首先整理下兩個概念:

Definition:given that $u,v\in R^n$,then $u$ and $v$ are said to be mutually orthogonal if$(u,v)=u^{T}v=0$(where ($u,v$)is our notation for the scalar product)

Definition:given that $u,v\in R^n$,then $u$ and $v$ are said to be mutually conjugate with respect to a symmetric positive definite matrix $A$ if $u$ and $Av$ are mutually orthogonal,i.e. $u^{T}Av=(u,Av)=0$
所以根據定義來看很容易理解共軛梯度下降,其實就是兩個向量之間插入了一個正定矩陣,然后依然以乘積為0作為判斷依據.

------------------------------------所謂的共軛梯度體現在${\beta }_k$上面---------------------------------------------------------------------
關于${\beta }_k$的證明來自[5]，證明過程中體現了共軛的概念．

---------------共軛梯度法在論文中的表述形式------------------

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上面的1964年版本的${\alpha }_k$（也就是本文的${\beta }_k$）的推導過程[5]：

算法偽代碼比較見[4]

---------------------------------------------------------------接下來是代碼------------------------------------------------------------------------------
接下來是代碼：
[2]中給出了具體代碼,但是呢…既然scipy里面已經有這個共軛梯度算法了,我們就不要自己手寫搗騰了吧,嘻嘻~
它們分別是:
scipy.optimize.fmin_cg函數
以及
scipy.sparse.linalg.cg函數
但是后者沒有給出具體的example,
我們還是使用前者吧,代碼如下:

import numpy as np args = (2, 3, 7, 8, 9, 10) #原函數的參數 def f(x, *args):#原函數u, v = xa, b, c, d, e, f = argsreturn a*u**2 + b*u*v + c*v**2 + d*u + e*v + f def gradf(x, *args):u, v = xa, b, c, d, e, f = argsgu = 2*a*u + b*v + d # u-component of the gradientgv = b*u + 2*c*v + e # v-component of the gradientreturn np.asarray((gu, gv)) x0 = np.asarray((0, 0)) # Initial guess.#下面開始調包計算~! from scipy import optimize res1 = optimize.fmin_cg(f, x0, fprime=gradf, args=args) print("最小值所在的向量是:",res1)

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二次終結法 (quadratic temination)并不是說迭代兩次就結束,千萬不要弄錯.
另外有個很重要的資料[6],我最后沒看，但是寫得真的很詳細，以后有時間并且有需要的情況下，可以看下．

[1]Conjugate Directions
[2]共軛梯度法的python實現
[3]官方案例
[4]Fletcher-Reevers Conjugate Descent和Steepest Descent兩種算法偽代碼的區別
[5]最優化共軛梯度法
[6]《An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain》-Jonathan Richard Shewchuk

總結

以上是生活随笔為你收集整理的scipy实现的共轭梯度法以及相关原理图解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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