一維可壓縮粘性N-S方程組解的存在性，唯一性

記錄一下最近所讀的相關文章以及自己的見解，如有錯誤之處還請大家不吝指教。（本人初入手pde，小白一個，所寫內容都是自己的理解，還存在很多問題，希望看到的行家能夠多多指正。）

可壓縮粘性N-S方程由三個守恒方程組成：質量守恒方程，動量守恒方程，能量守恒方程。其中包括三個未知函數：$\left(v\left(x,t\right),u\left(x,t\right),\theta \left(x,t\right)\right)$,分別代表流體的比容（密度的倒數），速度，絕對溫度。 接下來討論方程組初邊值問題解的存在，唯一性問題。我們所有的討論都是在有界域上。

證明方程解的存在性與唯一性的關鍵在于計算先驗估計。首先我們來看一下什么是先驗估計。先驗估計是近代研究偏微分方程的一種基本方法和技巧。對偏微分方程定解問題，在解存在的假設下，通過方程系數、自由項及定解條件估計解在某個巴拿赫空間(一般是索伯列夫空間或連續可微函數空間)中的范數的上界的不等式。（以上內容來自于百度百科）。簡單來說就是先假設方程的解是存在的，然后通過利用各種方法得到關于解的各種估計，（通常情況下先計算解的$L_2$或者$W^{k,p}$范數，然后再計算其導數的某些范數，最后根據所得的估計來確定解存在的空間。）例如假設我們所討論的方程在$[0,T]$存在解且我們想要得到$\left(u,v,\theta \right)\in H^k$（這一步是為了提高解的正則性），那么第一步就是證明$\Vert u,v,\theta {\Vert }_{H^k}$在$[0,T]$有界，一般是$\left(u,v,\theta \right)\in L^2\left(0,T;W^{k,p}\left(\Omega \right)\right)$或$\left(u,v,\theta \right)\in L^{\infty }\left(0,T;W^{k,p}\left(\Omega \right)\right)$?？淳唧w能算到哪個空間的估計。

然后討論為什么這個邏輯是通的？這里可以參考某個數學博主 https://www.zhihu.com/question/52567966對相關問題的解答。博主比較詳細明了地介紹了先驗估計在證明方程解的存在性時的作用。

我們在證明方程解的存在性時可以用各種方法，例如上面博主提到的Galerkin方法。論文里經常提到的方法是壓縮映射原理（巴拿赫不動點定理）來證明方程解的存在性與唯一性。壓縮映射定義及例子可參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/269264508。利用壓縮映射原理我們可以得到方程解的局部存在性（在很短的時間內），然后利用我們所得的先驗估計可以將這個解延拓到整個空間上（關于時間）。（這里具體用的是連續性方法。應該是不斷迭代，一直取新的時間點作為初始時刻，可以做到無窮。）

最后我們來做個總結。對于NS方程我們利用巴拿赫不動點理論和連續性方法（不太理解這個方法）通過先驗估計將方程解的局部存在性延拓到整個空間上。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的NS方程解的存在性，唯一性问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。