近期回顧了下行列式的計算方法，以及其幾何意義，本文是作者的一點淺薄理解。歡迎朋友們一起交流。
線性代數(shù)系列文章見專欄，下面是往期內(nèi)容：

為什么要學線性代數(shù)

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正題：

每一個線性變換都對應著一個變換矩陣，被變換后的空間，相對之前來說也發(fā)生了一定的形變，而行列式的意義則是線性變換前后，空間形變的倍數(shù)。

以二維空間為例，旋轉變換就是一種線性變換(不了解旋轉變換的請看上條推送)，其對應的矩陣叫旋轉矩陣：

該變換作用在二維空間的任一個向量，相當于將該向量逆時針旋轉θ角度，于是該變換可以把整個二維空間旋轉θ角度。

因為只是單純的旋轉，面積不發(fā)生變化，所以形變的倍數(shù)為1，正如該矩陣的行列式，cos^2+sin^2=1。

其他的一些變換，有的將空間伸展，有的將空間擠壓，此時形變倍數(shù)就不為1了。假設有線性變換矩陣：

該矩陣將二維空間沿著水平方向伸展3倍，垂直方向不變。還是用上一篇推送的例子，假設有如下圖形：

可知面積為5，將線性變換矩陣作用于圖中的三個向量，比如[-1 3]T

如下圖，綠色向量正是由藍色向量沿水平方向伸展3倍、垂直方向不變得到的向量。

(因為橫坐標是負數(shù)，所以向左伸展，若是正數(shù)則向右伸展，比如向量[3 1]T)

經(jīng)過該矩陣的作用，上述三角形變?yōu)閳D下所示：

其面積為15，正好是藍色三角形面積的3倍，而此變換矩陣的行列式等于3，這就驗證了之前的結論，即行列式的意義：線性變換后，空間形變的倍數(shù)。

取個極端情況：上述矩陣的行列式等于0 ，那么它的意義就是將該二維平面擠壓至一條線甚至一個點，面積自然為零。

筆者為了做圖方便，只舉了水平方向伸展的例子，向其他方向伸展、擠壓的情況朋友們可自行畫圖摸索、證明。

1.低階行列式

二階行列式比較簡單，記住它的計算方法即可：主對角乘積 減去 副對角乘積，如下式：

三階行列式計算公式為：

此公式可用下圖來記其規(guī)律，實線相連的數(shù)相乘，系數(shù)為1，虛線相連的數(shù)相乘，系數(shù)為-1：

(圖取自同濟教材)

在實際計算中，如果行列式中0元素比較多，可以用按行(列)展開（此方法后面講），不必記上面的公式。而且，上式也可用展開法得出。

2.全排列和逆序數(shù)

在三階行列式的計算公式中，右側有六項，每一項都是三個不同行、不同列的元素之積，且每一項的系數(shù)有正有負，那么他們之間有什么規(guī)律呢？這就涉及到了全排列和逆序數(shù)的知識。

全排列：

由高中數(shù)學的排列組合可知，n個元素的排列種數(shù)為n的階乘。比如三個數(shù)1、2、3，則有六種組合：123、132、231、213、321、312。

逆序數(shù)：

對于n個不同的元素，規(guī)定一個標準次序（比如從小到大），于是在這n個元素的排列中，當某個元素的先后次序與標準次序不同，就構成1個逆序，一個排列的所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，為偶數(shù)則叫做偶排列。

上面是課本上的定義，對于大一的同學或者之前沒好好學但是想考研的同學，初次看這個定義可能不太好理解，有點懵，那么看下面計算逆序數(shù)的方法和幾個例子就容易理解了：

假設1~n這n個自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序，對于任意一個元素x(x在1到n之間)，如果比x大且排在x前面的元素有t個，那么就說x的逆序數(shù)是t，這n個數(shù)的逆序數(shù)之和為這個排列的逆序數(shù)。

例1：求32514這個排列的逆序數(shù)。(同濟例題)

解：

對于3，排在第一位，它的前面沒有比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為0；

對于2，2的前面比它大的數(shù)只有一個3，所以其逆序數(shù)為1；

對于5，它排在第三位，前面的3和2都比它小，所以其逆序數(shù)為0；

對于1，它排在第四位，前面的3、2、5都比它大，所以其逆序數(shù)為3；

對于4，它排在最后一位，前面比它大的數(shù)只有5，所以其逆序數(shù)為1；

于是，這個排列的逆序數(shù)為0+1+0+3+1=5。

上面的解法是看該元素前面有幾個比它大的數(shù)，還有另一種解法，看該元素后面有幾個比它小的數(shù)，還是上個題，可以這樣算：

對于3，其后面有兩個數(shù)比它小，分別是1、2，所以其逆序數(shù)為2；

對于2，其后面只有一個數(shù)比它小，所以其逆序數(shù)為1；

對于5，其后面有兩個數(shù)1、4比它小，所以其逆序數(shù)為2；

對于1和4，其逆序數(shù)均為0；

于是，這個排列的逆序數(shù)等于2+1+2+0+0等于5。

（注意，上述都是基于標準次序為從小到大順序來計算的）

了解了逆序數(shù)的計算方法后，我們來看行列式的計算公式與逆序數(shù)有什么關系，此處以三階為例，為了方便，下面再貼出三階行列式的公式：

可以看出，右側的每一項，除了系數(shù)外，都可寫為

其中第一個下標(行標)是標準次序123，p1、p2、p3 是1、2、3的某個排列，前文提到，這三個數(shù)的排列有六種，所以得出上式右側的六個乘積項，而系數(shù)的計算方法為：

p1、p2、p3為偶排列時，系數(shù)為1；

p1、p2、p3為奇排列時，系數(shù)為-1；

可以驗證，系數(shù)為1的三個項，列標分別為123、231、312，其逆序數(shù)分別為0、2、2，是偶數(shù)；系數(shù)為-1的三個項，讀者自行驗證。

所以，各項的系數(shù)可以表示為(-1)t,其中t是該項各元素列標排列的逆序數(shù)。

本文以三階為例，高階的依此類推。

（關于逆序數(shù)和行列式的關系，某一年考研中考過，具體哪年忘記了…）

本文首發(fā)于微信公眾號：數(shù)字自修

總結

以上是生活随笔為你收集整理的行列式的几何意义,计算公式_n阶行列式几何意义的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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