目錄

• 二項(xiàng)分布
• • 性質(zhì)
• 負(fù)二項(xiàng)分布
• • 性質(zhì)
• 示例
• • scipy 實(shí)現(xiàn)及可視化
  • 期望與方差

二項(xiàng)分布容易理解，負(fù)二項(xiàng)分布的描述不同模型稍有區(qū)別，記錄一下。

二項(xiàng)分布

離散分布的一種，固定次數(shù)的獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)使用，每一次試驗(yàn)結(jié)果分為成功和失敗兩類，關(guān)心的是成功或失敗的次數(shù)。

二項(xiàng)分布概率密度為：

$$P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n?k}$$

其中：

• p為單次試驗(yàn)成功的概率，q為失敗的概率；
• n為試驗(yàn)次數(shù)；
• k表示成功k次，
  $C_n^k=\frac{n!}{k!(n?k)!}$。

性質(zhì)

期望：$E(x)=np$

方差：$Var(x)=npq$

負(fù)二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布有不同的描述，核心是放回抽取或者擲色子試驗(yàn)中，固定 成功(失敗）的次數(shù)，描述 抽取/投擲 失敗 (成功) 的次數(shù)概率分布。

scipy.stats描述的模型：
nbinom takes n and p as shape parameters where n is the number of successes, p is the probability of a single success, and (1-p) is the probability of a single failure.

負(fù)二項(xiàng)分布將n和p作為形狀參數(shù)，其中n是成功的次數(shù)，p 是單個(gè)成功的概率，1-p 是單個(gè)失敗的概率。

scipy中：
抽取試驗(yàn)，單次成功的概率為$p$,直到抽取$n$次成功結(jié)束，這種情況下，失敗次數(shù)$k$符合負(fù)二項(xiàng)分布，其概率密度為：

$P(X=k)=C_{n+k?1}^{n?1}{p}^n(1?p{)}^k$

陳希孺老師教材中：
抽取試驗(yàn)，單次成功的概率為$p$,抽取試驗(yàn)直到抽取$k$次失敗結(jié)束，這種情況下，成功次數(shù)$n$符合負(fù)二項(xiàng)分布，

$P(X=n)=C_{n+k?1}^{k?1}{p}^n(1?p{)}^k$

性質(zhì)

以scipy.stats模型為例,
期望：$E(X)=\frac{n}{p}?n=\frac{n(1?p)}{p}$
方差：$Var(X)=\frac{n(1?p)}{p^2}$

示例

擲色子，擲出1點(diǎn)為勝利：

• 構(gòu)造投擲18次篩子，投出1點(diǎn)的次數(shù)符合二項(xiàng)分布；
• 現(xiàn)在考慮擲出3次勝利，問(wèn)需要擲出多少次色子，比如結(jié)果是擲出了 k+3次色子，則k的分布符合 負(fù)二項(xiàng)分布

scipy 實(shí)現(xiàn)及可視化

import numpy as np import scipy.stats as stats import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用來(lái)正常顯示中文標(biāo)簽 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用來(lái)正常顯示負(fù)號(hào)fig, axs = plt.subplots(1,2,figsize=(10,4),dpi=100) fig.subplots_adjust(wspace=0.3) # 單次試驗(yàn)成功率 p = 1./6 # 二項(xiàng)分布考慮擲色子18次，成功次數(shù)符合二項(xiàng)分布 N = 18 # 負(fù)二項(xiàng)分布考慮擲出成功n次，失敗次數(shù)符合二項(xiàng)分布 n = 3 # 二項(xiàng)分布B(N,p) P_B= stats.binom(N,p) ## 成功次數(shù)0~18的概率分布 x=np.arange(N) PF_B = P_B.pmf(x)# 負(fù)二項(xiàng)分布NB(n,p) P_NB = stats.nbinom(n,p) # 成功3次，失敗次數(shù) k 的概率分布 k=np.arange(N) PF_NB = P_NB.pmf(k)axs[0].stem(x, PF_B, 'bo', label='固定總次數(shù)，成功次數(shù): 二項(xiàng)分布') axs[0].set_xticks(range(0,20,1)); axs[0].legend(loc='upper left') axs[0].set_ylim(0,0.3)ax2=axs[0].twinx() ax2.plot(x,P_B.cdf(x),'r',label='累積概率') ax2.legend(loc='center right') ax2.grid() ax2.set_ylim(0,1.2)axs[1].stem(k, PF_NB, 'bo', label='固定成功次數(shù),失敗次數(shù): 負(fù)二項(xiàng)分布') axs[1].set_ylim(0,0.06) axs[1].set_xticks(range(0,20,1)); axs[1].legend(loc='upper left') ax2=axs[1].twinx() ax2.plot(x,P_NB.cdf(x),'r',label='累積概率') ax2.legend(loc=[0.02,0.8]) ax2.grid()

期望與方差

期望

print(f'二項(xiàng)分布的期望: {stats.binom(18,1./6).expect():.1f}, \n負(fù)二項(xiàng)分布的期望{stats.nbinom(3,1./6).expect():.1f}')

輸出為

二項(xiàng)分布的期望: 3.0,
負(fù)二項(xiàng)分布的期望15.0

驗(yàn)算：
二項(xiàng)分布 binom(18,1./6) 的期望 $E(X)=np=18?1/6=3$
負(fù)二項(xiàng)分布**nbinom(3,1./6)**的期望 $E(X)=\frac{n}{p}?n=3?6?3=15$ ，
方差

print(f'二項(xiàng)分布的方差: {stats.binom(18,1./6).var():.1f}, \n負(fù)二項(xiàng)分布的方差{stats.nbinom(3,1./6).var():.1f}')

二項(xiàng)分布**binom(18,1./6)的方差: 2.5,
負(fù)二項(xiàng)分布nbinom(3,1./6)**的方差90.0

驗(yàn)算
二項(xiàng)分布 binom(18,1./6) 的方差$E(X)=npq=18?1/6?5/6=2.5$
負(fù)二項(xiàng)分布**nbinom(3,1./6)**的方差$E(X)=\frac{n(1?p)}{p^2}=3?5/6?6?6=90$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布与负二项分布卡片的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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