一、橢圓定義與標準方程

1. 橢圓定義

$$橢圓定義：到兩頂點距離之和為定值的曲線$$

2. 標準方程

$$標準方程：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

3. 證明等價

為了方便計算，從定義到標準方程，即
$$證明：到兩點F_1(?c,0),F_2(c,0)距離之和為定值2a的運動軌跡滿足方程:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b^2=a^2?c^2)$$
推導過程
$$
\begin{align}

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y2}&=2a\
\sqrt{(x+c)^2 + y^2}&=2a - \sqrt{(x-c)^2+y2}\
x^2+2cx+c2+y^2 &=4a^{2-4a\sqrt{(x-c)}2+y^2}+x2-2cx+c^2+y2\
4a^{2-4cx&=4a\sqrt{(x-c)}2+y^2}\
a^2-cx &=a\sqrt{(x-c)^2+y2}\
a^4-2a2cx+c^2x2&=a^2(x2-2cx+c^2+y2)\
(a^2-c2)x^2+a2y^2&=a2(a^2-c2) \
\frac{x^2}{a2}+\frac{y^2}{b2}&=1 \qquad// b^2=a2-c^2
\end{align}
$$
由于每步都是等價的，所以反過來也可以由標準方程推出定義

二、切線方程

問題

$$\begin{gathered} 已知：橢圓參數方程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ 求：過橢圓上一點M(x_0,y_0)的切線l \end{gathered}$$

解法

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? &對于方程關于x求導得到\f…

三、橢圓光學性質

橢圓的光學性質：從一個焦點發出的光線，都會匯聚到另一個焦點。

問題描述：

$$\begin{gathered} 證明：橢圓的焦點F_1,F_2,以及橢圓上任意一點C(C不和F_1{F}_2共線)，作C的角平分線l,過C點作l的垂線m \\ 則m為橢圓的切線 \end{gathered}$$

證明思路：

$作C{F}_1關于m的對稱線段CA。容易證明A、C、F_2共線，而對于m上不是C的點P都有：$
$$P{F}_1+P{F}_2=PA+P{F}_2>AC+C{F}_2=2a$$
$也就是說P{F}_1+P{F}_2>2a,即P點落在橢圓外。直線m與橢圓只有C一個交點，即m是橢圓的切線$

離心率（e=$\frac{c}{a}$）

$e=\frac{c}{a}$

因為a>c>0，所以0<e<1。e越趨近1，則c越趨近a，從而b趨近0，橢圓越扁；反之e越趨近0，c越趨近0，b越趨近a，橢圓就越趨近于圓

橢圓第二定義

另外圓錐曲線第二定義：$平面上一點到一個定點和定直線的距離之比小于1時，軌跡是橢圓；等于1時，軌跡是拋物線，大于1時，軌跡是雙曲線$

證明：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? 根據已知有:\frac{\s…

準線（$x=\pm \frac{a^2}{c}$）

焦準距（p=$\frac{b^2}{c}$）

焦點到相應準線的距離，比如右焦點$(c,0)$到右準線$x=\frac{a^2}{c}$，為定值: $p=\frac{b^2}{c}$

焦半徑（r=$a\pm ex$或者$\frac{ep}{1\pm e\cos \theta }$）

橢圓上一點到橢圓焦點的距離稱為焦半徑，如下圖；在這種情況下$r=a?ex$

推導過程用標準方程計算，去湊$a?ex$即$a?\frac{c}{a}x$就可以了

或者利用橢圓第二定義證明（更快）

第二種：$r=\frac{ep}{1\pm e\cos \theta }$

證明：$橢圓上一點到右焦點距離r=\frac{ep}{1+e\cos \theta }$
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? &設P到右準線的距離為m，則…
同理易證：$到左焦點距離r=\frac{ep}{1?e\cos \theta }$

通徑（d=$2ep$）

過焦點，垂直于主軸的弦長$d=2ep$

性質：所有過焦點的弦中最短的

證明：通徑是所有過焦點的弦中，最短的那條

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? 如圖：則AB&=AF_2+B…

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? &當\theta=\pi/2…

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【圆锥曲线】椭圆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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