直觀理解仿射空間

向量空間（也叫線性空間）我們是很熟悉的，那么可以借助向量空間給仿射空間一個(gè)直觀的定義：仿射空間就是沒(méi)有原點(diǎn)的向量空間。

向量空間沒(méi)有了原點(diǎn)，會(huì)有什么樣的影響？向量是基于原點(diǎn)的，向量有兩個(gè)元素-大小、方向，大小任意給出兩個(gè)點(diǎn)就可以衡量，但沒(méi)有了原點(diǎn)，我們是無(wú)法用一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量方向的，也正因如此，仿射空間包含點(diǎn)集而不單純是向量集。

更進(jìn)一步，沒(méi)有了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的向量，那么向量與向量之間的關(guān)系也發(fā)生了變化，向量空間的2向量之間可以有"+"運(yùn)算；而在仿射空間中，點(diǎn)與點(diǎn)之間沒(méi)有加法運(yùn)算，為了衡量從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，點(diǎn)x需要加上某個(gè)向量v來(lái)的到點(diǎn)y，這個(gè)運(yùn)算過(guò)程叫做translation。

以上，而我們知道定義仿射空間的兩個(gè)要素：1. 沒(méi)有原點(diǎn)的點(diǎn)集。2. 點(diǎn)與點(diǎn)之間的translation運(yùn)算（或者說(shuō)向量V）

正式定義

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一個(gè)仿射空間就是一個(gè)點(diǎn)集X和一個(gè)向量集V（X和V維度相同），它滿足以下公理：?
（1）對(duì)所有?x∈X?和?u,v∈V?，滿足?x+(u+v)=(x+u)+v?。即translation復(fù)合后作用于x等價(jià)于兩個(gè)translation分別作用于x?
（2）對(duì)所有?x∈X?，?x+0=x?，即x加上0向量等于其自身?
（3）對(duì)所有?x∈X?，如果存在?v∈V?，使得?x+v=x?，則?v=0?
（4）對(duì)所有的?x，y∈X?，存在一個(gè)?v∈V?，使得?y=x+v

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仿射變換

相對(duì)于仿射空間，仿射變換就比較容易理解了，我們知道線性變換的幾何意義是圖像的旋轉(zhuǎn)和變形，而仿射變換的幾何意義是旋轉(zhuǎn)和變性再加上位移，所以仿射變換也可以表示為線性變換再加上位移。用矩陣表示的話，線性變換是 y = Ax，而仿射變換是? ? y = Ax + b。

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參考文獻(xiàn)：

[1]?Affine space

[2]?仿射空間（affine space），仿射組合（affine combination）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的仿射空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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