多项式小结（求逆、求导、积分、ln、牛顿迭代、exp）
目錄求逆求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)積分ln牛頓迭代exp正確性證明n^2lnexpexpln快速冪時間復(fù)雜度調(diào)試方法&注意事項例題題解code
求逆
求(A(x)B(x)equiv 1(mod;x^n))，下文為了方便表述把n/2
已知(A(x)C(x)equiv 1(mod;x^n))，倍增求(A(x)B(x)equiv 1(mod;x^{2n}))，下文為了方便把(x)省掉
(A(B-C)equiv 0(mod;x^n))
(A^2(B-C)^2equiv 0(mod;x^{2n}))
(A(B-C)^2equiv 0(mod;x^{2n}))
(AB^2-2ABC+AC^2equiv 0(mod;x^{2n}))
(B-2C+AC^2equiv 0(mod;x^{2n}))
(Bequiv 2C-AC^2(mod;x^{2n}))
求導(dǎo)
求(A'(x))，本質(zhì)是求一點的斜率，定義(A_i=A(x)[x^i])
(A'(x)=frac{sum A_i((x+Delta)^i-x^i}{Delta})
當(dāng)(Deltaightarrow0)時(A'(x)=sum_{i>=1} iA_ix^{i-1})
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
(G(x)=F(A(x)),G'(x)=F'(A(x))A'(x))
這個的意義是以x為自變量的導(dǎo)，而(F'(A(x)))的意義是以A(x)為自變量的導(dǎo)
所以ln中求的是G'(x)，牛頓迭代把A當(dāng)作自變量求的是F'(A(x))
積分
是不定積分，即求導(dǎo)的逆運算
(int A(x)=sum_{i>=1} frac{1}{i}x^iB_{i-1})
積分后再求導(dǎo)常數(shù)項會消失
ln
求(G(x)=ln(F(x)))，具體的意義是什么并不是很知道
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：(G(x)=F(A(x)))，(G'(x)=F'(A(x))A'(x))，并且有(ln'(x)=frac{1}{x})
(G'(x)=frac{F'(x)}{F(x)})
(G(x)=int frac{F'(x)}{F(x)})
牛頓迭代
對于普通的多項式(A(x))求零點x，設(shè)上一次求得的是x0（不一定是零點）
在((x0,f(x0)))處做切線，斜率為(f'(x0))，則根據(jù)簡單三角函數(shù)有
(frac{f(x0)}{x0-x}=f'(x0))
(x=x0-frac{f(x0)}{f'(x0)})
牛頓迭代求的是近似解，但
exp
先不考慮精度，求(B(x)=e^{A(x)}(mod;x^n))
(ln(B(x))=A(x)(mod;x^n))
(ln(B(x))-A(x)=0(mod;x^n))
把B當(dāng)作變量，A當(dāng)作常數(shù)并不知道為什么可以這樣
設(shè)(F(B(x))=ln(B(x))-A(x))，則(F'(B(x))=frac{1}{B(x)})（函數(shù)相加的導(dǎo)數(shù)=分別的導(dǎo)數(shù)和，A看作常數(shù)了所以是0）
把n/2，代牛頓迭代的式子，設(shè)(C(x))是模(x^n)下的解，求模(x^{2n})下的解(B(x))
(B(x)=C(x)-C(x)(ln(C(x))-A(x))(mod;x^{2n}))
(B(x)=C(x)(1-ln(C(x))+A(x))(mod;x^{2n}))
正確性證明
泰勒展開：
x即(B(x))，x0即(C(x))，相減之后前n項是0，平方之后前2n項是0，于是被模掉了（
所以只剩前兩項了，根據(jù)牛頓迭代的定義
發(fā)現(xiàn)取的就是前兩項，現(xiàn)在只剩前兩項了，所以是精確解（
其實模完之后變成了一條直線，所以可以求解
n^2lnexp
模數(shù)不是ntt模數(shù)時可以用，也有學(xué)的必要
https://www.cnblogs.com/gmh77/p/13162153.html
exp
設(shè)(g(x)=e^{f(x)})，設(shè)(g_n)為(g(x)[x^n])，(f_n)為(f(x)[x^n])
(g(x)=e^{f(x)})
(g'(x)=e^{f(x)}f'(x))
因為(f'(x)=sum{i*x^{i-1}f_i})
所以(xf'(x)=sum_{i>=1}{i*x^if_i})
(ng_n=sum_{i=0}^{n}{g_{n-i}if_i})
硬點g0=1，然后即可n^2求得exp
原因是f(x)沒有常數(shù)項（否則求不出來），所以(e^x)展開后只有(frac{x^0}{0!}=1)
ln
(ng_n=sum_{i=0}^{n-1}{g_{n-i}if_i}+nf_n)
(nf_n=ng_n-sum_{i=0}^{n-1}{g_{n-i}if_i})
快速冪
先ln，乘上系數(shù)后exp
lnexp來搞是線性卷積，dft再乘k是循環(huán)卷積
時間復(fù)雜度
上面的那一坨都是nlogn的，但是常數(shù)略大
調(diào)試方法&注意事項
一定要把不用的位置清空，相乘長度開到長度和
兩個長度為N的多項式相乘時一定要把[N,2N-1]清空
調(diào)試小技♂巧：
快速冪->exp->ln->求導(dǎo)積分求逆->NTT，從后往前調(diào)試
要測小數(shù)據(jù)和中數(shù)據(jù)，多測幾遍+改n和len看有沒有變
ln再exp和exp再ln結(jié)果不變，可以利用這點來查錯
可以在不用的位上加一些數(shù)看答案是否會改變
exp的組合意義：(e^x=sum frac{x^i}{i!})，所以可以手玩判斷exp是否寫對
如果exp對了而ln+exp/exp+ln錯了那就是數(shù)組沒有清空
例題
6712.【2020.06.09省選模擬】題3
題解
推式子省略，變成快速冪
code
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define C(n,m) (jc[n]*Jc[m]%998244353*Jc[(n)-(m)]%998244353)
#define mod 998244353
#define Mod 998244351
#define G 3
#define ll long long
#define file
using namespace std;
ll A2[524288],a[524288],b[524288],c[524288],w[524288],S,T,n,m,s;
int a2[20][524288],i,j,k,l,N,len;
ll qpower(ll a,int b) {ll ans=1; while (b) {if (b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;} return ans;}
//static ll a[maxn];
void dft(ll *a,int tp,int N,int len)
{
int i,j,k,l,S=N,s1=2,s2=1;
ll u,v,w,W;
fo(i,0,N-1) A2[i]=a[a2[len][i]];
memcpy(a,A2,N*8);
fo(i,1,len)
{
W=(tp==1)?qpower(G,(mod-1)/s1):qpower(G,(mod-1)-(mod-1)/s1);S>>=1;
fo(j,0,S-1)
{
w=1;
fo(k,0,s2-1)
{
u=a[j*s1+k],v=a[j*s1+k+s2]*w;
a[j*s1+k]=(u+v)%mod;
a[j*s1+k+s2]=(u-v)%mod;
w=w*W%mod;
}
}
s1<<=1,s2<<=1;
}
}
namespace Mul{ll a[524288],b[524288];}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int N,int len)
{
ll N2=qpower(N,Mod);
int i,j,k,l;
memcpy(Mul::a,a,N*8),memcpy(Mul::b,b,N*8);
dft(Mul::a,1,N,len);dft(Mul::b,1,N,len);
fo(i,0,N-1) c[i]=Mul::a[i]*Mul::b[i]%mod;
dft(c,-1,N,len);
fo(i,0,N-1) c[i]=c[i]*N2%mod;
}
namespace Ny{ll a[524288],b[524288];}
void ny(ll *a,ll *b,int N,int len)
{
int i,j,k,l;
memset(b,0,N*8);
if (N==1) {b[0]=qpower(a[0],Mod); return;}
ny(a,b,N/2,len-1);
memset(Ny::a,0,N*16);
mul(b,b,Ny::a,N,len);
memset(Ny::b,0,N*16);
fo(i,0,N-1) Ny::b[i]=a[i];
mul(Ny::a,Ny::b,Ny::a,N*2,len+1);
fo(i,0,N-1) b[i]=(b[i]*2-Ny::a[i])%mod;
}
void dao(ll *a,int N)
{
int i;
fo(i,0,N-2) a[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;a[N-1]=0;
}
void ji(ll *a,int N)
{
int i;
fd(i,N-1,1) a[i]=a[i-1]*w[i]%mod;a[0]=0;
}
namespace LN{ll a[524288];}
void Ln(ll *a,int N,int len)
{
int i;
memset(LN::a,0,N*16);memcpy(LN::a,a,N*8);
ny(LN::a,a,N,len);dao(LN::a,N);
mul(a,LN::a,a,N*2,len+1);
ji(a,N);fo(i,N,N+N-1) a[i]=0;
}
namespace EXP{ll a[524288];}
void Exp(ll *a,ll *b,int N,int len)
{
int i,j,k,l;
memset(b,0,N*8);
if (N==1) {b[0]=1;return;}
Exp(a,b,N/2,len-1);
memset(EXP::a,0,N*8);memcpy(EXP::a,b,N*4);
Ln(EXP::a,N,len);
fo(i,0,N-1) EXP::a[i]=(-EXP::a[i]+a[i])%mod;++EXP::a[0];fo(i,N,N+N-1) EXP::a[i]=0;
mul(b,EXP::a,b,N*2,len+1);fo(i,N,N+N-1) b[i]=0;
}
namespace Mi{ll a[524288];}
void mi(ll *a,ll k,int N,int len)
{
ll s=qpower(a[0],k);
int i;
memcpy(Mi::a,a,N*8);
Ln(Mi::a,N,len);
fo(i,0,N-1) Mi::a[i]=Mi::a[i]*(k%mod)%mod;
Exp(Mi::a,a,N,len);
fo(i,0,N-1) a[i]=a[i]*s%mod;
}
void init()
{
int I,s=1;
w[1]=1;
fo(i,2,200000) w[i]=mod-w[mod%i]*(mod/i)%mod;
fo(I,0,19)
{
fo(i,0,s-1)
{
j=i;k=0;
fo(l,1,I) k=k*2+(j&1),j>>=1;
a2[I][i]=k;
}
s*=2;
}
}
void work()
{
s=1;fo(i,1,m-n+1) s=s*((T-i+1)%mod)%mod*w[i]%mod,a[i-1]=s;
s=1;fo(i,0,m-n) b[i]=s,s=s*(((S-n*T)-(i+1)+1)%mod)%mod*w[i+1]%mod;
mi(a,n,N,len);
mul(a,b,a,N*2,len+1);
}
int main()
{
freopen("sum.in","r",stdin);
#ifdef file
freopen("sum.out","w",stdout);
#endif
scanf("%lld%lld%lld%lld",&S,&T,&n,&m);len=ceil(log2(m-n+1));N=qpower(2,len);
init();
work();
printf("%lld
",(a[m-n]+mod)%mod);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的多项式小结（求逆、求导、积分、ln、牛顿迭代、exp）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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