文章目錄

• 前言
• 1.1 度量空間的定義
• 1.2 $H\ddot{o}lder$不等式
• 總結(jié)

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前言

好久沒有寫什么東西了，之前準(zhǔn)備寫機(jī)器學(xué)習(xí)，但是實(shí)在是太長了，望而卻步。泛函分析是我非常感興趣的數(shù)學(xué)分支，它的高度抽象性使得它似乎潛在于所有的問題之中，雖然每個(gè)問題研究對象不同，但是其內(nèi)在的聯(lián)系及解決的方法都存在緊密的關(guān)聯(lián)性，而泛函分析抽象出來這種隱含的統(tǒng)一性并進(jìn)行研究。是不是光聽起來就令人興奮不已，通過學(xué)習(xí)泛函分析， 在遇到其他復(fù)雜問題時(shí)，我想應(yīng)該能讓我們用更加抽象、更加統(tǒng)一地眼光來審視它們。btw，鑒于我是工科生出生，所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)也僅限于高數(shù)線代概率論，參考用書是由步尚全編著清華大學(xué)出版社出版的《泛函分析》，在該書中，作者極力避開了工科生所不具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（如lebesgue積分及集合論等）。
和概率論系列筆記一樣，該系列只是筆者個(gè)人對于泛函分析這門課的淺薄理解，希望讀者看到錯(cuò)誤能進(jìn)行批評(píng)指正，不吝指教，謝謝！

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1.1 度量空間的定義

度量空間之于泛函分析，就如同實(shí)數(shù)集之于微積分，它是整個(gè)泛函分析的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)我們便學(xué)習(xí)過集合——一個(gè)或多個(gè)元素構(gòu)成的整體，并且對它十分熟悉。到了大學(xué)，學(xué)習(xí)了線性代數(shù)這門課后，我們知道了空間的概念——具有某種特殊結(jié)構(gòu)的集合稱為空間，例如緊接著學(xué)習(xí)的線性空間。其特殊結(jié)構(gòu)就體現(xiàn)在定義了**封閉的加法和數(shù)乘（標(biāo)量乘法），同時(shí)滿足線性空間的八條公理。**也正是這種特殊結(jié)構(gòu)正對應(yīng)了“線性”的特點(diǎn)和性質(zhì)。

類比于線性空間的定義，我們就能很自然地想到，度量空間的定義應(yīng)該就是給一個(gè)空間賦予一個(gè)叫做“度量”的特殊結(jié)構(gòu)。事實(shí)也確實(shí)如此（可見數(shù)學(xué)其實(shí)并不抽象，它的推理過程總是自然而然，符合常識(shí)，后續(xù)的其他空間概念也都是如此），那么下面我們就給出度量定義的四條公理：

定義1.1.1 設(shè)$X$為集合，$d$為$X\times X$上的實(shí)值函數(shù)，稱$d$為$X$上的度量，若$d$滿足以下四條公理：

$?x,y\in X，d(x,y)\ge 0(非負(fù)性）$

若$x,y\in X,則d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(非退化性)$

$?x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)(對稱性)$

$?x,y,z\in X,d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)(三角不等式)$

此時(shí)稱序?qū)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$(X,d)$為度量空間（也叫距離空間），簡便起見也直接稱X為度量空間，$d(x,y)$稱為從x到y(tǒng)的度量，X中的元素稱為空間中的點(diǎn)。此外，若$Y?X$，則d在$Y\times Y$上的限制$d{|}_{Y\times Y}$為Y的度量，Y稱為X的度量子空間。

簡單的來看，度量是一個(gè)二元函數(shù)，從點(diǎn)集映射到實(shí)數(shù)集，它衡量的是空間中兩個(gè)點(diǎn)的差距，在歐式空間中最形象的便是“距離”。但是為了更抽象地理解度量的概念，不僅僅局限于習(xí)慣的歐氏空間，不過多的依賴歐式距離，而會(huì)使用差距這個(gè)詞（實(shí)際上無傷大雅，個(gè)人喜好）。

按照差距的理解，我們來分析一下度量的定義。首先非退化性和非負(fù)性，兩個(gè)點(diǎn)最相近也就是完全一樣的時(shí)候，差距就不存在了，也就是非退化性；而對任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)，總是存在差距的（沒有兩片完全相同的葉子，hhh)，這就是非負(fù)性。對稱性很好理解，差距對于衡量的兩個(gè)點(diǎn)來說是無序的。

最后對于三角不等式的理解，如果用歐式距離的概念來理解，非常簡單，小學(xué)我們就學(xué)過，三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等。但是我還是想用差距的觀點(diǎn)一以貫之，$d(x,y)$是兩點(diǎn)之間的差距，也即如果要通過“改變”$x$使其成為$y$，至少需要直接彌補(bǔ)$d(x,y)$的差距。而如果我采用間接的方式，先將$x$改變成$z$，再將$z$改變?yōu)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$y$。倘若$z$是$x$成為$y$的路途中的一個(gè)中轉(zhuǎn)站，$x$經(jīng)過$z$成為$y$的過程并沒有走歪路(即距離中的z處在以x、y為端點(diǎn)的線段上的情況)，那么有$d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)$。然而事實(shí)上除了這種情況，在$x$成為$z$的過程中必然會(huì)引入一些“偏離$y$"的新的差距——我們稱之為$\delta$（從某種程度上來說，$\delta$與之間的差距是正交的），$\delta$僅僅是為了使得$x$成為$z$而引入的，而在讓$z$成為$y$的過程中又需要去除，那么經(jīng)過$z$再成為$y$所需要彌補(bǔ)的差距就是$2\delta +d(x,y)$（也可能$x$到$z$的過程中甚至?xí)?#34;遠(yuǎn)離"$y$，那樣就會(huì)比該式更大，對應(yīng)下圖即是鈍角三角形的情況，讀者可自行想像），$\delta$也是對差距的度量，同樣具有非負(fù)性，于是就有了$d(x,y)<d(x,z)+d(z,y)$。通過下面這張圖，可以幫助理解我所說的從$x$到$y$的轉(zhuǎn)變過程及$\delta$的含義：

這樣，我們就分析完了度量空間的定義，總結(jié)就是，我們希望對空間中的點(diǎn)描述其之間的差距，所以引入了度量，從而構(gòu)成了度量空間。后續(xù)我們希望能夠通過更多維度對空間中的點(diǎn)進(jìn)行更為豐富地描述，也就會(huì)定義更多的特殊結(jié)構(gòu)，及包含這些結(jié)構(gòu)的新的空間。

下面舉一個(gè)簡單的度量空間的例子：

設(shè)$X$為集合，$x,y\in X$，定義$d(x,y)=\{\begin{array}{ccc}0,& x=y& \\ 1,& x=y& \end{array}$

要驗(yàn)證該$d$是度量，只要將度量的四條公理依次進(jìn)行驗(yàn)證即可。
1：由$d$的定義可知$d(x,y)\ge 0$恒成立。
2：由$d$的定義可知$d(x,y)=0$只有當(dāng)$x=y$時(shí)成立。
3：由$d$的定義可知$d(x,y)=d(y,x)$
4：若$x=y$，則三角不等式$d(x,y)=0\le d(x,z)+d(y,z)$顯然成立；若$x=y$，則$z=x=y$不成立，則三角不等式$d(x,y)=1\le d(x,z)+d(y,z)$仍然成立。

由此，上述空間確實(shí)是一個(gè)度量空間，該度量被稱為$X$上的離散度量。

1.2 $H\ddot{o}lder$不等式

在介紹大名鼎鼎的$H\ddot{o}lder$不等式之前，我們先來看下面這個(gè)度量空間的例子：

設(shè)$1\le p<\infty$，稱數(shù)列$x=\{x_n\}$為$p$階可和數(shù)列，若下式成立：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p<\infty$
我們用$l^p$表示所有$p$階可和數(shù)列構(gòu)成的集合，對于$x,y\in l^p$，定義
$d_p(x,y)=({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n?y_n{|}^p{)}^{1/p}$

首先該度量定義有界：

首先由絕對值不等式有：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n?y_n{|}^p<{\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n|+|y_n|{)}^p$
再對其進(jìn)行$|x_n|+|y_n|\le 2max\{|x_n|,|y_n|\}$的放縮：
$({\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n|+|y_n|{)}^p\le 2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }max\{|x_n{|}^p,|y_n{|}^p\}$
最后再進(jìn)行$max\{|x_n|,|y_n|\}\le |x_n|+|y_n|$的放縮得：
$2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }max\{|x_n{|}^p,|y_n{|}^p\}\le 2^p{\Sigma }_{n=1}^{\infty }(|x_n{|}^p+|y_n{|}^p)<\infty$

現(xiàn)在看它是否滿足度量四條公理，前三條顯然滿足，不再贅述，第四條三角不等式就不太能夠輕易驗(yàn)證了，我們暫且將它擱置，等我們介紹完$H\ddot{o}lder$不等式，再來證明就非常簡單了。

定理1.1.1 $H\ddot{o}lder$不等式
設(shè)$<1p,q<\infty$且$1/p+1/q=1$(此時(shí)稱$p,q$互為共軛指數(shù))，$x=\{x_n\}\in l^p,y=\{y_n\}\in l^p$.則$\{x_n{y}_n\}\in l^1$,且有：
${\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{y}_n|\le ({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p{)}^{1/p}({\Sigma }_{n=1}^{\infty }|y_n{|}^q{)}^{1/q}$

證明下次再寫吧，今天先到這，嘿嘿

總結(jié)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【个人学习笔记】泛函分析-度量空间（一）——定义与例子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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