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离散系统的李雅普诺夫稳定判据

發(fā)布時間：2023/12/20 windows 32 豆豆

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離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

任意離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

??設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： $f[X(k),k],\ k\geq0$ 其中， $X (k)$ 是系統(tǒng)在 $k$ 時刻的狀態(tài)向量， $X (k + 1)$ 是系統(tǒng)在 $k + 1$ 時刻的狀態(tài)向量，函數(shù) $f$ 可以是線性的也可以是非線性的；并且有 $f [0, k] = 0$ ，即 $X (k) = 0$ 時為系統(tǒng)的平衡點，記為 $X_e$ 。
??假定在 $X_e=0$ 的某一鄰域 $Ω\Omega$ 內(nèi)有一個正定標(biāo)量函數(shù) $V [X (k)]$ ，簡記為 $V_k$ ，即 $X(k)≠0,Vk>0X(k)=0,Vk=0X(k)\neq0,\ V_k >0 \\ X(k)=0,\ V_k = 0$
對于 $ΔVk=V(k+1)?V(k)\Delta V_k=V(k+1)-V(k)$ 有以下三種情況：
（1） $V_k$ 的增量半負(fù)定，即 $=0,\ \Delta V_k=0 \\ X(k)\neq 0,\ \Delta V_k \leq0$ 則該系統(tǒng)平衡點 $X_e=0$ 在其鄰域 $Ω\Omega$ 內(nèi)是一致穩(wěn)定的；
若同時還滿足：當(dāng) $∣∣X(k)∣∣→∞||X(k)||\rightarrow\infty$ 時， $Vk→∞V_k\rightarrow\infty$ ，則該系統(tǒng)平衡點 $X_e = 0$ 為大范圍一致穩(wěn)定；
（2） $V_k$ 的增量負(fù)定，即 $=0,\ \Delta V_k=0 \\ X(k)\neq 0,\ \Delta V_k < 0$ 或 $ΔVk≤0,Vk≡?0\Delta V_k\leq0,V_k \not \equiv0$ 則該系統(tǒng)平衡點 $X_e=0$ 在其鄰域 $Ω\Omega$ 內(nèi)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的；
若同時還滿足：當(dāng) $∣∣X(k)∣∣→∞||X(k)||\rightarrow\infty$ 時， $Vk→∞V_k\rightarrow\infty$ ，則該系統(tǒng)平衡點 $X_e = 0$ 為大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定；
（3） $V_k$ 的增量正定，即 $=0,\ \Delta V_k=0 \\ X(k)\neq 0,\ \Delta V_k > 0$ 則該系統(tǒng)平衡點 $X_e=0$ 在其鄰域 $Ω\Omega$ 內(nèi)是是不穩(wěn)定的；
若同時還滿足：當(dāng) $∣∣X(k)∣∣→∞||X(k)||\rightarrow\infty$ 時， $Vk→∞V_k\rightarrow\infty$ ，則該系統(tǒng)平衡點 $X_e = 0$ 為大范圍不穩(wěn)定。

注：對于一致系統(tǒng)，由于 $ΔVk≤0\Delta V_k\leq0$ ，系統(tǒng)可能存在閉合的狀態(tài)運動軌線（相軌跡），滿足 $ΔVk=0\Delta V_k =0$ ，系統(tǒng)就不會收斂到平衡點而是收斂到閉合軌線，在非線性系統(tǒng)中，這種閉合軌線就稱為極限環(huán)，系統(tǒng)的狀態(tài)運動為等幅振蕩形式。

線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

??設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 $X (k + 1) = A X (k)$ $X_e =0$ 是系統(tǒng)的平衡點。 $A$ 為 $n×nn\times n$ 型非奇異矩陣。取李雅普諾夫函數(shù) $V_k = V[X(k)]=X^T(k)PX(k)$ 其中，P是 $n×nn\times n$ 正定的的實對稱常數(shù)矩陣。顯然有 $V_k$ 是正定標(biāo)量函數(shù)。
?? $V_k$ 的增量為 $ΔVk=Vk+1?Vk=XT(k+1)PX(k+1)?X(k)TPX(k)=[AX(k)]TP[AX(k)]?XT(k)PX(k)=XT(k)[ATPA?P]X(k)\begin{aligned}\Delta V_k &=V_{k+1}-V_k=X^T(k+1)PX(k+1)-X(k)^TPX(k)\\&=[AX(k)]^TP[AX(k)]-X^T(k)PX(k)\\&=X^T(k)[A^TPA-P]X(k)\end{aligned}$ 令 $Q = A^TPA-P$ ，顯然當(dāng)Q是正定的，則 $A^TPA-P$ 是負(fù)定的，相應(yīng)的 $ΔVk\Delta V_k$ 也是負(fù)定的，因而系統(tǒng)的平衡點 $X_e = 0$ 是漸近穩(wěn)定的，也是大范圍漸近穩(wěn)定的。

注：通常取正定對稱矩陣Q為單位矩陣，即 $Q = I$ ，求取對稱矩陣P，并驗證其正定性，若P陣是正定的，則系統(tǒng)平衡點 $X_e=0$ 一定是大范圍漸近穩(wěn)定。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的离散系统的李雅普诺夫稳定判据的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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