學習筆記

學習書目：《統計學：從數據到結論》

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成功概率或總體比例的置信區間

大總體和大樣本情況

假設有一個總體很大，我們共調查了$n$個人，其中持有某種觀點的為$x$人，則樣本比例為$\hat{p}=x/n$,那么比例$p$的$100(1?\alpha )\%$近似置信區間為：
$$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1?\hat{p})}{n}}$$

• 啥是大樣本？

一個近似判斷大樣本的方法，是當區間：
$$\hat{p}\pm 3\sqrt{\frac{\hat{p}(1?\hat{p})}{n}}$$

完全包含在(0, 1)區間內部時，可以認為樣本足夠大。

大總體和小樣本情況

在大總體，小樣本時，有木有精確的關于比例的置信區間的求法呢？當然有！

我們用$p(k)$代表在$n$次伯努利實驗中成功的次數的概率，$p$為每次試驗成功的概率，則有：
$$p(k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1?p{)}^{n?k}k=0,1,...,n$$

如果已經觀測到$n$次試驗有$x$次成功，那么$p$的$100(1?\alpha )\%$置信區間$(p_L,p_U)$的上限$p_U$應該為，滿足：
$$\sum _{k=0}^{x}p(k)=\sum _{k=0}^x\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1?p{)}^{n?k}=\frac{\alpha }{2}$$
的$p$ .

而置信區間的下限$p_L$應該為滿足：
$$\sum _{k=x}^{n}p(k)=\sum _{k=x}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1?p{)}^{n?k}=\frac{\alpha }{2}$$
的$p$ .

小總體情況

在小總體的抽樣調查中求比例的問題大都屬于超幾何分布，這是因為在調查中的抽樣屬于不放回抽樣。由于一切統計模型都是近似模型，超幾何分布也不例外。超幾何分布要求總體中每一個個體都有同等機會被抽到，但是這不可能在實踐中完全做到。

按照計算置信區間的精確方法，這個置信區間應該從求$k$(比如總體中的廢品個數)的$100(1?\alpha )\%$的置信區間著手，而該區間$(k_1,k_2)$上限$k_2$應該為滿足：
$$P(N,n,k,x)\le \frac{\alpha }{2}$$
的最小的$k$.

而其下限$k_1$應該滿足：
$$P(N,n,k,x?1)\ge 1?\frac{\alpha }{2}$$
的最大的$k$.

這里$P(N,n,k,x)\equiv P(X\le x)$是參數為$N,n,k$的超幾何分布的累計分布函數：
$$P(N,n,k,x)=\sum _{i=0}^{x}p(N,n,k,i)$$
而
$$p(N,n,k,i)=\frac{\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N?k\\ n?i\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}$$
有了區間$(k_1,k_2)$之后，除以$N$就可以得到比例$k/N$的位置區間了.

R語言實例

這里有兩種方法可以進行總體比例的區間估計，但好像都是針對大總體的，一個是binom.test方法，一種是binconf方法。前面一種方法是可以得到精確的置信區間，后一種方法可以得到精確和近似的置信區間。

話不多說，直接放代碼：

> library(Hmisc) > binom.test(50, 200, con = 0.95)$conf [1] 0.1916072 0.3159628 attr(,"conf.level") [1] 0.95 > binconf(50, 200, alpha = 0.05, method = "all")PointEst Lower Upper Exact 0.25 0.1916072 0.3159628 Wilson 0.25 0.1950817 0.3143410 Asymptotic 0.25 0.1899886 0.3100114

可以看到binom.test方法的輸出結果和binconf方法中Exact得到結果是一樣的，它們都可以得到精確的置信區間；而binconf的Asymptotic 得到的是大樣本下正態近似的置信區間，Wilson是正態近似區間的改進。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的R语言与总体比例的置信区间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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