了。另起爐灶的時光來了。什么叫高維空間？人類生活的時空一般認為是4維的，但在string理論理論認為宇宙是10維的，有6個維度太小。譬如花園里面的一個很長的自來水管，它是柱面，當然是2維的，但遠遠地看，人們會以為那是一根1維的繩子呢！！人們感覺不到6個額外維度，但他們組成卡拉比-邱成桐空間。額外維是相對論研究的潮流之一，5維度的時空，也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理論，具有統一引力和電磁力的神奇功能。5維的kaluza-klein時空比人們的感覺到的4維的多出一個維度，多出了那一個維度非常之小。但電子在那里運動的時候就在4維時空表現出電荷來。這多少有點象看一個人在翻滾過山車，他身上有離心力的痕跡。?
到了20世紀末，美國的女科學家lisa Randall等提出了膜宇宙模型，她曾經在哈佛做博士后。我有一天，在北京的地鐵里，問loop量子引力的三大領軍人物之一，梯曼告訴我說，當他去哈佛做博士后的時候，lisa Randall還沒有來哈佛。估計梯曼不會希望我們的宇宙是高于4維的，因為時空一旦高于4維，那么空間部分就不是3維，loop量子引力之所以成功，是因為它要求空間是3維的，那么它上面的標架有一個so（3）的自由性，這個so（3）的李代數和su（2）李代數同構，于是，loop量子引力可以把引力做一次量子化，做成非常類似與yang-mills的su（2）場論。但lisa Randall的文章允許額外維，并且是開放的額外維。于是我們現在的宇宙看上去就好象是操場上的一個籃球。這樣的是為了解釋暗物質暗能量物體構造出來的膜宇宙模型?；艚?002年再次來到中國的時候，在杭州大談了一次膜宇宙，引起了世人對膜宇宙的莫名崇拜。
第十章?? 宇宙學之一?
（1）?
愛因斯坦把他的方程寫出來以后，開始考慮的一件事情是如何從他的方程得到我們生活其中的宇宙。愛因斯坦的雄才大略在這一件事情上體現得淋漓盡致。這種氣質在科學家中是極其少見的，赫胥利《天演論》第一句也有過類似的氣質：“赫胥黎獨處一室之中，在英倫之南，背山而面野，檻外諸境，歷歷如在機下。乃懸想二千年前，當羅馬大將愷徹未到時，此間有何景物？計惟有天造草昧……”?
愛因斯坦也是這樣，他要在斗室之中，通曉天地之變，陰陽之道，但他用的是數學方法做《天演論》。?
宇宙是一個四維流形，要研究它的演化，就是要研究3維空間超曲面如何在時間里演化。演化要滿足愛因斯坦方程。除了愛因斯坦方程，3維空間超曲面上的初始數據,也就是曲率和外曲率，與四維時空的曲率，相互之間要滿足微分幾何里的高斯-科達奇方程。對于真空愛因斯坦方程來說，高斯方程表示哈密頓約束，而科達奇方程象征著空間微分同胚約束，是4維廣義相對論的對稱性的體現。廣義相對論的對稱性，就是廣義協變性，或者稱為微分同胚不變性。微分同胚群是無限維的，研究起來非常復雜，圈量子引力要保持這樣的群，也就是要保持這樣的對稱性，所以明顯不同于弦論，這是弦論和圈論之爭的本質。?
廣義相對論一直被譽為最美麗的理論，愛因斯坦也被認為是人類歷史上最偉大的科學家，他一個人苦心孤詣地研究工作，為我們打開了認識神秘宇宙的大門。當然，與愛因斯坦的廣義相對論有競爭的理論，為數也多如牛毛，這些理論之中，最重要的是班斯和迪克的標量張量理論，在他們那里，牛頓萬有引力常數不再是一個常數，而是一個函數，這個想法是很自然的。函數也就是標量場，在廣義相對論中，標量場神出鬼沒，成就了一批又一批的文章。那么廣義相對論最重要的品質是什么？這個品質就是上面所說的微分同胚不變性。
但在廣義相對論中，最基本的是時空流形M和它上面的度量?
g＿ab。Ｍ在沒有g＿ab的時候，僅僅是一個微分流形，它上面是沒有距離概念的，也沒有光錐結構，也就是沒有過去和未來這樣的因果結構。Ｍ僅僅是一個微分拓撲空間，可能把它想象成一個４維的自行車內胎或者籃球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分結構。至于它上面有多少光滑的微分結構，這個問題就過于艱深了。一般地說，在最簡單的4維平坦Minkowski流形上，唐納森用yang-mills場論的方法證明，上面有無窮多個微分結構。這個工作得到Fields獎，也將會名垂青史。?
那么，Ｍ上的所有微分同胚變換是不是構成一個李群？答案是肯定的，但是，這個diff（M）李群是無限維的，這有一點不象su（2）那樣簡單，su（2）李群是3維的。在圈量子引力中，su（2）群上的平方可積函數空間是一個希爾伯特空間，內積通過海爾測度定義。但對于diff（M）李群，因為它無限維，所以不存在海爾測度，圈量子引力再次遇見困難。?
（2）?
在相對論里，度量?
g＿ab的號差是Lorentz的，也就是說，把度量看成一個4乘4的矩陣，在線性代數里面，有一個慣性定理，這個定理說，在相合變換下，矩陣的正負特征值的個數是不變的。度量是Lorentz的，相當說，特征值有一個是負的，其他三個是正的，寫成（-，+，+，+）。其中，負號代表時間。
是否每一個流形都可以配上一個Lorentz號差的度量？或者說存在整體定義的時間？時間作為一個矢量場整體存在，矢量場整體無奇點，指數為０．Hopf-poincare的指數定理說，指數和等于歐拉數。所以一個流形可以配上一個lorentz號差的度量，必然要求流形Ｍ的歐拉數為０。?
Ｍ的拓撲結構對g＿ab的限制，這樣的問題連愛因斯坦也沒有考慮過。宇宙是有時間的，比如熱力學時間箭頭或電磁輻射時間箭頭等等，全是浮現在宇宙大海之上的航標，如何正確地用純幾何來定義時間也是廣義相對論中的大問題了。宇宙在演化，它由熵為零的狀態變大熵增加的狀態。如果宇宙最初是最大對稱的，那么它可以是德西特宇宙或者反德西特宇宙，正兩種宇宙全是共形平坦的，所以外爾曲率退化為零。當宇宙最后發生大擠壓，外爾曲率發散，熵也發散了。penrose認為，外爾曲率的演化可以表示宇宙的時間，這就是極其著名的外爾曲率猜想，也就是用幾何的方法來表示宇宙的時間。
???? （3）?
??????
哥白尼原理，也叫宇宙學原理，它涉及到宇宙的空間部分，該原理說：我們的宇宙，在空間上是均勻的，各向同性的。這一個原理是有一定實驗根據的，那就是微波背景輻射。當然這個背景也不是絕對均勻的。但在數學上，這樣的空間就是最大對稱性空間。?
??????
人類生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每當仰望星空，很多人都會好奇，宇宙，它的空間部分到底是有限還是無限的，宇宙是不是自相似的具有分形結構，是否天圓地方，是否有沉睡在宇宙深處的黑暗能量，外星球有沒有象人類同樣的孤寂和智慧。在中國古代，就有《天問》的說法，這是一種十分好奇的一種心態。?
??????
目前的觀測似乎說明，我們的宇宙3維空間部分具有最大對稱性。單連通3流形具有最大對稱性的，拓撲只有3種，E3，S3，H3。這個分類的結論與Thurston有聯系。Thurston把單連通3維的幾何體分成8種，前面的3種就是E3，S3，H3，允許6個獨立killing場，具有最大對稱；后面的5種分別為S2×S1,?
H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允許3個獨立killing場，具有均勻性（spatially???
homogeneous），但不具有各向同性。所有這一切的前提，全是研究單連通流形。至于不是單連通的，或者其他情景，只能讓人歸結到poincare猜想。poincare猜想最近聲稱被perelman證明，其中用到Ricci? flow方法，Ricci? flow方程為?
d/dt g-ij=-2R-ij。其實就是物理上的熱傳導方程。歷史地看，畢達哥拉斯最早知道，正多面體只有5種，這相當于冰山的一角，推廣到高維空間，問有多少個超正多面體。冰山暴露出來，一定讓很多人大吃一驚，這樣的冰山，可以化神氣的泰坦尼客為腐朽，把繁華變成南柯一夢。?
話說回來，我們的宇宙，在空間上是什么樣子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一種嗎？羅伯遜和沃克RW度量描述了這3種情況。RW度量的給出，純粹是從對稱性的考慮和宇宙膨脹的事實中寫出來的。這個RW度量不是真空愛因斯坦方程的解。
RW度量可以描述我們的宇宙，但它與愛因斯坦方程沒有從屬關系，也就是說，即使愛因斯坦方程不對，RW度量也可以是正確的。它們兩個的地位獨立,類似于男人和女人的關系，男人和女人的結合，出來的結果是一個嬰孩，就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么樣子在膨脹。因為單知道膨脹是不夠。現在發現膨脹是加速的，宇宙學就會給現在的科學提出一個大問題。這個問題總得來說是與暗物質和暗能量有關系。李政道曾經提過21世紀的物理學的大問題，暗物質暗能量好象也是其中之一，其他他說的好象有夸克幽禁和漸近自由。漸近自由理論已經得到諾貝爾物理獎。同樣，暗物質暗能量問題一旦解決，肯定也能得到諾貝爾物理獎。在相對論領域，能夠得諾貝爾物理獎的還有引力波或者引力子的發現。不說諾貝爾物理獎，宇宙學的這個問題可以與生命的起源，DNA的編排，生物為什么必然要死亡等問題類比，是文明的指標。?
莎士比亞有一個很精彩很著名的句子，好象是說：“死掉還是活著，這是一個問題！”對于宇宙來講，死掉還是活著這同樣也是一個問題。
總結
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