文章目錄

• 前面
• 介紹
• 研究領域
• • 1D 連接
  • • 機械連桿
    • rigid theory
    • interlocked chain
  • 2D 紙
  • • 可折疊性
    • 任意圖案折疊
  • 3D 多面體
• 研究領域 - 折紙 Origami
• • 2D
  • • One Complete Straight Cut
    • 棋盤格
    • 地圖折疊
    • ORIPA
  • 2.5D Freeform Origami
  • 3D
  • • The Tree Method
    • 迷宮
    • Obj => Crease Pattern
• 后面

前面

折紙一直是一個非常有魅力的藝術形式，然后趁著有空整理了一下，主要是一些相關的研究領域，順便作為我閑置已久專題的第一講。
基本都點到為止不做深入研究了（因為很多內容其實我自己也沒深入的理解），主要是考慮缺少相應中文資料，希望這個介紹能帶給大家一個粗略的認識。
可能會隨著我的了解而更新。（咕咕咕）

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主要參考：
MIT 幾何折疊課程 https://courses.csail.mit.edu/6.849/spring17/
這個課網易云課堂有前面一些的翻譯。雖然看不太懂還是覺得很好……

大部分的配圖來自這門課的課本
Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra by Erik Demaine and Joseph O’Rourke, published by Cambridge University Press (2007)
Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art by Robert Lang.
Robert Lang也是折紙的一個輔助設計軟件TreeMaker的作者。能夠把愛好做成事業(yè)真的是非常仰慕了、

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順便推薦一個折紙的channel
https://www.youtube.com/channel/UC3ICcukYYeSn26KlCRnhOhA
大概長這樣↓ 帥的不行

介紹

這三張圖分別是折痕圖，基形和最后的完成圖。

研究領域

這一塊和下一塊區(qū)分開來，算是非傳統意義上的折疊。
這個分類方式也是參考書Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra的分類方式

1D 連接

機械連桿

在一個機械結構中如何獲得一個完全直線方向的運動？

雖然這個問題看起來很簡單但是實際上到1864年才解決

rigid theory

這個領域研究：這個連接可以移動嗎？

interlocked chain

需要切幾刀，才能把一個chain展開成直的

2D 紙

可折疊性

對于給出的一個圖，它是可以折疊的嗎？

對于這個問題有一個叫Oripa的軟件，據說可以檢測聚合性

也有人說它不是很準就是了……

任意圖案折疊

在給出輪廓、甚至是給出雙色的圖案的情況下，如果有足夠大的紙，理論上能夠折出任何滿足條件的圖案。
下圖分別是輪廓、雙色圖案和折法。

3D 多面體

TODO

研究領域 - 折紙 Origami

我定義折紙為 1. 沒有剪，保持紙張完整 2. 比較具有藝術氣息（？）
所以說如果是傳統折紙的話應該是這里的3D部分。

2D

即使在二維平面上，也有很多待解決的復雜的問題。

2D平面上還有一種更簡單的子問題是Simple fold(只有180°的折疊)。

One Complete Straight Cut

假設有一張紙，進行任意次數的折疊之后，剪一刀得到一個特定的圖案。

這個問題的結果是所有由直線組成的圖案都是可以通過折疊，和一次剪切來完成。不單單是多邊形，這個結論還包括多個不連接的多邊形。兩種解決方法分別是Straight-skeleton method和Disk-packingmethod，前者能找到通用解而后者對于特權情況的解法更加優(yōu)秀。

棋盤格

如何用兩面不一樣顏色的紙折成棋盤格。
圖源論文 http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-10631-6_108

如何折疊能夠用最小的紙形成最大的棋盤格？包括棋盤格還有一些特殊的美觀定義，比如最后成型的每個格子都是完整的（也就是最后的一個格子不是由兩個斜三角組合構成的）。

地圖折疊

雖然這個標題不太好……但是大概感受一下……
這也是一個Open Problem：對于一個有峰谷的地圖，什么情況下是可以折疊的？
小時候打開地圖折不回去的時候，怎么沒有發(fā)現這樣一個歷史性的問題（……）
第一幅圖的解答我放最后吧大家試一試哦！

這個問題對于1N的地圖是非常簡單的，但是即使是僅僅2N的地圖的折疊就是一個Open Problem。
對于正方形的simple fold是一個可解決的問題，但是對于比如加上斜線方向的折疊，就是一個NPhard的問題。

ORIPA

這個不是一個研究課題
它是一個軟件

能夠檢測折痕圖的聚合情況

當然可折疊性是一個很復雜的問題——所以這個軟件給出的（據說）不是一個完全的結果（我沒用過orz）

2.5D Freeform Origami

我說2.5D因為它大概長這樣

圖源 https://www.flickr.com/photos/jun_mitani/with/46583763774/
當然這個分類是我隨便分的orz

雖然看起來比較簡單但是在生活中還是有比較多的應用的
比如家具、建筑、甚至是空間站的太陽能板收納展開
下圖折疊起來是一只蝴蝶233

對于切分的線是直線這個問題以及有了比較好的計算機模擬軟件： http://www.tsg.ne.jp/TT/software/， 但是對于曲線的情況目前還沒有非常好的仿真實現
下圖是來自該網站的演示視頻，左為計算結果，右為可編輯的crease pattern（折痕圖）。

3D

The Tree Method

現代折紙的一個重要的方法是建立基形，在基形的基礎上加工。
這個可以看一下回答吧（
那些復雜的折紙藝術是怎么想到的？ - D Flip Flop的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/24051788/answer/38771338

就是Robert J Lang,他的出場頻率讓我都記住了他orz
他對基形的求解解決了一個持續(xù)了很久的爭端……大概就是有一段時間折紙設計者都在執(zhí)著于誰能折出更多的腳……昆蟲嘛，然后他設計完軟件之后這個問題就直接就沒了……

雖然我覺得上面那個回答已經蠻全了，但是我擔心不放點圖你們注意不到這個關鍵的問題。

迷宮

也是一個偏程式化的操作。不過可以玩玩233
http://erikdemaine.org/fonts/maze/
感覺如果送禮物也算有紀念意義？

Obj => Crease Pattern

一個比較神奇的方向，大概是如何折出任意obj。
東京大學的一篇paper，如何折出任何幾何體。（啊這一方面的研究日本還是不錯的）

感受到斯坦福兔子的威嚴了嗎↓

后面

那個地圖的折疊的解答

然后寫了很多我自己都不太清楚的東西心情很緊張……希望大家有問題問我但是我也不一定會就是了……

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【图形学概览】几何折叠 Geometric Folding的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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