前言【高等数学教程（单变量微积分）】
前言【高等數(shù)學(xué)教程（單變量微積分）】
1. 什么是高等數(shù)學(xué)？
目前大部分高等院校教授的高等數(shù)學(xué)(advanced mathematics)課程內(nèi)容主要是微積分(calculus)。
1.1 微積分的發(fā)明
微積分有兩位主要的發(fā)明人，牛頓和萊布尼茨。
牛頓除了是數(shù)學(xué)家，還是物理學(xué)家，他研究微積分，在很大程度上是為了解決力學(xué)問(wèn)題。
第一個(gè)就是有關(guān)加速度、速度和距離的關(guān)系。這三者的關(guān)系只能通過(guò)微積分來(lái)描述，加速度是速度的導(dǎo)數(shù)，速度又是距離的導(dǎo)數(shù)。
第二個(gè)是動(dòng)量和動(dòng)能，以及撞擊力的關(guān)系。動(dòng)量是動(dòng)能的導(dǎo)數(shù)，撞擊力是動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)。
第三個(gè)是天體運(yùn)行的向心加速度問(wèn)題，它是速度的導(dǎo)數(shù)，而萬(wàn)有引力則是向心加速度的來(lái)源。
萊布尼茨除了是數(shù)學(xué)家，還是一個(gè)哲學(xué)家和邏輯學(xué)家。他的哲學(xué)思想和邏輯思想概括起來(lái)有兩點(diǎn)。
我們所有的概念都是由非常小的、簡(jiǎn)單的概念復(fù)合而成，它們?nèi)缤帜富蛘邤?shù)字，形成了人類(lèi)思維的基本單位。
這在微積分上反映出他提出了微分dx、dy這樣無(wú)窮小的概念。
簡(jiǎn)單的概念復(fù)合成復(fù)雜概念的過(guò)程是計(jì)算。
比如在計(jì)算曲線和坐標(biāo)軸之間的面積時(shí)，萊布尼茨的思想是把這個(gè)不規(guī)則形狀拆分成很小的單元，然后通過(guò)加法計(jì)算把它們組合起來(lái)。
基于這樣的哲學(xué)思想，萊布尼茨把微積分看成是一種純數(shù)學(xué)的公具，這個(gè)工具把宏觀的數(shù)量，拆解為微觀的單元，再把微觀的單元，合并成宏觀的積累，這便是微分與積分。
微積分發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)長(zhǎng)達(dá)幾個(gè)世紀(jì)，我們今天使用的微積分的符號(hào)，大部分是萊布尼茨留下的。現(xiàn)在比較公認(rèn)的觀點(diǎn)是兩人共同發(fā)明了微積分。
1.2 微積分的主要內(nèi)容
微積分是關(guān)于運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)，主要分為微分和積分兩部分內(nèi)容，微分學(xué)把復(fù)雜的問(wèn)題分割成無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)單的部分，而積分學(xué)則把這些部分重新組合到一起，去解決原本那個(gè)更復(fù)雜的問(wèn)題。
1.2.1 微分
中學(xué)的時(shí)候我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)再往前一點(diǎn)就是微分。
在高中學(xué)習(xí)瞬時(shí)速度的時(shí)候，瞬時(shí)速度V等于Δt趨于0時(shí)，ΔS除以Δt的值，ΔS就是位移的微分。
對(duì)此一般性的函數(shù)，我們用dx表示自變量趨于零的情況，用dy表示函數(shù)的微分。
如果我們對(duì)比一下導(dǎo)數(shù)的定義f'(x) = Δy/Δx，其中Δx趨近于零，以及微分的定義dy =f'(x)dx，就可以看出導(dǎo)數(shù)和微分定義有所不同，但本質(zhì)上講的其實(shí)是一回事，因?yàn)棣和Δy趨近于零之后，就是dx和dy。有時(shí)人們直接將導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成f'(x) =dy/dx。
1.2.2 積分
積分是要從動(dòng)態(tài)變化來(lái)看累積效應(yīng)。
比如對(duì)于速度來(lái)講，累積效應(yīng)就是走過(guò)的距離。在中學(xué)物理中，如果物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度是個(gè)常數(shù)，v-t圖像就是在坐標(biāo)軸上和橫軸平行的直線，因此物體位移是速度乘以時(shí)間，是個(gè)長(zhǎng)方形。稍微復(fù)雜一點(diǎn)的情況是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，這也高中物理重點(diǎn)考查的內(nèi)容。但在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，速度是一個(gè)隨著時(shí)間不斷變化的函數(shù)，忽快忽慢，那么在這樣的速度下走過(guò)的距離就需要考慮每一時(shí)刻的動(dòng)態(tài)變化了，積分就是提供這樣的工具。在沒(méi)有積分這個(gè)工具之前，人們只能通過(guò)平均值，大致了解累積效應(yīng)，但是估計(jì)得非常不準(zhǔn)確。有了積分，就能把握每一個(gè)細(xì)節(jié)對(duì)最后整體的影響。
人生就是一個(gè)不斷積分的過(guò)程，過(guò)去經(jīng)歷的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，吃的每一口飯，走得每一步路，塑造了現(xiàn)在的你。
2. 高等數(shù)學(xué)有什么用？
微積分在近現(xiàn)代科研領(lǐng)域的應(yīng)用方方面面，微積分對(duì)個(gè)人思維能力的培養(yǎng)也大有裨益。
2.1在科學(xué)中的應(yīng)用舉例
先舉幾個(gè)微積分在近現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中的應(yīng)用，來(lái)體會(huì)一下微積分的偉大力量。
2.1.1 圓周率
在小學(xué)的時(shí)候?qū)W過(guò)祖沖之首次將圓周率精算到小數(shù)第七位，也學(xué)過(guò)用割圓術(shù)求圓周率的方法。
但是現(xiàn)在，圓周率已經(jīng)被計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后幾十萬(wàn)億位，這是微積分的功勞。
在用微積分圓周率的方法中，圓周率被定義為無(wú)盡過(guò)程的難以達(dá)到的極限，圓周率既沒(méi)有可見(jiàn)的終點(diǎn)，也沒(méi)有可知的極限，然而，圓周率確實(shí)存在。
微積分是用無(wú)窮來(lái)研究有窮，用無(wú)限來(lái)研究有限，用直線來(lái)研究曲線，無(wú)窮原則是解鎖曲線之謎的鑰匙，而且它最早出現(xiàn)在圓周率之謎中。
2.1.2 麥克斯韋預(yù)言電磁波的存在
中學(xué)物理學(xué)過(guò)一個(gè)變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場(chǎng)，一個(gè)變化的磁場(chǎng)又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的電場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)交替變化，每個(gè)場(chǎng)都會(huì)引導(dǎo)另一個(gè)場(chǎng)向前運(yùn)動(dòng)，一起以行波的形式向外傳遞能量，即電磁波。
這個(gè)結(jié)論最初是麥克斯韋通過(guò)計(jì)算得出的，當(dāng)麥克斯韋計(jì)算這種波的速度時(shí)，他發(fā)現(xiàn)它是以光速運(yùn)動(dòng)的，因此，他不僅利用微積分預(yù)測(cè)出電磁波的存在，還解開(kāi)了一個(gè)古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識(shí)到，光就是一種電磁波。
麥克斯韋的電磁波預(yù)測(cè)促使赫茲通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了電磁波的存在。后來(lái)有了無(wú)線電通信系統(tǒng)，有了電報(bào)、電視、電話、電腦、互聯(lián)網(wǎng)、5G。
微積分不可能獨(dú)立做到這一切。但顯而易見(jiàn)的是，如果沒(méi)有微積分，這一切就不會(huì)發(fā)生。
2.1.3 CT成像
CT 掃描中的 C 代表 computerized（電子計(jì)算機(jī)化的），T 代表 tomography（斷層成像），指的是通過(guò)把某個(gè)物體切成薄片，使其實(shí)現(xiàn)可視化的過(guò)程。
CT 掃描利用 X 射線，一次一個(gè)切片地為某個(gè)器官或組織成像。當(dāng)一位患者置身于 CT 掃描儀中時(shí)，X 射線會(huì)從許多不同的角度穿過(guò)他的身體，另一側(cè)的探測(cè)器則負(fù)責(zé)做記錄。在微積分、傅里葉分析、信號(hào)處理和計(jì)算機(jī)的幫助下，CT 軟件可以推斷出 X 射線穿過(guò)的組織、器官或骨骼的性質(zhì)，并生成這些身體部位的詳細(xì)圖像。
2.2 對(duì)個(gè)人思維能力的培養(yǎng)
高等數(shù)學(xué)思維對(duì)個(gè)人理解生活也會(huì)帶來(lái)的一些幫助。
2.2.1 有限和無(wú)窮
微積分中多得是有限和無(wú)窮的計(jì)算問(wèn)題，學(xué)習(xí)微積分能夠更加深刻地認(rèn)識(shí)到生活中的事物的有限與無(wú)窮。
關(guān)于有限
- 一天存100元，一個(gè)月存3000元，工作30年，也不過(guò)存90多萬(wàn)，即便房?jī)r(jià)不上漲，大部分人存錢(qián)到退休也很難買(mǎi)房，這是人生的有限，更何況大部分人很難一個(gè)月存3000元，房?jī)r(jià)也不可能在未來(lái)30年的范圍不上漲。
- 有的人遇到問(wèn)題總是自己想辦法解決，不舍得花錢(qián)請(qǐng)別人幫忙解決，其實(shí)人的一生時(shí)間精力很有限，要把時(shí)間花在最有意義有價(jià)值的事情上，在一件事情上獲得復(fù)利收益，得到的回報(bào)足以請(qǐng)別人幫忙解決許多問(wèn)題。
- 有的人趁雙11打折買(mǎi)了許多東西，買(mǎi)回來(lái)的吃的東西可能過(guò)期了也沒(méi)有吃，買(mǎi)回來(lái)的用的東西可能很久都沒(méi)有用上，還不如把錢(qián)花在別的有意義的地方，這是沒(méi)有認(rèn)識(shí)到實(shí)際消費(fèi)需求的有限。
- 有的人在遇到了好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、好的工作機(jī)遇、好的發(fā)展對(duì)象，沒(méi)有盡力去把握，以為還會(huì)有更好的，但實(shí)際人生能夠遇到的好的事情是極為有限的，遇到了就要盡全力去把握，這一點(diǎn)用統(tǒng)計(jì)概率來(lái)理解也同樣適用。
關(guān)于無(wú)窮
- 拼多多砍一刀，永遠(yuǎn)差0.01，這是無(wú)窮。雖然在數(shù)學(xué)上它可能是有限的，但在有限的生活中它是無(wú)窮的。
- 內(nèi)卷是無(wú)窮的，在同一件事情上不是努力就能勝過(guò)別人，別人同樣在努力，當(dāng)所有人都在同一件事情上不惜一切代價(jià)競(jìng)爭(zhēng)的時(shí)候，付出的代價(jià)沒(méi)有終點(diǎn)，在有限的人生付出無(wú)限的代價(jià)是不值得的。如果給努力程度一個(gè)度量，一個(gè)人的努力是x，總有另一個(gè)人是1.1x，那么不論x的值多大，x也無(wú)法逾越1.1x，有人做到1.1x，也還會(huì)有人1.2x、2x、3x。
- 生活中的樂(lè)趣是無(wú)窮的，人的欲望也是無(wú)窮的。
2.2.2 靜態(tài)和動(dòng)態(tài)
在初等數(shù)學(xué)中的計(jì)算多靜態(tài)的問(wèn)題，但高等數(shù)學(xué)則是主要用來(lái)研究動(dòng)態(tài)的問(wèn)題。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，就是要把看數(shù)學(xué)的眼光，從一個(gè)個(gè)靜態(tài)的數(shù)字、孤立的公式，上升到動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)。
- 很多人在創(chuàng)業(yè)時(shí)，喜歡談風(fēng)口機(jī)遇，生怕錯(cuò)過(guò)了千載難得的機(jī)會(huì)。如果那個(gè)機(jī)遇的時(shí)間窗只有很短的時(shí)間，那通常并不是機(jī)遇，只是一次投機(jī)而已。真正好的機(jī)遇總是與社會(huì)變革的大趨勢(shì)息息相關(guān)，總是持續(xù)十幾年甚至幾十年，是不容易錯(cuò)過(guò)的，成功的創(chuàng)業(yè)往往都是創(chuàng)業(yè)者能夠洞悉時(shí)代發(fā)展的趨勢(shì)，以發(fā)展的眼光看待問(wèn)題。
- 很多人在找對(duì)象的時(shí)候往往看對(duì)方當(dāng)前的工作、收入、財(cái)產(chǎn)、容顏，從人生的尺度來(lái)看，對(duì)于大部分人來(lái)說(shuō)這些暫時(shí)高價(jià)值的東西未必長(zhǎng)久高價(jià)值，許多人生取得巨大成就獲得長(zhǎng)久幸福的人在年輕的時(shí)候并沒(méi)有世俗意義上非常好的工作、收入、財(cái)產(chǎn)。一個(gè)人良好的品性、不斷學(xué)習(xí)的能力才是更加長(zhǎng)久的價(jià)值。
- 從事一項(xiàng)不斷成長(zhǎng)的工作事業(yè)，比從事一項(xiàng)起薪高卻增長(zhǎng)乏力的工作事業(yè)，往往能獲得更多的收益。
2.2.3 目的與手段
在計(jì)算微積分的時(shí)候，我們常常會(huì)在計(jì)算過(guò)程中加上一個(gè)數(shù)又再把這個(gè)數(shù)減掉，乘上一個(gè)數(shù)再把這個(gè)數(shù)除掉，先取了對(duì)數(shù)又計(jì)算乘方。通過(guò)一些最后實(shí)際不需要的量來(lái)計(jì)算我們所需要計(jì)算的值。
人生也是這樣
- 我們想讀一個(gè)好大學(xué)，學(xué)了很多東西參加了高考，學(xué)的東西高考后沒(méi)幾年大多數(shù)都忘了。
- 有的人讀到了博士去當(dāng)公務(wù)員，雖然當(dāng)公務(wù)員往往用不上讀博所學(xué)，但沒(méi)有讀博就未必能去到想要去的崗位。
- 有時(shí)候在書(shū)桌前絞盡腦汁也解決不了的難題，出去度假旅行或許能靈光一現(xiàn)。
- 有的人想要成為網(wǎng)紅天天拍段子卻成為不了網(wǎng)紅，而那些在自己事業(yè)領(lǐng)域有所建樹(shù)的人卻很容易稱為網(wǎng)紅。
- A給B送禮辦事、B給C送禮辦事、C給A送禮辦事，各種禮品在來(lái)來(lái)回回中實(shí)際被消費(fèi)的可能并沒(méi)有多少，但缺了這些東西卻未必能辦成想要辦的事。
我們想要達(dá)到期望達(dá)到的目的，往往需要一些與目的并不直接相關(guān)的手段。
2.2.4 直覺(jué)和邏輯
高等數(shù)學(xué)有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，這對(duì)學(xué)習(xí)者訓(xùn)練邏輯思維非常有好處。
我們的直覺(jué)常常是對(duì)的，但是這只是在我們熟悉或者能夠感知到的世界里。
邏輯可以幫助我們分析清楚我們未曾經(jīng)歷過(guò)的事情，可以幫助我們學(xué)習(xí)新知奠定更良好的基礎(chǔ)。
2.2.5 概念和表述
在很多討論重要問(wèn)題的場(chǎng)合，日常生活化的語(yǔ)言未必能滿足溝通交流的需要，還需要用極為嚴(yán)格的語(yǔ)言表述，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言是一種，法律的語(yǔ)言也是一種，更普遍地講，任何專(zhuān)業(yè)的術(shù)語(yǔ)都是為了這個(gè)目的而出現(xiàn)的。做事專(zhuān)業(yè)，就需要掌握專(zhuān)業(yè)的術(shù)語(yǔ)。很多時(shí)候，將一件事情表述清楚非常重要，尤其是在前沿的科學(xué)事業(yè)中，我們需要通過(guò)彼此能夠理解的形象的比喻或符號(hào)化的精準(zhǔn)表達(dá)來(lái)說(shuō)明。
3. 這個(gè)教程有什么特點(diǎn)？
對(duì)于大多數(shù)理工科的大一學(xué)生而言，學(xué)習(xí)高數(shù)都是步履維艱的歷程，這不僅僅是因?yàn)楦邤?shù)本身有一定的難度，同時(shí)也受限于大多數(shù)學(xué)校使用的教材的講解方式和老師的授課態(tài)度。
本教程的講法和大學(xué)里的高等數(shù)學(xué)教材會(huì)有所不同，并不會(huì)直接羅列知識(shí)點(diǎn)，然后做習(xí)題。而是通過(guò)引例、故事、應(yīng)用等引入知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)都配例題，比較難的例題會(huì)有對(duì)應(yīng)的變式練習(xí)，題目難度從簡(jiǎn)入深，若講解的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)應(yīng)得到考研真題會(huì)附上考研真題，每個(gè)題目都有詳細(xì)的講解。同時(shí)會(huì)有更多的圖例和更加豐富的色彩標(biāo)注幫助讀者理解。
考慮到高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容較多，我會(huì)分兩個(gè)專(zhuān)欄來(lái)寫(xiě)，分別是【高等數(shù)學(xué)教程（單變量微積分）】和【高等數(shù)學(xué)教程（多變量微積分）】，分別對(duì)應(yīng)同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)的上下冊(cè)。
數(shù)學(xué)的世界，在很大程度上可以被看成是我們這個(gè)真實(shí)世界高度抽象的結(jié)果，它的概念是對(duì)我們生活中各種對(duì)象的濃縮，它的規(guī)律是我們生活中很多規(guī)律的抽象表述。尤其是在深入學(xué)習(xí)了物理、計(jì)算機(jī)等課程之后，再回過(guò)頭來(lái)看看數(shù)學(xué)書(shū)，會(huì)更加認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人成長(zhǎng)、對(duì)科技發(fā)展的重要性。
4.高等數(shù)學(xué)教程【單變量微積分】?jī)?nèi)容目錄
高等數(shù)學(xué)教程【單變量微積分】?jī)?nèi)容目錄_少俠PSY的博客-CSDN博客
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的前言【高等数学教程（单变量微积分）】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇： flash加xml图片叠加焦点图，左右箭
- 下一篇： Simple IOCP Server代码