積分變換法（格林函數）求解常微分方程

2018 數一

,求方程解

對應的齊次方程解為

對應的非齊次方程解可設為

很容易得到方程通解

(2)若是周期為T的周期函數，證明方程存在唯一的以周期為T的解

方法一：可進行復數傅里葉展開

? ? ? ? ?

假設存在一周期為T的函數滿足條件，同理可以將進行復數傅里葉展開

可以帶入方程可以得到

由上式可以發現，Bn完全由An確定，由傅里葉級數展開的唯一性知結論證畢

方法二：由格林函數理論知，原方程解可以寫為

? 其中*表示卷積?

其中滿足方程，為狄拉克函數

可以用傅里葉變換求解以上方程

為方便取x'=0

?* 表示卷積

卷積具有平移不變性即

如果

那么

所以

所以h(x)是周期函數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶线性微分方程的格林函数通解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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