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时间序列与R语言应用(part4)--自回归AR模型及其平稳性条件

發(fā)布時(shí)間：2023/12/19 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了时间序列与R语言应用(part4)--自回归AR模型及其平稳性条件小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

學(xué)習(xí)筆記

參考書(shū)目：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》、《時(shí)間序列分析及應(yīng)用R語(yǔ)言》、《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)》、《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與R語(yǔ)言應(yīng)用》

文章目錄

- - 為什么平穩(wěn)如此重要
  - 自回歸AR模型
  - - 一階自回歸過(guò)程
    - 二階自回歸過(guò)程
    - 一般自回歸過(guò)程
  - R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

為什么平穩(wěn)如此重要

我們知道若隨機(jī)時(shí)間序列 $X_t$ 有如下性質(zhì)：

①均值 $E(Xt)=μE(X_{t})=\mu$ ,均值是與時(shí)間 $t$ 無(wú)關(guān)的常數(shù)

②方差 $Var(Xt)=σ2Var(X_{t})=\sigma^2$ , 方差是與時(shí)間 $t$ 無(wú)關(guān)的常數(shù)

③協(xié)方差 $Cov(Xt,Xt+k)=γkCov(X_{t},X_{t+k})=\gamma_k$ ,協(xié)方差只與時(shí)間間隔 $k$ 有關(guān).

則稱(chēng)隨機(jī)時(shí)間序列 $X_t$ 具有弱平穩(wěn)型。

此時(shí)，如果我們把 $X$ 的原點(diǎn)從 $X_t$ 移到 $X_{t+m}$ ,那么 $X_{t+m}$ 具有和 $X_t$ 一樣的均值、方差和自協(xié)方差。簡(jiǎn)而言之，如果一個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，那么不管在什么時(shí)間測(cè)量，它的均值、方差和自協(xié)方差都保持不變，即它們不隨時(shí)間而變化。這種平穩(wěn)的時(shí)間序列，有回到其均值的趨勢(shì)，而且圍繞其均值的波動(dòng)具有大致恒定的振幅。應(yīng)該指出，一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程均值復(fù)原(即回到均值)的速度取決于其自協(xié)方差，自協(xié)方差越小速度越快，自協(xié)方差越大，速度越慢。

而如果一個(gè)過(guò)程是非平穩(wěn)的，那么要么它的均值隨著時(shí)間變化，要么方差隨著時(shí)間變化，或者二者同時(shí)發(fā)生變化。

為什么平穩(wěn)時(shí)間序列如此重要呢？因?yàn)槿绻粋€(gè)序列是非平穩(wěn)的，那么我們就只能研究其在研究期間的行為，我們無(wú)法把它推廣到其他期間。因此，從預(yù)測(cè)的角度來(lái)看，如果序列非平穩(wěn)則沒(méi)有什么研究?jī)r(jià)值。

自回歸AR模型

在討論了平穩(wěn)時(shí)間序列的重要性之后，接下來(lái)的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題就是如何建立一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的模型，以及如何利用所建的模型進(jìn)行預(yù)鍘。與經(jīng)典回歸分析不同的是，我們這里所建立的時(shí)間序列模型主要不是以不同變量間的因果關(guān)系為基礎(chǔ)，而是尋找時(shí)間序列自身的變化規(guī)律。同樣地，在預(yù)測(cè)一個(gè)時(shí)間序列未來(lái)的變化時(shí)，我們不再使用一組與之有因果關(guān)系的其他變量，而只是用該序列的過(guò)去行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。

一階自回歸過(guò)程

存在這種用過(guò)去行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的最簡(jiǎn)單的例子是一階自回歸模型，簡(jiǎn)記為 $A R (1)$ ：
$Yt=?Yt?1+et(1)Y_t=\phi Y_{t-1} + e_t\tag{1}$
其中 $e_t$ 為白噪聲，假設(shè) $e_t$ 獨(dú)立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3},...$ ，假設(shè)過(guò)程的均值已經(jīng)被去掉，序列的均值為零.

我們知道只有產(chǎn)生過(guò)程是平穩(wěn)的，用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)才有意義。因此我們首先研究該過(guò)程的平穩(wěn)條件。

對(duì)于一階自回歸模型,有如下遞推式:
$Yt=?Yt?1+et=et+?(?Yt?2+et?1)......=et+?et?1+?2et?2+?3et?3...(2)Y_t=\phi Y_{t-1} + e_t \\=e_t+\phi (\phi Y_{t-2} + e_{t-1}) \\...... \\=e_t+\phi e_{t-1} + \phi^2 e_{t-2} +\phi^3 e_{t-3}... \tag{2}$
可以看到，一階自回歸過(guò)程(1)式可以表示成白噪聲序列的線性組合。

由于 $E(e_t)=0$ ,故 $E(Y_t)=0$ , 則平穩(wěn)條件①成立。

對(duì)(2)式兩邊取方差：
$var(Yt)=σe2(1+?2+?4+...)(3)var(Y_t)=\sigma_e^2(1+\phi^2+\phi^4+...)\tag{3}$
當(dāng)且僅當(dāng) $∣?∣<1|\phi|<1$ 時(shí)，(3)式才有：
$var(Yt)=σe21??2(4)var(Y_t)= \frac{\sigma_e^2}{1-\phi^2}\tag{4}$
則，只有滿(mǎn)足 $∣?∣<1|\phi|<1$ 的條件時(shí)，平穩(wěn)條件②才成立。

同時(shí)，對(duì)于(2)式有：
$Yt+k=et+k+?et+k?1+?2et+k?2+?3et+k?3...(5)Y_{t+k}=e_{t+k}+\phi e_{t+k-1} + \phi^2 e_{t+k-2} +\phi^3 e_{t+k-3}...\tag{5}$
則 $Y_t$ 與 $Y_{t+k}$ 的協(xié)方差為：
$cov(Yt,Yt+k)=E(Yt?Yt+k)=σe2?k(1+?2+?4+...)(6)cov(Y_t,Y_{t+k})=E(Y_t*Y_{t+k})=\sigma_e^2 \phi^k(1+\phi^2 +\phi^4+...)\tag{6}$
當(dāng)且僅當(dāng) $∣?∣<1|\phi|<1$ 時(shí),(6)式才有：
$cov(Yt,Yt+k)=?kσe21??2=?kvar(Yt)(7)cov(Y_t,Y_{t+k})=\phi^k \frac{\sigma_e^2}{1-\phi^2}=\phi^kvar(Y_t) \tag{7}$
則(7)式表明 $cov(Y_t,Y_{t+k})$ 只與時(shí)間間隔 $k$ 有關(guān)，與時(shí)間點(diǎn) $t$ 無(wú)關(guān)，則平穩(wěn)條件③成立。

綜上所述，在條件 $e_t$ 獨(dú)立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3},...$ 和 $σe2>0\sigma_e^2>0$ 的情況下，當(dāng)且僅當(dāng) $∣?∣<1|\phi|<1$ 時(shí) $A R (1)$ 的遞歸定義的解是平穩(wěn)的， $∣?∣<1|\phi|<1$ 通常稱(chēng)為 $A R (1)$ 過(guò)程的平穩(wěn)條件。

二階自回歸過(guò)程

現(xiàn)考慮滿(mǎn)足以下方程的序列：
$Yt=?1Yt?1+?2Yt?2+et(8)Y_t=\phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2} + e_t\tag{8}$
其中 $e_t$ 為白噪聲，假設(shè) $e_t$ 獨(dú)立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3}...$

為了證明平穩(wěn)性，引入AR特征多項(xiàng)式：
$?(x)=1??1x??2x2(9)\phi(x)=1-\phi_1x-\phi_2x^2\tag{9}$
和相應(yīng)的AR特征方程:
$1??1x??2x2=0(10)1-\phi_1x-\phi_2x^2=0\tag{10}$
二次方程總是有兩個(gè)根(可能有復(fù)數(shù)根)，這兩個(gè)根就叫特征根。

可以證明，當(dāng) $e_t$ 獨(dú)立于 $Y_{t-1},Y_{t-2}Y_{t-3}...$ 的條件下，當(dāng)且僅當(dāng)AR特征方程的根的絕對(duì)值(模)大于1時(shí)，方程(10)才存在平穩(wěn)解。這個(gè)結(jié)論,可以不加任何改變地推廣到p階的情況.

在二階自回歸模型中，二次特征方程的根易找到為：
$?1±?12+4?2?2?2(11)\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{-2\phi_2}\tag{11}$

為了滿(mǎn)足平穩(wěn)條件，要求根的絕對(duì)值大于，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足以下條件：
$?1+?2<1?2??1<1∣?2∣<1\phi_1+\phi_2<1 \qquad \phi_2-\phi_1<1 \qquad |\phi_2| <1$
與 $A R (1)$ 一樣，我們稱(chēng)此為 $A R (2)$ 模型的平穩(wěn)條件。

下圖顯示了 $A R (2)$ 模型的平穩(wěn)區(qū)域：

一般自回歸過(guò)程

考慮p階自回歸模型:
$Yt=?1Yt?1+?2Yt?2+...+?pYt?p+et(12)Y_t=\phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2}+...+\phi_p Y_{t-p} + e_t\tag{12}$

有AR特征多項(xiàng)式：
$?(x)=1??1x??2x2?...??pxp(13)\phi(x)=1-\phi_1x-\phi_2x^2-...-\phi_px^p\tag{13}$
和相應(yīng)的特征方程：
$1??1x??2x2?...??pxp=0(14)1-\phi_1x-\phi_2x^2-...-\phi_px^p=0\tag{14}$
假設(shè) $e_t$ 獨(dú)立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3}...$ ,當(dāng)且僅當(dāng)AR特征方程的每一個(gè)根的絕對(duì)值(模)大于1時(shí)方程(14)才存在平穩(wěn)解，為了保證特征方程根的模大于1，以下兩個(gè)不等式是必要條件但不是充分條件：
${?1+?2+...+?p<1∣?∣<1(15)\begin{cases}\phi_1+\phi_2+...+\phi_p<1 \\|\phi|<1 \tag{15} \end{cases}$
以下不等式為充分條件：
$∣?1∣+∣?2∣+...+∣?p∣<1|\phi_1| + |\phi_2| + ...+ |\phi_p| <1$

R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)在我們模擬二階自回歸過(guò)程，并檢驗(yàn)其平穩(wěn)性：

library(tseries) set.seed(1236) data01 <- arima.sim(n = 50, list(ar =c(0.8, -0.5))) plot(data01, main = '時(shí)序圖', type='o') adf.test(data01)

時(shí)序圖：

單位根檢驗(yàn)結(jié)果：

Augmented Dickey-Fuller Testdata: data01 Dickey-Fuller = -3.8032, Lag order = 3, p-value = 0.02523 alternative hypothesis: stationary

我們看到p值小于0.05的顯著性水平，拒絕原假設(shè)，則二階自回歸過(guò)程是平穩(wěn)的。

后記：此Blog經(jīng)過(guò)了二次修改，之前在模擬二階ar模型時(shí)，將自回歸系數(shù)寫(xiě)為了0.8和0.5這不滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，在用R模擬時(shí)，程序應(yīng)該是會(huì)報(bào)錯(cuò)的，但筆者查看了一下歷史記錄，發(fā)現(xiàn)模擬的時(shí)候自回歸系數(shù)寫(xiě)的是0.8和-0.5，結(jié)果寫(xiě)B(tài)log的時(shí)候就變成了了0.8和0.5 ???故，引以為戒

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列与R语言应用(part4)--自回归AR模型及其平稳性条件的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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