現(xiàn)在從接觸無窮級(jí)數(shù)到現(xiàn)在一共差不多2個(gè)星期了，一直沒有很正視他，但是今天做題的時(shí)候突然發(fā)現(xiàn)自己在這個(gè)方面還有很多不懂的地方。為了完成作業(yè)，我看了會(huì)相關(guān)資料，現(xiàn)在將我的一點(diǎn)收獲在這里總結(jié)一下。 （我現(xiàn)在只學(xué)到到了正向級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)）
級(jí)數(shù)就是無窮項(xiàng)之和，正向級(jí)數(shù)指的是每一項(xiàng)都為正數(shù)的級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)里存在符號(hào)差異的級(jí)數(shù)。 關(guān)于級(jí)數(shù)，我們有幾個(gè)要關(guān)注的地方，一個(gè)是收斂性，另外一個(gè)就是如果收斂 那么到底是絕對(duì)收斂還是條件收斂。 收斂表明當(dāng)級(jí)數(shù)的部分和（即級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，一般用Sn表示）的n趨向于無窮時(shí)，部分和趨向于一個(gè)固定的數(shù)。發(fā)散就與之相對(duì)。由此我們可以得到一個(gè)收斂級(jí)數(shù)的必要條件，就是當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，Un（級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)）趨向于0，這一點(diǎn)很好理解，不做贅述。（我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)級(jí)數(shù)的收斂性的時(shí)候，這一步往往是第一步）。 關(guān)于收購(gòu)連級(jí)數(shù)還有一個(gè)重要性質(zhì)，就是將收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)按照一定規(guī)則組合起來，得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂（例如將∑1/n^2的每一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)和其后的偶數(shù)項(xiàng)相加作為新級(jí)數(shù)的一項(xiàng)）（同時(shí)注意反過來不一定成立，比如∑（-1）^n）。這個(gè)性質(zhì)往往可以被利用來證明一個(gè)技術(shù)發(fā)散。 關(guān)對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判斷主要有一下5個(gè)方法 1比較判別法 0<Un<Vn 當(dāng)∑Un發(fā)散的時(shí)候∑Vn 發(fā)散 ? ? ? 當(dāng)∑Vn收斂時(shí)Un收斂 這個(gè)性質(zhì)也很容易想象，同時(shí)這個(gè)也是一個(gè)很常用的方法。我們?cè)谧鲱}的時(shí)候需要要得到一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的時(shí)候要多考慮一下這個(gè)方法，當(dāng)需要證明一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散的時(shí)候，就將該級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)縮小并討論這個(gè)新級(jí)數(shù)（最好能得到一個(gè)遞歸式 比如Un 單調(diào)增加（且大于0） 級(jí)數(shù)每一項(xiàng)為（Un+1 - Un）/Un，那么把每一項(xiàng)的分母換為U1），當(dāng)需要證明一個(gè)級(jí)數(shù)收斂的時(shí)候，我們就將每一項(xiàng)放大并討論新級(jí)數(shù)。 合理的使用比較判別法能很大程度上簡(jiǎn)化過程。
2比值判別法（又叫達(dá)蘭貝爾判別法） Lim（Un+1/Un）n趨向于無窮， 當(dāng)結(jié)果大于1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)結(jié)果小于1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)結(jié)果等于1時(shí)，這種方法失效，這種方法可以看作是根據(jù)結(jié)果將該級(jí)數(shù)和一個(gè)等比數(shù)列進(jìn)行比較。
3根號(hào)判別法（又叫柯西判別法） lim√Un ? ?當(dāng)n趨向于無窮時(shí) 如果結(jié)果大于1 級(jí)數(shù)發(fā)散 結(jié)果小于1時(shí) 級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)結(jié)果等于1時(shí)，這種方法失效，這個(gè)方法的具體證明過程我還不知道，這里就不裝大頭了。 （2，3這兩個(gè)方法是比較常用的方法，3比2適用范圍更廣）
4函數(shù)判別法 當(dāng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)可以組成一個(gè)單調(diào)遞減的數(shù)列，那么幾個(gè)將級(jí)數(shù)化作一個(gè)函數(shù)（如∑1/n等價(jià)于 ∫Ln x）。
5（忘記名字了，還是叫他比較判別法把） LIM Un/Vn 將兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)相除，當(dāng)N趨向于無窮的時(shí)候，如果結(jié)果大于等于0 時(shí)，Vn收斂則Un收斂 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果結(jié)果大于0，Vn發(fā)散，Un也發(fā)散 這個(gè)也保證了正項(xiàng)級(jí)數(shù)可以使用等價(jià)無窮小/大 進(jìn)行替換操作。
接下來談絕對(duì)收斂和條件收斂的概念 當(dāng)∑Un收斂∑|Un|也收斂，那么級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 ? ∑Un收斂∑|Un|發(fā)散，那么級(jí)數(shù)發(fā)散 同時(shí)當(dāng)∑|Un|收斂的時(shí)候∑Un必定收斂可以證明，即這樣可以直接得到級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂
同時(shí) 絕對(duì)收斂+絕對(duì)收斂 = 絕對(duì)收斂 ? ?絕對(duì)收斂+條件收斂 = 條件收斂 ?? ? ?條件收斂+ 條件收斂 = ？
討論的絕對(duì)收斂和條件收斂的時(shí)候，我們要處理的對(duì)象一般不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。但是分析每一項(xiàng)的絕對(duì)值的時(shí)候就可以用到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別方法。
關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性的判別方法：如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以表示成 （-1）^n An ? 那么如果滿足 An > An-1 同時(shí) lim An ? n趨向于 正無窮的時(shí)候 結(jié)果為0 ?那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。 憑借這個(gè)性質(zhì) ?我們很容易的得到無窮級(jí)數(shù) ∑（-1）^n 1/（n）^p ? 但p>0的時(shí)候 級(jí)數(shù) 收斂 ?<=0的時(shí)候 級(jí)數(shù) 發(fā)散
關(guān)于對(duì)于可以表示成∑AnBn無窮級(jí)數(shù)的證明 還有 2個(gè)比較特別的方法 1 阿貝爾判別法 當(dāng)級(jí)數(shù) ∑An ?部分和 收斂 ?｛Bn｝單調(diào)趨向于 0 ?級(jí)數(shù)收斂 2 狄利克萊判別法 當(dāng)級(jí)數(shù)∑An 收斂 ? ?｛Bn｝單調(diào) ? 級(jí)數(shù)收斂
剩下的以后接觸到我再進(jìn)行補(bǔ)充或修正

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于的无穷级数的一点总结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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