目錄

• 1. 背景和思路
• 2. 李雅普諾夫第二方法
• 3. 李雅普諾夫穩定性分析
• 4. 例題
• 5. 參考文獻

1. 背景和思路

系統穩定：系統儲存的總能量持續地減小，直至耗盡，系統狀態就會趨于平衡態
穩定性考察：考察一個正值的能量函數$V(x)$和它的變化率$\dot{V}(x)$來判斷。若$\dot{V}(x)$始終為負，則系統穩定。
困難：對于一般的動態系統，并不是總能明確地定義一個能量函數
解決方案：用一個正定的標量函數作為系統的廣義能量函數
這個標量函數是什么：運用李雅普諾夫第二方法判斷系統穩定性時，常常采用二次型的標量函數。所謂二次型函數，是指形如
$$V(x)=x^{T}Px$$
的函數，這里P是實對稱矩陣。設

則V的正定性可以用西爾維斯特(Sylvester) 準則來判斷：
（1）二次型正定：即P矩陣正定：順序主子式都大于0
（2）二次型（或P）負定：充要：P的主子式滿足：

注：
要求正定，則說明V是正值能量函數，要求二次型，則符合能量特征。

2. 李雅普諾夫第二方法

取非線性定常系統狀態方程為：
$$\dot{x}(t)=F(x(t))$$
系統平衡狀態為：$x_e=0$
定理1：
（尋找李雅普諾夫函數，使得系統漸近穩定）
（1）對于具有連續一階偏導數的標量函數V(x)，如果V(x)正定，V(x)的導數負定，則系統平衡狀態是漸近穩定的，這樣的V(x)就是系統的一個李雅普諾夫函數。
（2）如果在（1）成立的情況下，V(x)還滿足徑向無界條件：

那么平衡狀態在整個狀態空間中是大范圍漸近穩定的。（意義見后面例題）
問題：在定理1中，如果V的導數是半負定的，一般只能確定系統平衡狀態在李雅普諾夫意義下是穩定的，但不能確定其漸近穩定性。
解決方案：加一個限制條件，見定理2。
定理2：
（沒找到滿足定理1的李雅普諾夫函數，但是找到了自身正定、導數半負定的V，也想實現漸近穩定性）
如果V在系統狀態方程的任一非零解的狀態運動軌跡上不恒為0，那么系統的平衡狀態也是漸近穩定的（#跟減函數相似）。如果V徑向無界，那么系統是大范圍漸近穩定的。

定理3：
（判斷系統的不穩定性）
如果找到了有連續一階偏導數的標量函數V，滿足V正定，V的導數也正定，那么系統平衡狀態是不穩定的。

3. 李雅普諾夫穩定性分析

對于只有唯一平衡狀態的線性定常系統，平衡狀態的大范圍穩定性與系統的穩定性是一回事，因此就不加區分了。下面將分別介紹用李雅普諾夫第二方法（下稱李二法）來分析線性定常連續時間系統和線性定常離散時間系統的穩定性。
（1）線性定常連續時間系統
狀態方程：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)$$
系統唯一平衡態：$x_e=0$
李函數變化率：

記

為了使系統漸近穩定，Q應該正定。
問題：有時候P選得不好，Q既不是正定的也不是負定的，就不能用李二法判斷系統穩定性了。
解決方案：實際用李二法的時候，一般先確定一個正定的Q，然后求解下面的李方程：
$$A^{T}P+PA=?Q$$
再找到正定的P。只要系統是漸近穩定的，那么這個李方程就一定存在正定解。也就是說，已知系統漸近穩定，那么一定存在李函數。這和前面用李函數判斷漸近穩定性剛好反過來。這也就有了定理4。
定理4：
線性定常連續時間系統漸近穩定的充要條件：對任意給定的正定矩陣Q，存在正定矩陣P為李方程的解。
因為Q是任意的，所以一般來說，Q取單位陣，最簡單了。
（2）線性定常離散時間系統
系統狀態方程：$x(k+1)=Ax(k)$
系統唯一平衡態：$x_e=0$
李函數：$V(x)?=?x^{T}Px$
因為是離散時間系統，所以用V(x(k+1))-V(x(k))作為變化率：

同樣設：$Q=?(A^{T}PA?P)$
為了讓系統漸近穩定，Q應該是正定的。和連續時間系統一樣，一般也是先確定Q，然后求解李方程：
$$A^{T}PA?P=?Q$$
找到正定的P。同樣，有定理5：
定理5：
線性定常離散時間系統漸近穩定的充要條件：對任意給定的正定矩陣Q，存在正定矩陣P，成為李方程的解。
同樣，一般取Q為單位陣。

4. 例題

1. 判斷非線性定常系統穩定性：

首先這是二維系統。P是自己選的，要找一個2*2的矩陣。
先確定穩態：兩個x的導數都為0，解出來是x1=x2=0，所以穩態是[0,0]’。
P取為I2，得到李雅普諾夫函數：

只要選正定的P，那么V(x)就是正定的，要驗證的只是它的導數的負定性：

計算的時候代入x1和x2的導數的表達式就可以。這里a>0，V的導數是負定的。所以平衡狀態是漸近穩定的。
另外，當||x||無窮的時候，V也無窮，所以系統在整個狀態空間中是大范圍漸近穩定的。
大范圍漸近穩定的意義：

2. 判斷非線性定常系統穩定性：

平衡狀態：[0,0]’。
選擇P=I2，李雅普諾夫函數：

導數：

只有在x2=0和x2=-1兩條直線上，導數為0，所以V的導數是半負定的。

3. 判斷線性定常系統穩定性：

平衡狀態：[0,0]’
李雅普諾夫函數：

變化率：

所以平衡狀態是不穩定的。
4. 判斷線性定常系統穩定性：

唯一平衡狀態：原點。
取Q為單位陣，則李方程為：

整理成方程組：

因為P是對稱的，所以

從而：

利用西爾韋斯特準則，可以得到：

所以P是正定的。所以系統是漸近穩定的。
但這里的Q是指定的，按理說要對任意給定的Q都存在P作為方程的解才行啊，不應該用一般的形式來證明嗎？不需要，因為既然找到了合適的P，使得V正定，V的變化率負定，那么系統已經是漸近穩定的了。
5. 求線性定常離散時間系統的穩定性條件：

取Q為單位陣，解李方程：

寫成方程組：

考慮P的對稱性，解得：

要讓P正定，必須滿足：

解不等式得到：

這就是線性定常離散時間系統漸近穩定的充要條件了。這和用離散時間系統穩定性代數判據得到的結論是一樣的。

5. 參考文獻

[1] 田玉平，蔣珉，李世華．自動控制原理[M]．北京：科學出版社，2006

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析+例题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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