【机器学习】线性回归之Normal Equation（矩阵求导与线性代数视角）
Normal Equation
之前我們用梯度下降來求解線性回歸問題的最優參數，除此之外我們還可以用正規方程法（Normal Equation）來求解其最優參數。
Normal Equation方法的推導有兩種方式
矩陣求導（matrix derivative）
其中
其中X的行表示樣本，列表示特征：
令導數等于零：
因此：
關于矩陣求導的公式可以參見：常用的向量矩陣求導公式
下面解釋一下部分求導的過程：
線性代數視角
一、求解不可解的方程組
先看一個最最簡單的例子——
例1.0?如圖，在空間中有兩個向量，求一個常數使兩個向量滿足。
這個方程明顯不可解，因為與不共線，無法通過對數乘得到。
再看下一個比較簡單的例子——
例2.0?在空間中的平面有一組基和，如圖所示，求出常數與使向量滿足條件。
這個方程也明顯不可解，因為不在平面上，而與的線性組合只能得到平面上的向量。
以上兩個問題非常的典型，因為在解決實際問題的時候，我們很難得到Perfect Solution，我們只能盡力而為的爭取Best Solution。以上兩個例子明顯沒有做到perfect(連基本的方向都錯了)，那么如何找到Best Solution呢？
二、投影的應用（Projection）
思路很簡單：我們只要找到一個使方向上的向量距離最近。
回到最簡單的例子例1.0,這里重復一遍
如圖，在空間中有兩個向量，求一個常數使兩個向量滿足。
現在應該如何尋找的解呢？
最好的方法就是拋棄向量中垂直的分量，只要計算使等于向量在方向的分量（即在上的投影(Proj)），同時我們把向量垂直方向的分量稱為(error)。
原來的問題變成了求解（是的估計量）
因為與合成了向量（），而且垂直于()，所以我們得出了一個非常重要的結論（敲黑板）！！！核心啊！！！
這個方程的核心就是寫成向量內積形式的與的垂直關系，只不過被拆開書寫。其實這個方程也可以寫作，但是寫作轉置向量的形式可以讓這個方程更自然的拓展到高維（向量內積）。好了，我們繼續改寫方程……
在這一步我們就得到了best的，但考慮到這并不perfect，所以我們稱之為。
P.S.如果想用投影矩陣P來簡化從轉換到的過程，可以把的結果帶入到中。我們發現投影矩陣在形式上就等于乘數，即滿足。
向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ
Θ為兩向量夾角
| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影
| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影
分子為在上的投影，分母為在上的投影，同乘了向量的模，投影的比值即為
現在我們再看看怎么在中解決不可解方程。
例2.0 在空間中的平面有一組基和，如圖所示，求出常數與使向量滿足條件。
平面有基向量和，故投影可以表示成基的線性組合，即
令基向量組成的矩陣，參數組成的向量，與平面垂直的誤差向量。（這里插一句話，最小二乘法的核心就是找出一個就是讓最小化）
我們發現在中的問題在這里拓展成為了。
相應的，問題在這里拓展成了，其中。
還是一樣的套路，我們還是從垂直關系入手——因為，而且，所以有以下方程組——
整理成矩陣的形式——
（敲黑板！！！敲黑板！！！）
寫到這里回頭看看情景下的核心公式，可以這家伙換一套馬甲又出現了！！！看來方程是一種高維的拓展。我們可以把中的看成一個只有一列的矩陣。
我們繼續整理這個公式——
寫到這里我們就沒什么可以干的了。
有人可能想說——明明還可以繼續化簡啊！！！
但實際的情況中，我們不能保證矩陣總是方陣（square），但是總是可以保證是方陣。因為只有方陣才有逆矩陣，所以我們只能保證有，而不能保證有。
所以我們只能回到這里。如果你有讀過Andrew Ng著名的公開課CS229的Lecture Notes，你一定記得他用矩陣求導得出的Normal Equation——
你會發現除了和不一樣以外，我們已經把Normal Equation（）推出來了……我居然在下一部分還沒有開始講就把內容說完了，場面一度非常尷尬啊?？梢姀耐队巴瞥鯪ormal Equation是一件多么自然的事情啊~~~我都不知道哪里切開。
說到這里先總結一下投影的幾個意義（敲黑板）！！！
的所有可能結果都在一個固定的區域中，在線性代數中我們稱這個區域為列空間(column space),列空間顧名思義就是矩陣各列的所有線性組合。在1-D的情況下列空間就是一條線，在2-D的情況下列空間就是一個平面。但是我們的數據哪里會這么恰好的落在矩陣的列空間里呢？天底下哪有這樣的好事啊！！！
特別是在數據量特別大的情況下，矩陣特別是在數據量特別大的情況下，矩陣會成為一個的超級高大的矩陣（如下圖）。在這種等式數量遠大于未知數數量的情況中，我們很難滿足每一個等式的約束。
但是目標不再在空間里并不代表不能求出解，只能說沒有perfect solution（語出Gilbert Strang），但是我們努力一下還是可以做到最好的(best solution)。我們用投影向量來尋找最合適的。就是并不存在的完美解的估計值。
三、矩陣求導與投影推導之間的聯系
回顧矩陣求導得到的Normal Equation:
以及投影視角得到的公式
兩者除了在符號表示上有所區別，其它的一模一樣，現在從符號本身的含義去聯系兩者。
歸根結底，Normal Equation是用來求解一個最優化問題。在投影的方法中，矩陣A作為一個基向量空間，用于尋找最優的以使得最接近。
矩陣A有多少行就表示基向量空間有多少維（每個特征有多少樣本量，就表明在這個空間中有多少維度），有多少列，就表示有多少個基向量。
在線性回歸中矩陣A就等同于X，行數為樣本量，列數為特征量，b等同于Y，為目標向量。
當特征遠遠少于樣本量的時候說明基向量的空間維數很高，但基向量很少。也就是說在一個很大的空間中，只有少數幾個方向給定，需要去擬合向量Y，那難度當然很大，誤差就很大。
當特征數量遠遠大于樣本量的時候就相反，基向量空間不大，但基向量的個數很多。也就是說在一個不大的空間中，有很多的基向量，基本涵蓋了所有的方向，此時我想要找到一個基向量的線性組合去逼近目標向量Y，那就容易很多了。此時就會強依賴于當前的樣本，泛化能力就很差，過擬合。
四、Normal Equation應用
既然Normal Equation在上文都推導完了，這里我們就隨便帶幾個數據來玩玩咯。
練手案例?找一條直線來擬合點 (1,1)、(2,2)、(3,2)
我們如果用一條直線來擬合的話，設，我們先得到以下值——
我們發現很遺憾的沒有解，于是我們左右各乘上，祭出了投影大招——。
再把這個方程變換成Normal Equation:
帶入數值在Matlab中小跑一下就得到了結果
即直線是上述三個點的擬合結果。
五、其他想說的話
1.關于的暴力使用
在前一步可以不用判斷是否可解，可以直接使用。事實上，在最小二乘時遇到長方形矩陣，我們就可以用上替代計算。這是是一種路子很野的但是很簡單實用的經驗規則，可以簡單實驗如下——
用直線擬合三個點 (1,1)、(2,2)、(3,2)時，自然希望真實值和估計值的誤差越小越好。分別對和求偏導數等于的零的值——
這邊有個小筆誤，是對做偏導
整理以上公式我們得到了方程組——
再整理一下，把這個方程寫成矩陣乘法的形式——
在最后一步整理以后我們發現剛才千辛萬苦算出來的就是上文的啊！！！
說明這個經驗方法是可以信得過的！！！
2.關于化簡的問題
因為投影的性質非常美妙，如果矩陣是各行線性無關的方陣(square)，說明存在，則Normal Equation會變成如下形式——
說明如果存在一個perfect solution，該解不會受到影響。
3.多次投影有影響嗎？
已經在空間中的向量乘上投影矩陣仍然等于本身，二次投影不會有任何副作用！也就是說。證明如下——
參考文章：
線性回歸及其概率解釋
NormalEquation推導過程
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【机器学习】线性回归之Normal Equation（矩阵求导与线性代数视角）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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