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哥德巴赫猜想是一個(gè)純數(shù)學(xué)命題，是偶數(shù)的分類問題。偶數(shù)=奇合數(shù)+奇合數(shù)=奇合數(shù)+素?cái)?shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)。本來沒有問題的事，可在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，總要把每一個(gè)命題是真的還是假的要判斷清楚，德國的一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教師哥德巴赫(1690-1764)想證明“偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)"這個(gè)命題是不是成立的？可他怎么也證不出來，于是，1742年6月7日他寫信給大名鼎鼎的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783)讓他求解，歐拉不以為是，幾天后他在給學(xué)生上課時(shí)突然要給學(xué)生證明哥德巴赫的問題，輕松的說這問題不難，可是一直他在課堂演算了三天也沒有把它拿下，這當(dāng)兒屋外打雷，他借此自嘲的說，老天在懲罰他的自大，這問題可能很難。確實(shí)哥德巴赫猜想存在了270多年了的世界數(shù)數(shù)難題，但它在我這里是一道算術(shù)題了，當(dāng)然，我用了十五年多的時(shí)間才搞清了它的真面目，從2008年發(fā)表《哥德巴赫猜想的證明》(見[1])，到2021年發(fā)表《諸多素?cái)?shù)問題與容斥原理》(見[6])歷時(shí)十三年，這才有底氣的說哥德巴赫猜想是一道初等數(shù)學(xué)題，當(dāng)然，讀者一定心存疑問，不敢相信，但數(shù)學(xué)是邏輯推理的學(xué)問，任何的詭辯在它這里都是無用的，哥德巴赫猜想的許多所謂的“證明″都是如此。

沒有思路沒有方法是無法論證數(shù)學(xué)問題的。幾乎一百年內(nèi)，哥德巴赫猜想的證明似乎還是完全無法進(jìn)行的。直到1931年，當(dāng)時(shí)一個(gè)不知名的年輕蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯尼爾曼(1905-1938)取得一個(gè)完全沒料想到的成就，它使所有的專家都感到吃驚，他證明了每個(gè)正整數(shù)能表示成不超過300000個(gè)(30萬)素?cái)?shù)之和，雖然與證明哥德巴赫猜想當(dāng)初的目標(biāo)來比，這個(gè)結(jié)果是很可笑的，但他的思路開拓了a+b模型的證明之路，在后近二百年的時(shí)間里，人們幾乎沒別的思路，一直沿他的思路把哥德巴赫猜想從“9+9"一直推到陳景潤(1933-1996)的“1+2"止，再也無法推進(jìn)了，所謂的“1+2″就是偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)x素?cái)?shù)，近三百年才論證了一個(gè)“1+2"，說明了攻克它的道路之艱難，無怪乎把哥德巴赫猜想譽(yù)為數(shù)論的明珠也不為過，陳景潤的“1+2"是論證哥德巴赫猜想的最好成果，也讓我們中國人自豪。但在今天看來，幾+幾的思路解決哥德巴赫猜想無疑是隔靴搔癢。但真理就是這樣，真相總是隱藏在表象之下，而真相不一定很復(fù)雜。

近三百年來，全世界研究哥德巴赫猜想的人不計(jì)其數(shù)，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚(1910-1985)，王元(1930-2021)等人在論證哥德巴赫猜想的道路上都留下了足跡。但論證世界性數(shù)學(xué)難題并不是模糊數(shù)論(高等數(shù)論)的專利，初等數(shù)論(精確數(shù)論)也應(yīng)該有份，初等數(shù)論解決哥德巴赫猜想并不是喻為騎自行力登月球的不可能，初等數(shù)論的重要性正象中國著名數(shù)學(xué)家林群(1935-)院士給《初等數(shù)學(xué)研究在中國》刊物的題字所說，“在很多情形，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)難解難分，要進(jìn)一步挖出初等數(shù)學(xué)的潛力"。

哥德巴赫猜想的問題實(shí)質(zhì)是什么？是一個(gè)偶數(shù)表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。2=1+1，4=2+2=1+3，6=1+5=3+3，8=1+9=3+7=5+5等。1奇數(shù)，不把它作素?cái)?shù)，但它符合素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù))的定義:一個(gè)只能用1和自身所整除的正整數(shù)，稱為素?cái)?shù)，2符合素?cái)?shù)的定義，它是唯一的偶素?cái)?shù)。把1不作為素?cái)?shù)，哥德巴赫猜想表述為，任何大于4的偶數(shù)都能表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

對針偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)，我們可以制造它存在的數(shù)學(xué)模型。如，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1。這看似不難，太容易做到了，但它卻是解決問題的鑰匙，重要性在于它把解決哥德巴赫猜想歸納到素?cái)?shù)的篩法中，從而，我們可以篩除合數(shù)，獲取偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)。

篩法原理，只有埃氏篩法原理了，即在一定的數(shù)的范圍內(nèi)，篩除了合數(shù)，留下的就是素?cái)?shù)了。何為篩法？據(jù)說他把一張紙從1，2，3，…寫滿自然數(shù)，挖掉了1和所有的合數(shù)，留下了素?cái)?shù)(這就是人們熟悉的“愛拉托塞姆"(Eratosthems)篩法)，這張紙如篩，故曰篩法。

篩取少量的素?cái)?shù)，是很容易做到的，這卻是入手處。我們常常會(huì)從少量事物或演算中發(fā)現(xiàn)事物的一般規(guī)律，基于特殊包含一般的哲學(xué)原理。反復(fù)研究埃氏篩法，我完成了2008的論文《哥德巴赫猜想的證明》(見，總結(jié)出了素?cái)?shù)，孿生素?cái)?shù)，哥德巴赫猜想個(gè)數(shù)的近似表達(dá)式，但沒有把過程提升到理論層面上。在后面的研究過程中，才發(fā)現(xiàn)自己的埃氏原理篩法是歐拉函數(shù)篩法(在2017年我首次命名，見[4])。

歐拉函數(shù)是什么？如，1到10的10個(gè)自然數(shù)中，與10互質(zhì)的自然數(shù)有(1，3，7，9)四個(gè)數(shù)，記Q(10)=4。一般地，在1到n的自然數(shù)中，與n互質(zhì)的自然數(shù)記為Q(n)即歐拉函數(shù)。把n進(jìn)行乘法分解，若設(shè)它的質(zhì)因子數(shù)是P1，P2，…，Pt(Pt是n的第t個(gè)質(zhì)因子，是最大的素?cái)?shù)，n=p1XP2X…XPt)，那么，

Q(n)=n(1-1/P1)(1-1/P2)…(1-1/Pt).<1>

證明以5的3次方和10為例，可知一般，可由容斥原理予以證明歐拉函數(shù)。

5的3次方是125，在1到125個(gè)自然數(shù)中，與125互質(zhì)的數(shù)或與5互質(zhì)的數(shù)有多少個(gè)？先看125÷5=25反映了什么？反映了125個(gè)自然數(shù)中有25個(gè)含5的因子數(shù)，這是它包含了自然數(shù)集中一個(gè)基本的性質(zhì):任意連續(xù)的a(a>1)個(gè)自然數(shù)中，僅有一個(gè)自然數(shù)能被a所整除。也是我們司空見慣的b÷a=c除法的意義，即在連續(xù)的b個(gè)自然數(shù)中至少含有[c]個(gè)([c]表示取c的整數(shù)部分)能被a整除的自然數(shù)。所以，把自然數(shù)集看成一個(gè)整體1，那么，有(1-1/a)份個(gè)數(shù)不能被a所整除。于是Q(125)=125(1-1/5)=100.

10個(gè)數(shù)中有(1-1/2)份個(gè)數(shù)與2互質(zhì)，有(1-1/5)份個(gè)數(shù)與5互質(zhì)，由乘法原理，這樣與10互質(zhì)的數(shù)為

Q(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=4.

若繼續(xù)挖掘歐拉函數(shù)的隱含意義，就會(huì)發(fā)現(xiàn)Q(2)，Q(2X3)，Q(2X3X5)，…Q(m)的意義，由此我發(fā)現(xiàn)了歐拉函數(shù)篩法。

歐拉函數(shù)篩法

①素?cái)?shù)近似函數(shù)式

設(shè)m=2X3X5X7X…XPt，Pt是第t個(gè)素?cái)?shù)。

從(1，2)中篩除2，留下1；再從(1，3，5)中篩除3，留下了(1，5)；再從(1，5，7，11，13，17，19，25，23，29)中篩除5因子數(shù)，留下了(1，7，11，13，17，19，23，29)，它們的個(gè)數(shù)分別是Q(2)，Q(2ⅹ3)，Q(2Ⅹ3X5)的個(gè)數(shù)值，這樣歐拉函數(shù)Q(m)的意義就明確了，它不旦反映了在1到m個(gè)數(shù)中篩除了2，3，…，Pt的因子數(shù)后留了Q(m)個(gè)與m互質(zhì)的自然數(shù)，也蘊(yùn)含了篩取素?cái)?shù)的方法。

把歐拉函數(shù)推廣到在任意連續(xù)的m個(gè)自然數(shù)中，依然有同樣結(jié)論。也可以把它推廣到孿生素?cái)?shù)存在的數(shù)域中和哥德巴赫猜想存在的數(shù)域中，依然有類似的結(jié)果。正是歐拉函數(shù)的推廣定理(見[4])，讓我們對下面素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的近似函數(shù)式有了準(zhǔn)確的理解。

求n以內(nèi)的素?cái)?shù)，可以用2，3，…，pt(其中pt≤√n)這t個(gè)素?cái)?shù)篩取所有素?cái)?shù)，記A(n)表n以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)(不包含篩碼的個(gè)數(shù)t，但包含1)，即A(n)表示的個(gè)數(shù)是n以內(nèi)的自然數(shù)(或n個(gè)連續(xù)的自然數(shù))中與m互質(zhì)的自然數(shù)個(gè)數(shù)，由于Q(m)也表示了m個(gè)自然數(shù)中與m的互質(zhì)的自然個(gè)數(shù)，所以，它們的平均值近似相等，得

A(n)/n≈Q(m)/m。即

A(n)≈n(1-1/2)(1-1/3){1-1/5)…(1-1/pt).

2008年發(fā)表的《哥德巴赫猜想的證明》文章中，我引進(jìn)了參數(shù)a，使

A(n)=n(1-1/2)(1-1/3){1-1/5)…(1-1/pt)+a.

乎略a后，并給近似式分?jǐn)?shù)之間插入(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)…后，就得到了A(n)≥√n，我把這個(gè)結(jié)果帖在《哥德巴赫猜想吧》里時(shí)，網(wǎng)友進(jìn)行了熱烈討論，有人質(zhì)疑√n+a會(huì)不會(huì)為負(fù)數(shù)？盡管如此，這篇文章我首次把素?cái)?shù)，孿生素?cái)?shù)，哥德巴赫猜想三者統(tǒng)一了起來，就得到了n以素?cái)?shù)個(gè)數(shù)A(n)不少于[√n]個(gè)，n以內(nèi)孿生素?cái)?shù)個(gè)數(shù)B(n)不少于[√n/2]個(gè)，n(偶數(shù))表兩素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)C(n)不少于[√n/4]個(gè)的結(jié)果，這個(gè)結(jié)果讓我們看到哥德巴赫猜想的存在性，可以不夸張的說，也是270多年以來，它是論證哥德巴赫猜想突破性的進(jìn)展！由于這篇文章理論依據(jù)不充分，廣大網(wǎng)友對此心存疑問，這也讓我十多年來不斷研究尋找它的理論依據(jù)。結(jié)果我發(fā)現(xiàn)了顛覆性篩法(見[5])，顛覆性篩法完美的詮釋了素?cái)?shù)的存在性，孿生素?cái)?shù)的存在性和哥德巴赫猜想的存在性，至此，它讓我們清晰看到了這三個(gè)素?cái)?shù)問題的真面目。

②孿生素?cái)?shù)近似函數(shù)式

孿生素?cái)?shù)如(3，5)，(5，7)，(11，13)等，它的存在數(shù)域記為B，B:{(1，3)，(2，4)，…，(m，m+2)}，其中(a，a+2)是集中的元素，元素的性質(zhì)很容易觀察得到，相鄰的兩個(gè)元素中，只有一個(gè)元素含2的因子數(shù)，連續(xù)的a(a>2)個(gè)元素中僅有2個(gè)元素被a整除(指，元素中至少有一個(gè)數(shù)能被a整除)，若m=p1XP2X…ⅹPt(從2開始的t個(gè)素?cái)?shù)之積)，集合B中元素符合了歐拉函數(shù)的條件，得Q(m)=(2-1)(3-2)…(Pt-2)。同樣，也可由歐拉函數(shù)篩法篩取孿生素?cái)?shù)。如

從(1，3)，(2，4)中篩除含2因子的元素，留(1，3)；再從(1，3)，(3，5)，(5，7)中篩除含3因子的元素，留(5，7)；再從(5，7)，(11，13)，(17，19)，(23，25)，(29，31)中篩除含5因子的元素，得(11，13)，(17，19)，(29，31)，接下來給每個(gè)元素構(gòu)造不含2X3X5因子的7個(gè)元素，以(11，13)為例，構(gòu)造的7個(gè)元素是(11，13)，(41，43)，(71，73)，(101，103)，(131，133)，(161，163)，(191，193)，其中只有2個(gè)元素含7因子數(shù)，就這樣繼續(xù)做下去，可得到想要的孿生素?cái)?shù)。

同樣的意義，在集合B中，Q(2)表示了相鄰的兩個(gè)元素中有Q(2)=1個(gè)元素與2互質(zhì)，Q(2X3)表示了連續(xù)的6個(gè)元素中，有Q(2x3)=(2-1)(3-2)=1個(gè)元素與6互質(zhì)，Q(2x3X…ⅹPⅰ)表示了任意連續(xù)的2x3X…ⅹPⅰ個(gè)元素中有Q(2x3X…ⅹPⅰ)個(gè)元素與2x3X…ⅹPⅰ互質(zhì)，這種象現(xiàn)的依據(jù)正是歐拉函數(shù)在孿生素?cái)?shù)存在數(shù)域B中的推廣，由B(n)/n表示集合B中n個(gè)元素與m互質(zhì)的元素個(gè)數(shù)平均值，Q(m)/m也表示了集合B中m個(gè)元素與m互質(zhì)的元素的平均值，所以

B(n)/n≈Q(m)/m，即

B(n)≈n(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)…(1-2/Pt).

仿A(n)的方法，得B(n)≥√n/2≥[√n/2].

③哥德巴赫猜想近似函數(shù)式

命題1:設(shè)集合C:{(1，2n-1)，(2，2n-2)，…，(m，2n-m)，m=2X3X5X7X…XPt(t個(gè)素?cái)?shù)之積，Pt≤√2n)，C(2n)表集合C中n以內(nèi)的元素與m互質(zhì)的元素個(gè)數(shù)(包含(1，2n-1)當(dāng)2n-1是素?cái)?shù)時(shí)的狀況)，那么，

C(2n)≈n(1-1/2)(1-r2/3)(1-r3/5)…(1-rt/Pt)

或C(2n)≥[√2n/4].

其中，當(dāng)Pⅰ整除2n時(shí)，rⅰ=1；當(dāng)Pⅰ不整除2n時(shí)，rⅰ=2。

證明:集合C中元素性質(zhì)是，相鄰的兩個(gè)元素中僅有一個(gè)元素含2因子數(shù)，連續(xù)的a(a>2)個(gè)元素中，若a整除2n，a個(gè)元素中僅有一個(gè)元素能被a整除；若a不整除2n，a個(gè)元素中僅有2個(gè)元素能被a整除。把歐拉函數(shù)推廣到集合C中，有

Q(m)=(2-1)(3-r2)(5-r3)…(Pt-rt).

同樣的意義，Q(2)表示了連續(xù)的2個(gè)元素中有一個(gè)元素與2互質(zhì)，連續(xù)的6個(gè)元素中有Q(6)個(gè)元素與6互質(zhì)，連續(xù)的n個(gè)元素中有C(2n)個(gè)元素與m互質(zhì)，于是有

C(2n)/n≈Q(m)/m.即

C(2n)≈n(1-1/2)(1-r2/3)…(1-rt)/Pt).

得C(2n)≥√2n/4≥[√2n/4].

顛覆性篩法

傳統(tǒng)的篩法是埃氏篩法，從2開始，篩除那些是2的倍數(shù)的數(shù)，再篩除那些是3的倍數(shù)的數(shù)，…。顛覆性篩法正好相反，它從最大篩碼開始篩除那些是它倍數(shù)的數(shù)，由最到小一直篩除到那些是2倍數(shù)的數(shù)止。如

1，2，3，4，5，

6，7，8，9，10，

11，12，13，14，15，

16，17，18，19，20，

21，22，23，24，25。

用5，4，3，2作為篩碼，由大到小進(jìn)行篩除。5篩除了5，10，15，20，25共5個(gè)數(shù)，4篩除了4，8，12，16，24共5個(gè)數(shù)，3篩除了3，6，9，18，21共5個(gè)數(shù)，2篩除了2，14，22共3個(gè)數(shù)，留下了1，7，11，13，17，19，23。

它的規(guī)律是，每個(gè)篩碼篩除的數(shù)的平均值不超過最大的篩碼。

④素?cái)?shù)的存在性證明

命題2， 已知 在數(shù)集A：{1,2，…，p2}（p為大于1的正整數(shù)）中，用A（n）表數(shù)n以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)（不包含p和小于p的素?cái)?shù)，但包含1），p=[√n]（[a]表示正實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分）,那么，A（n）≥[√n](n=4、9、10時(shí)取等號）。

證明 （顛覆性篩法）對于數(shù)集A，依次用連續(xù)的整數(shù)p，p-1，…，2，由大到小進(jìn)行篩除能被它們整除的數(shù)，（p-1）個(gè)篩碼、每個(gè)篩碼平均篩除p個(gè)數(shù)，它們最多篩除了

p（p-1）個(gè)數(shù)，最后至少留下了p個(gè)素?cái)?shù)（包含1）。

它的依據(jù)是除法的意義：在連續(xù)的a(a>1個(gè)正整數(shù)中只有一個(gè)數(shù)能被a所整除，把正整數(shù)集合看成1，那么，能被a整除的數(shù)就有1/a份，留下了不能被a整除數(shù)的（1-1/a）份。即對于PXP/p=P，表示了在數(shù)集A中被p整除的數(shù)有)p個(gè)，留下了pXp(1-1/p)個(gè)不能被p整除的數(shù)； PXP/(p-1)-P/(p-1)=P表示了在數(shù)集A中篩去含p因子數(shù)后又被（p-1）整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，留下了個(gè)不能被p和（p-1）整除的數(shù)pXp(1-1/p)(1-1/(p-1))；…；一直到篩除含2的因子數(shù)個(gè)止，這是假設(shè)篩碼都是互質(zhì)的情況下的極值篩法。

因?yàn)閮蓚€(gè)相鄰的數(shù)中有一個(gè)偶數(shù)，三個(gè)連續(xù)的數(shù)中有一個(gè)3的因子數(shù)，更一般的有命題：設(shè)集合M：{a,2a,…,na},其中，a，n均是大于1的正整數(shù)；集合N：{b,2b,…,nb},其中，b，n均是大于1的正整數(shù)；a,b的最大公約數(shù)是c，記（a,b）=c,那么，集合M中連續(xù)的b/c個(gè)數(shù)中就有一個(gè)數(shù)能被b整除，或集合N中連續(xù)的個(gè)數(shù)a/c中就有一個(gè)數(shù)能被a整除（證明略）。這樣pXp/(p-n)-np/(p-n)=p的意義就明確了:pXp/(P-n)表示了含P-n因子數(shù)的總數(shù)，np/(p-n)表示了在篩去的p，p-1，…，p-n+1因子數(shù)的總數(shù)中含（p-n）因子數(shù)的個(gè)數(shù)；或者，在集合{1,2，…，pXp/(p-n)}（即集合A中含p-n因子數(shù)的總數(shù)）中篩除p，p-1，…，p-n+1各因子數(shù)后，留下的就是（p-n）因子數(shù)了，因?yàn)?#xff0c;其中不含p因子數(shù)的有（1-1/p）份，不含（p-1）的因子數(shù)有（1-/(p-1)）份，…，不含（p-n+1）因子數(shù)有（1-1/(p-n+1）份，由乘法原理，篩除了p，p-1，…，p-n+1各因子數(shù)后留下的（p-n）因子數(shù)有

pXp/(p-n)(1-(p，p-n)/p)(1-(p-1，p-n)/(p-1))…(1，(2，p-n)/2)≤p.（參考文獻(xiàn)[6]）

這里假設(shè)（p-n）與p，p-1，…，p-n+1各篩碼數(shù)都是互質(zhì)的，即（p-n，p）=（p-n，p-1）=…=（p-n，p-n+1）=1，含（p-n）因子數(shù)最多為p個(gè)；如果（p-n）與其中一些篩碼不互質(zhì)，那么它含（p-n）的因子數(shù)更少。但當(dāng)（p-n）為素?cái)?shù)（p-n>p/2）時(shí)，且它與p，p-1，…，p-n+1都互質(zhì)，它篩除的數(shù)的個(gè)數(shù)有可能多于p的情況，然而，合數(shù)篩除的數(shù)的個(gè)數(shù)又不多于p，所以其平均值不多于p。

所以，在假設(shè)篩碼都是互質(zhì)的情況下，篩除是過度的，因而，從pXp以內(nèi)的正整數(shù)中最多篩去p（p-1）個(gè)的數(shù)，至少留下p個(gè)素?cái)?shù)，關(guān)系式表示為

pXp(1-1/p)(1-1/(p-1))…(1-1/2)=P.

對于A(n)，這里p=[√n]。所以，A(n)≥[√n](n=4,9，10時(shí)取等號).

⑤孿生素?cái)?shù)存在性的證明

命題3 已知 在集合B：{（1,3），（2,4），…，（p2，p2+2）}（p為大于2的正整數(shù)）中，用B（n）表n以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)（不包含p和小于p的孿生素?cái)?shù)）個(gè)數(shù)，p=[√n],那么，B(n)≥[√n/2].

證明 （顛覆性篩法）在集合B中，相鄰的兩個(gè)元素中僅有一個(gè)元素含2的因子數(shù)，連續(xù)的a（a>2）個(gè)元素中，僅有兩個(gè)元素能被a所整除（指，元素中至少有一個(gè)數(shù)能被a所整除）。

當(dāng)P為大于2的奇數(shù)時(shí)，依次用連續(xù)的奇數(shù)p，p-2，…，3和2，篩除集合B中能被它們整除的元素；當(dāng)p為大于2的偶數(shù)時(shí)，依次用P與連續(xù)的奇數(shù)p-1，p-3，…，3和2，篩除集合B中能被它們整除的元素，最后留下的元素就是孿生素?cái)?shù)，關(guān)系式表示為

pXp(1-2/p)(1-2/(p-2))…(1-2/3)(1-1/2)=P/2（p為奇數(shù)）；

pXp(1-1/p)(1-2/(p-1))(1-2/(p-3))…(1-2/3)(1-1/2)=P/2(為偶數(shù)）.

它的意義與命題2相同，若p是大于2的奇數(shù)時(shí)，假設(shè)篩碼都是互質(zhì)的，每個(gè)奇數(shù)平均篩除2p個(gè)元素，即p，p-2，…，5，3奇數(shù)最多篩去p（p-1）個(gè)的元素，至少留下p個(gè)元素，最后再篩除含2因子的元素；若p是大于2的偶數(shù)時(shí)，先篩除個(gè)被p整除的元素，再用連續(xù)的奇數(shù)p-1，p-3，…，3進(jìn)行篩除，(p-2)/2個(gè)奇數(shù)最多篩去p（p-2）個(gè)的元素，至少留下p個(gè)元素，最后再篩除含2因子的元素。即在集合B中，至少存在[p/2]個(gè)與互質(zhì)的孿生素?cái)?shù)。

因?yàn)閜=[√n]，所以，B(n)≥P/2≥[√n/2](n=9,10，16, 25，26,27，28,36，37,38,39，40時(shí)取等號).

⑥哥德巴赫猜想存在性的證明

命題4 已知 在集合C：{（1,2n-1），（2,2n-2），…，（p2，2n-p2）}中，n(大于7)和p都為正整數(shù)， p=[√2n ]，用C（2n）表示偶數(shù)2n表兩素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)（不包含p和小于p的兩素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù),但包含“2n=1+素?cái)?shù)”可能成立的情況）。那么，C(2n)≥ [√2n/4](n=8時(shí)取號).

證明 （顛覆性篩法）在集合C中，在連續(xù)的a個(gè)元素中，若a整除2n，則僅有一個(gè)元素能被a整除；若a（a>2）不整除2n，則僅有2個(gè)元素能被a整除。易驗(yàn)證C(4)=1,C(6)=C(8)=2,C(10)=1,C(12)=C(14)=2,C(16)=1.

若p為大于2的偶數(shù)，依次用p與連續(xù)的奇數(shù)p-1，p-3，…，3和2對集合C進(jìn)行篩除；若p為大于2的奇數(shù)，依次用連續(xù)的奇數(shù)p，p-2，…，3和2對集合C進(jìn)行篩除，最后留下的就是（素?cái)?shù)，素?cái)?shù)）元素（或稱“1+1”數(shù)對）了。假設(shè)每個(gè)大于2的篩碼都不整除2n，那么，此題的篩法過程和命題2的篩法過程就完全一致，由于集合C中含有（a，b）和（b，a）的對稱元素，留其一個(gè)，最后可得所求的“1+1”數(shù)對的元素了，關(guān)系式表示為

pXp(1-2/p)(1-2/(p-2))…(1-2/3)(1-1/2)X1/2=P/4（p為奇數(shù)）；

pXp(1-1/p)(1-2/(p-1))(1-2/(p-3))…(1-2/3)(1-1/2)x1/2=P/4(為偶數(shù)）.

綜上，偶數(shù)2n表兩素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)不少于[p/4]個(gè)，即

C(2n)≥[p/4]=[√2n/4]（n=8時(shí)取等號）.

可以看到，素?cái)?shù)、孿生素?cái)?shù)、哥德巴赫猜想三者的存在性是統(tǒng)一的問題，由顛覆性篩法得到了它們工整且優(yōu)美的存在性結(jié)果，顛覆性篩法也為篩取素?cái)?shù)的家族里增加了一個(gè)新的方法。

至此，哥德巴赫猜想從提出到現(xiàn)在已經(jīng)280年了，全世界研究它的人不計(jì)其數(shù)，在中國研究它的人也無法統(tǒng)計(jì)，也出現(xiàn)了眾多的“哥德巴赫猜想的證明”文章，但在我接觸過的關(guān)于哥德巴赫猜想的文章里，幾乎沒有人知道哥德巴赫猜想的極小值是[√2n/4]。我研究哥德巴赫猜想也受到了上世紀(jì)70年代徐遲的文章《哥德巴赫猜想》的影響，我從心里崇拜陳景潤，在我教師生涯中，必然會(huì)解答許多數(shù)學(xué)題，也會(huì)研究一些數(shù)學(xué)難題，研究哥德巴赫猜想是在突然的靈感下展開的持續(xù)性的工作，到現(xiàn)在我給它劃上了句號。那么，我證明的哥德巴赫猜想到底給數(shù)學(xué)領(lǐng)域增添了什么？我想，最主要的是我的思想方法，其次是歐拉函數(shù)的推廣定理，歐拉函數(shù)篩法和顛覆性篩法，它們都是我首以提出的，在這里，我想起了著名數(shù)學(xué)家王元說過的話，他說：“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以它作為模型，可以給數(shù)學(xué)帶來新的方法、新的概念和新的理論。如果一個(gè)問題的證明不能帶來新方法、新思想和新理論，那么這個(gè)問題就不重要，這樣的問題多得很。”

他指出哥德巴赫猜想是一個(gè)的數(shù)學(xué)模型，正因?yàn)檫@樣的思想，我建立了本文描述的素?cái)?shù)、孿生素?cái)?shù)、哥德巴赫猜想存在的三個(gè)數(shù)集A，B，C。憑借這三個(gè)數(shù)集，應(yīng)用了歐拉函數(shù)的推廣定理，才得到了它們近似的函數(shù)表達(dá)式，歐拉函數(shù)的推廣定理的重要性會(huì)逐漸體現(xiàn)出來，如，用它很容易證明類似的素?cái)?shù)組(5，7，11)是無限的，還有型如(5，7，11，13)的素?cái)?shù)組也是無限的，等等。

我一個(gè)平凡的中學(xué)數(shù)學(xué)教師取得這點(diǎn)成績已經(jīng)很滿足了，哥德巴赫猜想雖是世界性數(shù)學(xué)難題，證明了它就證明了，證明了它不會(huì)改變什么，或許可能，它會(huì)使許多人不必為它再去浪費(fèi)許多時(shí)間精力了。謝謝讀者！

參考文獻(xiàn)：

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明[A]，中國管理科學(xué)文獻(xiàn)[C]，2008年.主編王興成 陳貴；846頁.

[2] 李科技，哥德巴赫猜想“1+1”的證明[J]，渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.s.第96頁.

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[5] 李擴(kuò)繼，容斥原理的應(yīng)用[J]，中國高新區(qū)，2019，（22）:51-53頁.

[6] 李擴(kuò)繼，諸多素?cái)?shù)問題與容斥原理[J]，初等數(shù)學(xué)研究在中國（第3輯），2021.5，主編?楊學(xué)枝?劉培杰；68-75頁.

編輯于 2022-01-25 05:22?·?著作權(quán)歸作者所有

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